棗八北校高一平面向量數量積的物理背景及其含義30

1、 平面向量數量積的物理背景及其含義 教材分析本節(jié)內容是必修4第二章第4節(jié)，平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后引入的一種新的向量運算，既是對前面知識的延續(xù)，又是學好后續(xù)知識的基礎，起承上啟下的作用此外它在數學、物理等學科中的廣泛應用本節(jié)課是以物體受力做功為背景引入向量數量積的概念，并在此基礎上探究數量積的性質與運算律，使學生體會類比、數形結合等數學思想方法，進一步培養(yǎng)學生的抽象概括和推理論證的能力數量積的概念是本節(jié)課的核心概念，是本節(jié)課教學的重點課時分配本節(jié)內容用1課時的時間完成，主要探討平面向量數量積的概念、性質及運算律教學目標重點：平面向量數量積的概念，性質、運算律的發(fā)現與論證難點：平面

2、向量數量積的定義及運算率的理解，平面向量數量積的應用知識點：平面向量數量積的概念，性質、運算律能力點：通過對平面向量數量積性質及運算律的探究，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力教育點：通過本節(jié)課的學習，激發(fā)學生學習數學的興趣和善于發(fā)現、勇于探索的精神，體會學習的快樂，體會各學科之間是密不可分的培養(yǎng)學生思考問題認真嚴謹的學習態(tài)度自主探究點：有關向量數量積的性質及運算律的證明考試點：考查向量數量積運算；有關向量夾角的計算；應用向量解決垂直問題易錯易混點：向量的數量積與實數的乘法的區(qū)別拓展點：向量在幾何中證明垂直的應用教具準備 多媒體課件、直尺課堂模式 學案導學一、 創(chuàng)設情境、引入課題任意兩

3、個向量都可以進行加減運算，那么，兩個向量是否可以進行乘法運算呢？回憶一下物理中“功”的計算，功的大小與哪些量有關？結論：如右圖，一個物體在力的作用下產生位移，且力與位移的夾角為，那么力所做的功 功是一個標量，它由力和位移兩個向量所確定，數學上，我們把“功”稱為向量與的“數量積”一般地，對于非零向量與的數量積是指什么？【設計意圖】由舊知識引出新內容，同時聯系物理學和數學，理解具體和一般的關系二、探究新知1平面向量數量積的定義 已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積(inner product)（或內積），記作，即，其中是與的夾角特別強調：（1）兩個向量，的數量積與代數中兩個數的乘積是兩碼事

4、，要注意向量與的數量積是記作，中間的實心小圓點不能省略，也不能把實心小圓點用乘號“×”代替，寫成（2）我們規(guī)定，零向量與任一向量的數量積為0.思考1：定義中涉及哪些量？數量積是數量還是向量？ 結論：，涉及兩向量的模及它們的夾角.數量積是個數量.思考2：兩個非零向量的夾角決定了它們數量積的符號，何時為正？何時為負？何時為零？當，即時，；當，即時，；當，即時，2平面向量數量積的運算性質思考1：當兩個非零向量與共線或者垂直時，數量積有什么特殊性呢？結論：（1）； （2）當與同向時，； 特別地，所以通常記作當與反向時，；思考2：設與都是非零向量，如何計算它們的夾角？結論：由可得，再結合可求出

5、思考3：與的大小關系如何？為什么？ 結論：，因為，所以【設計意圖】通過上述4個思考，在學生討論交流的基礎上，由教師進一步明晰數量積的性質，然后再由學生利用數量積的定義給予證明，完成探究活動這樣設計體現了教師只是教學活動的引領者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發(fā)學生參與學習活動的熱情3數量積的幾何意義對于兩個非零向量與，設其夾角為，叫做向量在方向上的投影 如上圖所示，是向量在方向上的投影思考1：向量在方向上的投影是數量，一定是正數嗎？向量在方向上的投影是什么？ 結論： 不一定是正數，其正負取決于，即的取值向量在方向上的投影是思考2：根據投影的概念，數

