第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分講授內(nèi)容： §2-1導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)目的與要求：1、理解導(dǎo)數(shù)的定義以及它的幾何意義。 2、掌握函數(shù)連續(xù)與導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)存在與左右導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系。 3、會利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重難點：重點導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)存在與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.難點分段函數(shù)在分段點處導(dǎo)數(shù)的求法，用定義求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：借助速度和切線的實例引入導(dǎo)數(shù)的定義。教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程： 上一章我們討論了函數(shù)的極限和連續(xù)，在此基礎(chǔ)上本章將更進一步的研究函數(shù)值的變化快慢，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它是討論函數(shù)特性的基本工具。一、 引例:1. 直線運

2、動的速度設(shè)某質(zhì)點在數(shù)軸上的運動方程為s=f(t) (位置函數(shù)),則從時刻t0到時刻t的平均速度為:當(dāng)tt0時,則有即時速度(瞬時速度)為v=.（A）2. 切線問題切線：設(shè)有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上的一點N，作割線MN. 當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，則直線MT稱為曲線C在點M處的切線，即：只要弦長|MN|趨于零，則NMT趨于零。設(shè)曲線C的方程為：y=f(x), M(x0, y0)為曲線C上的一點. 則y0=f (x0)。在曲線C上取點N(x, y)。則割線MN的斜率為:tan=當(dāng)點NM時，xx0. 如果極限（B）存在，設(shè)為k, 則稱此極限為切

3、線的斜率。其中k=tan ,為切線MT的傾角.說明：兩個問題的共性：所求量為函數(shù)增量與自變量增量的比值極限，都是討論函數(shù)的變化率，類似的：加速度：速度增量與時間增量的比值的極限。角速度：轉(zhuǎn)角增量與時間增量的比值的極限。線密度：質(zhì)量增量與長度增量的比值的極限問題：（A）（B）兩式對較復(fù)雜的函數(shù)求出一具體的值是很不方便，為尋求解決此類問題的簡便方法，給出如下導(dǎo)數(shù)的定義。二、 導(dǎo)數(shù)的定義:1. 導(dǎo)數(shù)的定義:定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量x(點x0+x在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)函數(shù)取得增量y=f(x+x0)-f(x0)；如果極限：=存在，則稱此極限為函數(shù)y=f

4、(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：.（）其它記號：，導(dǎo)數(shù)定義的其它形式： f(x0)=; 或 f(x0)=說明：1）比值是函數(shù)y=f(x)在以x0和x0+x為端點的區(qū)間上的平均變化率，導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的平均變化率的極限值。（瞬時變化率：點x0處的變化率）2）極限不存在時，稱函數(shù)在點x0處不可導(dǎo)。注意當(dāng)此極限為時，當(dāng)然是不可導(dǎo)，但我們?nèi)匀徽f函數(shù)在該此處的導(dǎo)數(shù)為。3）注意（）中左右兩端x0的一致性，分子分母中x的一致性。是左右兩側(cè)連續(xù)的趨向0，如換成不可。4）當(dāng)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每一點都可導(dǎo)時，則對于任意，就有一確定的導(dǎo)數(shù)值，從而構(gòu)成一個新的函數(shù)，稱此函數(shù)為原函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)

5、），記為：。5）。6）由引例知：，。7）因?qū)?shù)是用極限定義的，于是在利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)時，求極限的所有方法在此均可以使用。2. 左右導(dǎo)數(shù): f(x0)=(存在) 稱為函數(shù)f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù). f+(x0)=(存在) 稱為函數(shù)f(x)在點x0處的右導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)的充要條件為：左右導(dǎo)數(shù)存在并相等，即： f(x0) 存在 Ûf(x0) =f+(x0).函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)即指：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f+(a)和f(b)都存在。三、 求導(dǎo)例子:用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟：1） 寫出函數(shù)的增量2） 寫出函數(shù)增量與自變量增量的比值3） 求比值的極限1

