同濟高數(shù)下冊總結

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高數(shù)（下）小結一、微分方程復習要點 解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法求出其通解. 一階微分方程的解法小結：方程編號類 型一 般 形 式解 法備 注1型可分離變量方程或分離變量法有些方程作代換后可化為1型2型齊次方程或令為1型求解有時方程寫成令化為1型求解3型線性方程或1 常數(shù)變易法2 湊導數(shù)法：同乘有時方程不是關于線性方程，而是關于線性方程4型貝努里方程或 令或化為 3型求解有時方程不是關于的貝努里方程，而是 關于貝努里方程5型全微分方程其中 為原函數(shù)有時乘以一個積分因子可化為5型 二階微分方程的解法小結：類 型特 征 求 解 方

2、 法 備 注缺次積分 求解見上冊缺令，降為一階方程降價后是關于p，的一階方程缺令，降為一階方程降價后是關于,y的一階方程常系數(shù)通解見下表 齊次方程的通解為：判別式兩特征根情況通 解相異實根，二重實根共軛復根非齊次方程的特解的形式為：的形式特征根情況的形式不是特征根是重特征根不是特征根是特征根主要:一階1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解；3、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解二、多元函數(shù)微分學復習要點一、偏導數(shù)的求法1、顯函數(shù)的偏導數(shù)的求法在求時，應將看作常量，對求導，在求時，應將看作常量，對求導，所運用的是一元函數(shù)的求導法則與求導公式. 2、復合函數(shù)的

3、偏導數(shù)的求法設，則，幾種特殊情況：1），則2），則，3），則，3、隱函數(shù)求偏導數(shù)的求法1）一個方程的情況設是由方程唯一確定的隱函數(shù)，則 ， 或者視，由方程兩邊同時對求導解出.2）方程組的情況由方程組兩邊同時對求導解出即可.二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接兩邊同時求微分，解出即可.其中要注意應用微分形式的不變性： 三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法1）設空間曲線的參數(shù)方程為 ，則當時，在曲線上對應點處的切線方向向量為，切線方程為 法平面方程為 2）若曲面的方程為，則在點處的法向量 ，切平面方程為 法線方程為 若曲面的方程為，則在點處的法向量，切平面方程為 法線方程為 四、多元

4、函數(shù)極值（最值）的求法1 無條件極值的求法設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，由，解出駐點，記，.1）若，則在點處取得極值，且當時有極大值，當時有極小值.2） 若，則在點處無極值.3） 若，不能判定在點處是否取得極值.2 條件極值的求法函數(shù)在滿足條件下極值的方法如下：1）化為無條件極值：若能從條件解出代入中，則使函數(shù)成為一元函數(shù)無條件的極值問題.2）拉格朗日乘數(shù)法作輔助函數(shù)，其中為參數(shù)，解方程組求出駐點坐標，則駐點可能是條件極值點.3 最大值與最小值的求法若多元函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的駐點，計算出在這些點處的函數(shù)值，并與區(qū)域的邊界上的最大（最?。┲当容^，最大（最?。┱?，就是

5、最大（最?。┲?主要: 1、偏導數(shù)的求法與全微分的求法；2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法3、最大值與最小值的求法三、多元函數(shù)積分學復習要點七種積分的概念、計算方法及應用如下表所示：積分類型積分記號定義及幾何意義積分區(qū)域積 分 元 素被積函數(shù)一重積分曲邊梯形面積區(qū)間=一元函數(shù)二重積分曲頂柱體體積平面區(qū)域D二元函數(shù)三重積分空間區(qū)域三元函數(shù)第一類曲線積分平面或空間曲線Lds=二元或三元函數(shù)第二類曲線積分平面或空間曲線L二元或三元函數(shù)第一類曲面積分空間曲面三元函數(shù)第二類曲面積分空間曲面三元函數(shù)計 算 方 法 應 用 轉(zhuǎn)動慣量 重心其它（面積.體積.功等）見 上 冊表后*所示1） or2) 1

6、體積2）曲面面積A=1) 2)3) 柱面坐標法 4）球面坐標法=體積V=1）2) 3）4）化為第二類曲線積分=曲線所圍面積A= 2）3）4） 5）公式計算法6）折線計算法（積分與路徑無關時）；7）連續(xù)變形原理計算法； 8）公式計算法1） 功 W=求二元函數(shù)的“原函數(shù)”=面積S=1）直接代入法 2）Gaus公式計算法 ； 3）投影轉(zhuǎn)移法 *定積分的幾何應用定積分應用的常用公式：(1)面積 （型區(qū)域的面積） （型區(qū)域的面積）(2)體積 （橫截面面積已知的立體體積） （所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的立體體積） （所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的立體體積） （所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的立體體積）(3)弧長 計算時注意：（1）正確選擇恰當?shù)墓剑唬?）正確的給出積分上下限；（3）注意對稱性使問題簡化；（4）注意選擇恰當?shù)姆e分變量以使問題簡化計算多元函數(shù)的積分時要注意利用對稱性簡化積分的計算：1）、對二、三重及第一類的線面積分，若積分區(qū)域關于變量對稱，則當被積函數(shù)關于為奇函數(shù)時，該積分為0，當被積函數(shù)關于變量為偶函數(shù)時，則該積分為相應一半?yún)^(qū)域積分的二倍.2）、對第二類的線面積分，關于積分變量的對稱性理論與上相同，關于非積分變量的對稱性理論與上相反. 3）、若積分區(qū)域的地位平等（即將表示區(qū)域的方程互換不變），則將被積函數(shù)中互換積分不變.此稱之為輪