6、量積的幾何意義是什么？ 結論：數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積，或等于的長度與在方向上的投影的乘積【設計意圖】使學生從感性到理性去認知數量積的定義通過對概念的認識、分析和探究，使學生加深理解，掌握相關的幾何意義并加深對投影的認識4平面向量數量積的運算律發(fā)現數量積的運算律教師引導學生回顧實數運算中有關的運算律，并類比得出數量積的運算律，體會不同運算的運算律不盡相同，然后由學生自主完成下列表格：在實數運算中在向量運算中是否正確交換律(1)（ ）結合律(2)（ ）(3)（ ）分配率(4)（ ）消去律(5)（ ）【設計意圖】通過類比、探究使學生得到數量積的運算律，進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維和探究問

7、題的能力答案：(1)；(2)×；(3)；(4)；(5)×對于上述表格，學生在處理的過程中(2)(5)出錯率較高，需要老師著重分析：(2)這是因為表示一個與共線的向量，而表示一個與共線的向量，而與不一定共線，所以一般不成立，即使與共線，此式也不一定成立(5) 如下圖，均滿足，但明晰數量積的運算律已知向量、和實數，則：(1) ；(2) ；(3) 證明數量積的運算律學生自主證明(1) (2)，同時對于(2)，注意引導學生反思：當時，向量與、與的方向的關系，此時向量與、與的夾角與向量與的夾角相等嗎？教師分析證明 (3)：如右圖，在平面內任取一點O，作， ，因為（即）在方向上的投影等

8、于、在方向上的投影的和，即， 所以，所以，所以【設計意圖】發(fā)現運算律、明晰運算律、證明運算律， 這樣做不僅培養(yǎng)了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結合在一起三、理解新知1對數量積的理解平面向量的數量積是兩個向量之間的運算，它與向量的加法、減法、數乘運算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時還有一系列的運算性質，但與向量的線性運算不同的是：數量積的運算結果是數量而不是向量這個數量的大小不僅和向量與的模有關，還和它們的夾角的余弦值有關，數量積運算結果的符號取決于向量與的夾角 2靈活掌握平面向量數量積的性質(1) ，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由

9、垂直進行有關計算；(2) 與可用來求向量的模，以實現實數運算向向量運算的相互轉化(3) 不僅可以用來直接計算兩向量、的夾角，也可用來求直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式用于求參數的值或范圍四、運用新知例1已知，且與的夾角，求【設計意圖】本例及拓展變式1，2均由學生自主完成，然后教師進行答案的校對其目的是通過計算鞏固對數量積定義的理解解： 拓展變式1：若，且，則是多少？答案：當與同向時，；當與反向時，拓展變式2：若，且，則是多少？答案：因為，所以例2我們知道，對任意，恒有，對于任意的向量，是否也有下面類似的結論？(1) ；(2) 【設計意圖

10、】使學生體會實際解題中運算律的作用，比較向量運算與多項式乘法運算的異同解：(1) (2) 例3已知，且與的夾角，求解： = = =拓展變式3 已知，與的夾角，求答案： 例4已知，且與不共線為何值時，向量與互相垂直？【設計意圖】學會利用數量積來解決有關垂直問題，體會運算律的優(yōu)越性解：與互相垂直的條件是，即因為，所以，所以也就是說，當時，與互相垂直拓展變式4：若，求的值答案：五、課堂小結1知識方面：（1）平面向量的數量積的定義；（2）平面向量數量積的幾何意義；（3）平面向量數量積的重要性質；（4）平面向量數量積的運算律2思想方法方面：體會類比的數學思想和方法，進一步提高抽象概括、推理論證的能力【設計意圖】通過課堂小結，使學生對本節(jié)的內容有一個完整、系統(tǒng)的認識，在培養(yǎng)概括能力的同時，也對本節(jié)課的教學效果進行反饋六、布置作業(yè) 必做題：教材P108習題2.4 A組1、2、3；B組1選做題：已知與都是非零向量，且 與垂直，與垂直求與的夾角【設計意圖】通過設計不同層次的作業(yè)既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高，從而達到激發(fā)興趣和“減負”的目的七、教后反思1教學設計亮點：通過創(chuàng)設情境引入引入新課，激發(fā)了學生的學習興趣；以提問、猜想、討