6、) (C)=0.2) (x)=x-1 (為常數(shù)).3) (sinx)=cosx4) (ax)=axlna. 特別有：(ex)=ex5）(lnx)=1/x或(logax)=1/xlna下面為分段函數(shù)在分段點處導(dǎo)數(shù)的求法的例子，須用結(jié)論： f(x0) 存在 Ûf(x0) =f+(x0).例2. 1）求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù).解：f+(0)=1f(0)=-=-1由于f+(0)f-(0) ,因此函數(shù)在f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在. 注：f(x)= x |x|在x=0處的可導(dǎo)性怎樣？2）已知f(x)=求f-(0)和f+(0).并確定f(0)是否存在?解： f+(0)=0

7、 f(0)=-=-1 因為 f+(0)f-(0) ,所以f(0)不存在.3）設(shè)f(x)=求f-(0)及 f+(0)并判斷 f(0)是否存在解： f+(0)= =0;f(0)=1因f+(0)f-(0)，所以f(0)不存在.4）設(shè)f(x)=求f-(1)及 f+(1)并判斷 f(1)是否存在 正解：用定義求得 f+(1)=2 f-(1)=，所以f(1)不存在。 錯解： 例3抽象函數(shù)的求導(dǎo) 1）設(shè)存在，求 2）設(shè)為偶函數(shù)，則為奇函數(shù). 3）設(shè)，求. 4）下式成立的是，其中在點a的領(lǐng)域內(nèi)有定義（A）（B）（C）（D）解：1） 一定要轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)定義的那個嚴格的形式 原式 原式 2）要證，因這里是抽象函數(shù)，

8、所以只能用定義 3）還是只能用定義 4）正確答案是D因原式注：若將替換成怎樣，回答是：不成立.對（A）因，即是右側(cè)趨近。對（B） 即是右側(cè)極限，在說了又還是離散的。對（C）分子上就沒有定值，不合定義的要求，請看下例考慮處 事實知是不存在的。四、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x) 在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(x0, f(x0)處的切線的斜率. 于是曲線在點(x0,f(x0) 處的切線方程為:yy0=f(x0)(xx0).法線方程為: yy0=(xx0). f(x0)0例4 1）求曲線y=1/x在點(1,1)處的切線方程和法線方程.解：由于f(1)=-1/x2|x=1

9、=-1，因此 切線方程為：y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0; 法線方程為：y-1=x-1，即x-y=0.2）證明：曲線xy=a2上任一點處的切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形的面積為常數(shù).證：設(shè)(X,Y)為曲線上的任一點，則有XY=a2,y(X)=-a2/X2.切線方程為；y-Y=-a2/X2(x-X)切線在坐標軸上的截距為：x=X+X2Y/a2=2X; y=Y+a2/X=2Y,所求三角形的面積為：s=xy/2=2XY=2a2.五、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系:設(shè)函數(shù)在點x處可導(dǎo)，則函數(shù)在x處連續(xù)。證明：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，則有=f(x),于是有:=f(x)+ ,其中=0 .即 y

10、=f(x)x+x. 令x0，則有y0.因此函數(shù)在點x處連續(xù).注：但函數(shù)在點x處連續(xù)，則在點x處不一定可導(dǎo)，即連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。如例5 1）討論函數(shù)y=在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解：顯然函數(shù)在x=0處連續(xù).由于=不存在,因此函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).2）討論函數(shù)y=在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解：顯然函數(shù)在x=0處連續(xù);由于=0,因此函數(shù)在x=0處連續(xù)可導(dǎo).注：例6 設(shè)函數(shù)f(x)=，試確定a和b,使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo).解：由連續(xù)即有f(1+)=f(1-) 得 a+b=1;f+(1)=2;f-(1)=a由可導(dǎo)得: f+(1)= f-(1), 即a=2; 從而b=-1.設(shè)存在，且，

