第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)非數(shù)學(xué)類

1、第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）一、 解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1.求極限.解 因?yàn)椋?分）；原式(2分)；(2分)2.證明廣義積分不是絕對(duì)收斂的解 記，只要證明發(fā)散即可。（2分）因?yàn)?。?分）而發(fā)散，故由比較判別法發(fā)散。（2分）3.設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。解 方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 （1分）故，令，得或（2分）將代入所給方程得，將代入所給方程得，（2分）又，故為極大值，為極小值。（3分） 4.過(guò)曲線上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解 設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為，曲線過(guò)A點(diǎn)的切線方程為（2分）；令，由切線方程得切線與軸交點(diǎn)的橫坐

2、標(biāo)為。從而作圖可知，所求平面圖形的面積，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為。（4分）二、（滿分12）計(jì)算定積分解 （4分） （2分）（4分） （2分）三、（滿分12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明 ：級(jí)數(shù)收斂。解 由于在處可導(dǎo)必連續(xù)，由得 （2分） （2分）由洛必塔法則及定義 （3分）所以 （2分）由于級(jí)數(shù)收斂，從而由比較判別法的極限形式收斂。（3分）四、（滿分12分）設(shè)，證明解 因?yàn)?，所以在上?yán)格單調(diào)增，從而有反函數(shù)（2分）。設(shè)是的反函數(shù)，則 （3分）又，則，所以（3分） （2分）五、（滿分14分）設(shè)是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。解 記圍成的立體

3、為V，由高斯公式 （3分）為了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空間區(qū)域，即取 ，曲面 （3分） 為求最小值，作變換，則，從而 （4分）使用球坐標(biāo)計(jì)算，得 （4分）六、（滿分14分）設(shè)，其中為常數(shù)，曲線C為橢圓，取正向。求極限解 作變換（觀察發(fā)現(xiàn)或用線性代數(shù)里正交變換化二次型的方法），曲線C變?yōu)槠矫嫔系臋E圓（實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化積分曲線），也是取正向 （2分）而且（被積表達(dá)式?jīng)]變，同樣簡(jiǎn)單?。?， （2分）曲線參數(shù)化，則有， （3分）令，則由于，從而。因此當(dāng)時(shí)或時(shí)（2分） 而 （3分） 。故所求極限為 （2分）七（滿分14分）判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，求其和。解 （1）記因?yàn)槌浞执髸r(shí) （3分）所以，而收斂，故收斂（2分）（2）記 ，則= （2分