11、求.作業(yè)：高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊習(xí)題第一節(jié)教學(xué)后記：教學(xué)參考書：高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥 學(xué)苑出版社.高等數(shù)學(xué)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編（全真課堂）學(xué)苑出版社.復(fù)習(xí)思考題：設(shè)存在，且，求.講授內(nèi)容： §2-2 函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則教學(xué)目的與要求：1、掌握函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則.2、 能熟練應(yīng)用函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)重難點：重點函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則. 難點應(yīng)用函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：講清法則的推導(dǎo)過程，并引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)練習(xí).教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程：一、 函數(shù)和的求導(dǎo)法則定理1 如果函數(shù)及都在點處可導(dǎo)，則函數(shù)也在點

12、處可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)為證明 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們有故在點處可導(dǎo)，而且 由定理1，可得下面三個推論推論1如果函數(shù)及都在點處可導(dǎo)，則函數(shù)也在點處可導(dǎo)且推論2 如果函數(shù)及都在點處可導(dǎo)，則函數(shù)也在點處可導(dǎo)且推論3如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)也在點處可導(dǎo)，且注：1、各自可導(dǎo)則和可導(dǎo)，可導(dǎo)與不可導(dǎo)之和仍不可導(dǎo)2、和可導(dǎo)時，各自不一定可導(dǎo).例1 1）,求y.2）f(x)=x3+4cosxsin/2,求f(x)及f (/2).解：1）y=6x2-10x+32）f(x)=3x2-4sinxf(/2)=32/4-4.二、函數(shù)積的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)及都在點處可導(dǎo)，則函數(shù)也在點處可導(dǎo)且證明u(x)v(x)=+=例2 1）

13、y=ex(sinx+cosx).求y.2）y=x2lnxcosx.求y解:1）y= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx)=2excosx.2）y=2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx例3設(shè)，求y（5）解方法1：方法2：三、商的求導(dǎo)法則定理3如果函數(shù)及都在點處可導(dǎo)且，則函數(shù)也在點處可導(dǎo)且(v0)證明從略例4 1）y=tanx,求y.解y=sec2x同樣：(cotx)=-csc2x; (secx)=secxtanx;(cscx)=-cscxcotx;2）.求y.解y=作業(yè)：高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊第二節(jié)教學(xué)后記：教學(xué)參考書：高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥 學(xué)苑出版社.高等數(shù)

14、學(xué)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編（全真課堂）學(xué)苑出版社.復(fù)習(xí)思考題：設(shè)求講授內(nèi)容 §2-3 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的與要求：1、掌握反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2、 能熟練應(yīng)用反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)重難點：重點復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.難點應(yīng)用反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：講清法則的推導(dǎo)過程，并引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)應(yīng)用.教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程：一、 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理若函數(shù)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f(y)0,則其反函數(shù)y=f -1(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix=x|x=f(y),yÎIy內(nèi)可導(dǎo),且有: f-1(x)=或證明由于

15、x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)(從而連續(xù)),因此其反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間Ix=x|x=f(y),yIy內(nèi)單調(diào)且連續(xù).任取xIx,給x增量x (x0,x+xIx)由y=f1(x)單調(diào)性可知:y=f(x+x)-f(x)0.于是:=.由于y=f -1(x)連續(xù),從而當(dāng)x0時,有y0.又f(y)0,所以:f-1(x)=.例1求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).解y=arcsinx的直接函數(shù)為:x=siny,在區(qū)間(-/2,/2)內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且:(siny)=cosy>0所以:y=arcsinx在對應(yīng)區(qū)間(-1,1)內(nèi)有:(arcsinx)=同理:(arccosx)=-.例2 求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).解

16、y=arctanx的直接函數(shù)為:x=tany,在區(qū)間(-/2,/2)內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且:(tany)=sec2y0,所以:y=arcsinx在對應(yīng)區(qū)間(-,+)內(nèi)有:(arctanx)=同理:(arccotx)=-.例3 求y=log ax (a>0,a0)的導(dǎo)數(shù).解y=log ax (a>0,a0)的直接函數(shù)為:x=ay,在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且:(ay)=aylna0,所以:y=log ax在對應(yīng)區(qū)間(0,+)內(nèi)有:(log ax)=.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式:1)(C)=0;2)(x)=x-1;3)(sinx)=cosx;4)(cosx)=-sinx;5)(tanx)=s

17、ecxtanx;6)(cotx)=-cscxcotx;7)(secx)=secxtanx;8)(cscx)=-cscxcotx;9)(ax)=axlna;10)(ex)=ex;11)(log ax)=12)(lnx)=;13)(arcsinx)=;14)(arccosx)=-;15)(arctanx)=;16) (arccotx)=-.二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果u=g(x)在點x可導(dǎo),而y=f(u)在點u=g(x)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點x處可導(dǎo),且有:=f(u)·g(x)或=證明因為y=f(u)在點u處可導(dǎo),所以=f(u).即有:=f(u)+ 其中=0,且u0.當(dāng)u=

18、0時,規(guī)定=0 此時函數(shù)=f(u)-= (u)在u=0處連續(xù).于是:y=f(u)u+·u從而有:=f(u)+·于是:= f(u)+·又當(dāng)x0時,u0,從而:=0又u=g(x)在x處可導(dǎo),因此=g(x).所以:= f(u) ·即:=f(u)g(x).注： 1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵在于搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，并由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).2）公式可以推廣到多層復(fù)合的情形.3）記號表示對求導(dǎo)，即，如就表示對求導(dǎo)，而不是對求導(dǎo).如下例：例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):a) y=lnsinx解y=(lnsinx)=cotxb) y=;解y=()=(1-2x2)=c) y=lncos(ex)

19、;解y=lncos(ex)=cos(ex)=-sin(ex)ex=-extan(ex).d) y=;解y=()=()=()=-例51）y=f(sin2x)+f(cos2x);f(x)可導(dǎo).解y=f(sin2x)+f(cos2x)= f(sin2x)(sin2x)+f(cos2x)(cos2x)=2） y=arcsin;解y=()=()=3） 設(shè)，求解作業(yè):高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊第三節(jié)教學(xué)后記：教學(xué)參考書：高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥 學(xué)苑出版社.高等數(shù)學(xué)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編（全真課堂）學(xué)苑出版社.復(fù)習(xí)思考題：已知，求.講授內(nèi)容 §2-4 高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求：1、理解高階導(dǎo)數(shù)的概念.

20、2、熟練掌握二階導(dǎo)數(shù)的求法以及那些比較特殊的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法.教學(xué)重難點:重點初等函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的求法及那些比較特殊的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法. 難點抽象函數(shù)及分段函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù).教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：主要引導(dǎo)學(xué)生求二階導(dǎo)數(shù).教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時 教學(xué)過程： 一、 高階導(dǎo)數(shù)的定義定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是的函數(shù),稱的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù).記作:或.即: 或=一般地,n階導(dǎo)數(shù)的定義為:=y(n)=當(dāng)n2時,n階導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).例1 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):1) y=ln(x+ );解y=(1+)=y=-(2x)=2) y=tanf(x);其中f(x)存在.解y=;y=3) y=f(x2)解y=2xf(x2)y=

21、2f(x2)+2x f(x2)2x=2f(x2)+4x2 f(x2). 注：求二階導(dǎo)數(shù)即為在一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上再求一次導(dǎo)數(shù)。例2 求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)4) y=ex解 (ex)(n)=ex.5) y=sinx解y=cosx=sin(x+)y=cos(x+)=sin(x+)=sin(x+2·);y=cos(x+2·)=sin(x+3·)一般地：(sinx)(n)=sin(x+n·).同理：(cosx)(n)=cos(x+n·).6) y=ln(1+x)解y=;y=-;y=;一般地：y(n)= .即有，ln(1+x)(n)= .7) y=x (為常數(shù)

22、)解y=x-1;y=(-1)x-2;,y(n)=(-1)(-2)(-n+1)x-n.當(dāng)=n時,(xn)(n)=n!;(xn)(n+1)=0.注：以上求出的ex、sinx、cosx、x的n階導(dǎo)數(shù)公式要記住。5）設(shè)，求解二、 函數(shù)和、差、積的高階導(dǎo)數(shù)公式1) (u±v)(n)=u(n)±v(n);2) 萊布尼茨(Leibniz)公式:(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v+u(n-2)v+u(n-k)v(k)+uv(n)=u(n-k)v(k).例3 設(shè)y=x2sin2x,求y(50)解由于u=sin2x,v=x2,所以u(k)=(sin2x)(k)=2ksin(2x+k&

23、#183;);v=2x,v=2,v(k)=0 (k=3,4,50).從而有，(x2sin2x)(50)=250sin(2x+50·)·x2+50·249sin(2x+49·)·2x+248sin(2x+48·)·2=250-x2sin2x+50xcos2x+sin2x.例4設(shè)求解由有由萊布尼茨(Leibniz)公式，有令得：令得：令得：因此有：例5 設(shè)求解例6試從=導(dǎo)出:1) =-;2)= .解此題為反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)1)=()=-;2)= (-)=-=作業(yè):：高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊第四節(jié)教學(xué)后記：教學(xué)參考書：高等數(shù)學(xué)典型題精解

24、陳蘭祥 學(xué)苑出版社.高等數(shù)學(xué)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編（全真課堂）學(xué)苑出版社復(fù)習(xí)思考題：設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求講授內(nèi)容 §2-5 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求：1、熟練掌握隱函數(shù)的一階求導(dǎo)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階求導(dǎo).2、掌握隱函數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階求導(dǎo).教學(xué)重難點：重點隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階求導(dǎo). 難點隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，相關(guān)變化率.教學(xué)建議：對隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)講清思路和方法.教學(xué)方法：講授法教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程：一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù):如果在方程F(x

25、,y)=0中，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的唯一的y值存在，則稱方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個函數(shù)，此函數(shù)稱為隱函數(shù).顯函數(shù)：由方程y=f(x)表示的函數(shù)稱為顯函數(shù).特點為：左端為因變量，右端為自變量.將一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化.關(guān)于隱函數(shù)的求導(dǎo)這里只給出具體的做法。下冊將再給出隱函數(shù)的一、二階求導(dǎo)公式.例1. 求由方程y5+2y-x-3x7=0所確定的隱函數(shù)y在x=0處的導(dǎo)數(shù)y(0).解要注意到，y是x的函數(shù)已是事實兩邊對x求導(dǎo)時一定要注意到，y是x的函數(shù)這一事實得，5y4y+2y-1-21x6=0, 令x=0得y=0.得，y(0)=1/2注：例2.

26、 求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).解兩邊對x求導(dǎo)，得:eyy+y+xy=0, （1）所以y=-y/(x+ey). （2）將代入得再將（1）對x求導(dǎo)得將代入得注：也可將（2）式兩端對x求導(dǎo)例3. 求曲線在點(a,a)的切線方程和法線方程.解兩邊對x求導(dǎo)得: +y=0,y=于是:y(a)=1切線方程為：y-a=x-a,即:x-y-=0.法線方程為：y-a=-(x-a),即:x+y-a=0.例4. ，求解分析：此題既是隱函數(shù)，也是復(fù)合函數(shù)兩端對x求導(dǎo)：所以2. 對數(shù)求導(dǎo)法:例5. 求y=xsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù).思路：冪指函數(shù)的求導(dǎo)我們沒有現(xiàn)成的公式，我們只能借助于對數(shù)將冪

27、指函數(shù)轉(zhuǎn)化為乘積方可求導(dǎo)，這是因為對數(shù)具有降低運算級別的作用.解：兩邊取對數(shù)lny=sinxlnx.兩邊求導(dǎo)y=cosxlnx+,所以有 y=xsinx (cosxlnx+).一般地，冪指函數(shù)的一般形式為：y=uv (u>0,u和v是x的函數(shù))的導(dǎo)數(shù)為:1） 取對數(shù)：lny=vlnu,2） 兩邊求導(dǎo)：y=vlnu+u3） 解出所以(uv)=uv(vlnu+u). 例6. 求y=的導(dǎo)數(shù).思路：這個函數(shù)可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來進行，但是過程很復(fù)雜，而取對數(shù)可以降低運算級別，因而可以用對數(shù)求導(dǎo)法。解當(dāng)x>4時，取對數(shù)得，lny=ln(x-1)+ ln(x-2)- ln(x-3)- l

28、n(x-4).求導(dǎo)y=(+-)y=(+-)當(dāng)x<1時，y=；當(dāng)2<x<3時，y=同理可求出y的導(dǎo)數(shù).例7. 1），2）解1）2）注：此例告知，解題時要充分利用對數(shù)的性質(zhì).例8. 求思路：此題首先是隱函數(shù)，同時是抽象的復(fù)合函數(shù)，且又是冪函數(shù)，為此先完成冪指函數(shù)的求導(dǎo)解記下將原式兩端對x求導(dǎo)解得，二、 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：由參數(shù)方程(t為參數(shù))確定y是x的函數(shù).此函數(shù)關(guān)系表示的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).設(shè)y=(t)可導(dǎo)，x=(t)單調(diào)連續(xù)可導(dǎo)，且(t)0，則有:=·=上式是參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的函數(shù).當(dāng)x=(t)和y=(t)二階可導(dǎo)時，則有:=()

29、=()·=·即=例9. 求橢圓在對應(yīng)t=/4處的切線方程.解當(dāng)t=/4時，對應(yīng)橢圓上的點M0的坐標為x0=a,y0=b曲線在M0處的切線斜率為：|x=/4=|x=/4=-切線方程為：yb=(xa).例10. 計算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù).圖中:x=OP=弧QM-線段QM=at-asint;y=PM=a-acost解=()·=-·=-(t2n,nÎN)例11. 設(shè)，求解此題為參數(shù)方程，但參數(shù)方程中第二個方程確定了隱函數(shù)將第一個方程對t求導(dǎo)得，將第二個方程對t求導(dǎo)得，于是得：作業(yè):：高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊第五節(jié)教學(xué)后記：教學(xué)參

30、考書：高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥 學(xué)苑出版社.高等數(shù)學(xué)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編（全真課堂）學(xué)苑出版社復(fù)習(xí)思考題：設(shè)求.講授內(nèi)容§2-6變化率問題舉例及相關(guān)變化率教學(xué)目的與要求：了解函數(shù)的相關(guān)變化率并會用函數(shù)的相關(guān)變化率解實際問題教學(xué)重難點：重點函數(shù)的相關(guān)變化率難點.用函數(shù)的相關(guān)變化率解實際問題教學(xué)方法：講授法 教學(xué)建議：通過實例使學(xué)生會解變化率及相關(guān)變化率問題教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程：一、 變化率問題舉例在第一節(jié)中我們已經(jīng)看到，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以解釋為關(guān)于的變化率.在這一節(jié)中，我們將通過具體的實例說明在自然科學(xué)和其它不科中經(jīng)常遇到的一些變化率問題及導(dǎo)數(shù)在這些問題中的應(yīng)用例1如果表示質(zhì)點沿數(shù)

31、軸作直線運動時的位移函數(shù)，由前面可知其導(dǎo)數(shù)代表在時刻時的瞬時速度.現(xiàn)設(shè)質(zhì)點的位移函數(shù)為，其中的單位分別用s和m.（1） 求速度的表達式，并分別求2(s)和4(s)時的速度；（2） 何時質(zhì)點靜止不動？（3） 何時質(zhì)點沿數(shù)軸正方向運動？（4） 求出前5(s)質(zhì)點經(jīng)過的路程. 解 （1）速度函數(shù)是位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù).由于，所以速度從而2(s)、4(s)時的速度分別為(m/s)(m/s) （2）質(zhì)點靜止不動也就是，即于是得(s)和(s)時，質(zhì)點靜止不動.（3）當(dāng)時，質(zhì)點沿數(shù)軸正方向運動.由得到對應(yīng)的時間區(qū)間為以及(4)質(zhì)點從(s)到(s)經(jīng)過的路程(m)從(s)到(s)經(jīng)過的路程(m)從(s)到(s)經(jīng)過

32、的路程(m)所以質(zhì)點在前5(s)經(jīng)經(jīng)過的總路程為28(m)二、相關(guān)變化率設(shè)函數(shù)和為可導(dǎo)函數(shù),而變量x和y之間存在某種關(guān)系，從而變化率和間存在關(guān)系，這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率.相關(guān)變化率的求法：1） 求出變量x和y的關(guān)系，而此關(guān)系式中的x,y均是另一個變量t的函數(shù)2） 對t求導(dǎo)得到變化率和之間的關(guān)系3） 求出未知的相關(guān)變化率例2水入深8m上頂直徑8m的正圓錐形容器中，其速率為4m3/min. 當(dāng)水深為5m時，其表面上升的速率為多少?解 設(shè)在時刻t時容器中水深為h(t)，水面半徑為r，水的容積為V(t)，則由r/4=h/8得r=h/2. 從而：V(t)=r2·h=h3;V(t)

33、=h(t).代入V(t)=4，h=5，則得：h(t)=(m/min).作業(yè)：高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊第六節(jié)教學(xué)后記：教學(xué)參考書：高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥 學(xué)苑出版社.高等數(shù)學(xué)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編（全真課堂）學(xué)苑出版社復(fù)習(xí)思考題：溶液自深為18cm、直徑為12cm的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為10cm的圓柱形筒中，開始時漏斗中盛滿了溶液.已知當(dāng)溶液在漏斗中深為12cm時，其表面下降的速率為1cm/min.問此時圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少？講授內(nèi)容§2-7函數(shù)的微分教學(xué)目的與要求：1、理解微分的定義. 2、了解微分的幾何意義. 3、掌握函數(shù)可微的充要條件. 4、熟練掌握基本初等函數(shù)的

34、微分公式、函數(shù)的微分法則、微分的形式不變性，會熟練利用這些知識求函數(shù)的微分。教學(xué)重難點：重點微分的定義，函數(shù)可微的條件，函數(shù)的微分法則，微分的形式不變性. 難點微分的定義，微分的幾何意義，微分的形式不變性.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：通過實例幫助學(xué)生理解微分的定義.教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程：一、 微分的定義1. 引例一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,其邊長由x0變到x0+x,問此薄片的面積改變了多少?解：設(shè)邊長為x，面積為S(x)，則有S(x)=x2，邊長由x0變到x0+x，薄片面積的改變量為：S=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2.當(dāng)x0時，(x)2是x的高階無窮小.即有：(x)2=o(

35、x).注：此例告知：函數(shù)的增量由兩部分構(gòu)成.主要項：x的一次項，剩下是x的高階無窮小，即S=Ax+ o(x).問：是否其它函數(shù)也是這樣呢？什么樣的函數(shù)才會這樣呢？2. 微分的定義:定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量y=f(x0+x)-f(x0)可表示為:y=Ax+o(x),其中A是不依賴于x的常數(shù)，而o(x)是比x高階的無窮小，那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0是可微的，而Ax叫做函數(shù)y=f(x)在點x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即dy=Ax.當(dāng)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)每一點都可微時，稱函數(shù)是區(qū)間I內(nèi)的可微函數(shù).3. 可微的充分必要條件

36、定理：函數(shù)y=f(x)在點x0處可微Û函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo).證明：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處可微,則由定義有:y=f(x0+x)-f(x0)=A·x+o(x),于是:= =A+令x0,則有:A=f(x0).反之,若函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),則有=f(x0).從而: =f(x0)+,其中=0.于是:y=f(x0)x+x.由于x=o(x),f(x0)是不依賴x的常數(shù),從而函數(shù)在點x0處可微.注：1) 當(dāng)函數(shù)y=f(x)在點x0處可微時,有dy=f(x0)x.2) 當(dāng)f(x0)0時,因為:=1.因此當(dāng)x0時,ydy,從而有:y=dy+o(dy).稱dy是y的主部.

37、當(dāng)f(x0)0時,由于dy=f(x0)x是x的線性函數(shù),故稱dy是y的線性主部.由于=0,所以=0.稱為以dy代替y時的相對誤差.顯然,當(dāng)|x|很小時,有dyy.3) 函數(shù)y=f(x)在任意點的微分稱為函數(shù)的微分.記作dy或df(x).即:dy=df(x)=f(x)x.通常將自變量的增量x稱為自變量的微分,記作dx,即:dx=x.于是: dy=df(x)=f(x)dx 從而:=f(x).即導(dǎo)數(shù)是微商.例1. 求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分.解y=x2在x=1處的微分:dy=(x2)|x=1x=2x;y=x2在x=3處的微分:dy=(x2)|x=3x=6x;例2. 求函數(shù)y=x3當(dāng)x=2

38、,x=0.02時的微分.解：函數(shù)y=x3在任意點的微分為:dy=(x3)x=3x2x.當(dāng)x=2,x=0.02時的微分為:dy=3·22·0.02=0.24.二、 微分的幾何意義微分的幾何意義是：當(dāng)y是曲線y=f(x)上的點的縱坐標的增量時,dy是曲線上的切線上點的縱坐標的相應(yīng)增量.即當(dāng)|x|很小時,|y-dy|比|x|小得多.從而在點M的附近,可以用切線段MP來近似代替曲線段MN三、 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則.1. 基本初等函數(shù)的微分公式:1)dC=0;2)dx=x-1dx;3)dsinx=cosx dx;4)dcosx=-sinx dx;5)dtanx=sec

39、xtanx dx;6)dcotx=-cscxcotx dx;7)dsecx=secxtanx dx;8)dcscx=-cscxcotx dx;9)dax=axlna dx;10)dex=ex dx;11)dlog ax=dx12)dlnx=dx;13)darcsinx=dx;14)darccosx=-dx;15)darctanx=dx;16) darccotx=-dx.2. 函數(shù)和差積商的微分1）d(u±v)=du±dv2)d(Cu)=Cdu3)d(uv)=vdu+udv4)d(v0)3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:(一階微分的形式不變性)設(shè)y=f(u)和u=(x)可導(dǎo),則復(fù)合函

40、數(shù)y=f(x)的微分為: dy=yxdx=f(u)(x)dx.由于(x)dx=du,所以復(fù)合函數(shù)的微分公式也寫成:dy=f(u)du或dy=yudu此性質(zhì)稱為微分形式不變性.例3. 求下列函數(shù)的微分1) y=sin(2x+1);解：dy=2cos(2x+1)dx2) y=e1-3xcosx2;解：dy=d( e1-3x)cosx2+ e1-3xd(cosx2)= -e1-3x (3cosx2+2xsinx2)dx.3) y=ln(1-x)2;解：dy=2ln(1-x)dln(1-x)= -2ln(1-x)dx4）已知，求解：兩邊求微分：得，5）設(shè)，確定函數(shù)，求解：兩邊求微分：由得，代入得：例4

41、. 填空：1）2) 3) 作業(yè): 高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊第七節(jié)教學(xué)后記：教學(xué)參考書：高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥 學(xué)苑出版社.高等數(shù)學(xué)北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編（全真課堂）學(xué)苑出版社.復(fù)習(xí)思考題：已知，求講授內(nèi)容§2-8微分的應(yīng)用教學(xué)目的與要求：了解微分在近似計算中的應(yīng)用教學(xué)重難點：重點利用微分進行近似計算的原理. 難點利用微分進行近似計算.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：講清利用微分進行近似計算的原理. 教學(xué)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程：如果y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)0且|x|很小時,有:ydy=f(x0)x.即y=f(x0+x)-f(x0)dy=f(x0)x.或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x令x0+x=x，則f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)特別當(dāng)x0=0時,有: f(x)f(0)+f(0)x當(dāng)|x|很小時，有常用近似計算公式：1) 1+x;2) sinxx;3) tanxx;4) ex1+x;5) ln(1+x)x.例5. 計算:sin30°30解：設(shè)f(x)=sinx,則f(x)=cosx.取x0=/6,則sin30°30=sin(/6+/360)sin(/6)+cos(/6)(/360)0.5076.例6. 計