正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用FLT修改版

1、FLT4815162342修改：“五、 總結(jié)與展望判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0，若為0則發(fā)散，若不為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散?！敝绣e(cuò)誤的句子“若為0則發(fā)散，若不為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界”應(yīng)當(dāng)為“若不為0則發(fā)散，若為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界”。還有，讓下載需求10分財(cái)富值什么的見(jiàn)鬼去吧！我就要0分上傳！正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用一、引言數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，在實(shí)際生活中的運(yùn)用也較為廣泛，如經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)理論中重要的組成部分，級(jí)數(shù)的收斂性更是級(jí)數(shù)理論的核心問(wèn)題，要想解決正

2、項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題必須先解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來(lái)仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問(wèn)題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍。二、預(yù)備知識(shí)1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件 部分和數(shù)列有界，即存在某正數(shù)M，對(duì)，有<M。2、幾種不同的判別法2.1 比較判別法 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某正數(shù)N，對(duì)一切n>N都有，那么（1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散；即和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。比較判別法的極限形式 ：設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)。若，則（1）當(dāng)時(shí)，與同時(shí)收斂或同

3、時(shí)發(fā)散；（2）當(dāng)且級(jí)數(shù)收斂時(shí)，也收斂；（3）當(dāng)且發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。2.2 比值判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若從某一項(xiàng)起成立著，有（1）若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂；（2）若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)發(fā)散。比值判別法的極限形式：若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則（1） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。2.3 根式判別法設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù)M（1） 若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂；（2） 若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂根式判別法的極限形式： 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)一步判斷。2.4 柯西積分判別法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)單調(diào)減少的數(shù)列，

4、作一個(gè)連續(xù)的單調(diào)減少的正值函數(shù)，使得當(dāng)x等于自然數(shù)n時(shí)，其函數(shù)恰為。那么級(jí)數(shù)與數(shù)列，這里，同為收斂或同為發(fā)散。2.5 拉貝判別法 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在自然數(shù)及常數(shù)r，（1）若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂；（2）若對(duì)一切，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂拉貝判別法的極限形式：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限存在，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。（3）當(dāng)時(shí)，拉貝判別法無(wú)法判斷。2.6 阿貝爾判別法如果： 級(jí)數(shù)； 級(jí)數(shù)單調(diào)有界，則級(jí)數(shù)收斂。2.7 狄立克萊判別法如果：級(jí)數(shù)的部分和有界，級(jí)數(shù)單調(diào)趨近于零，則級(jí)數(shù)收斂。2.8 對(duì)數(shù)判別法設(shè)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若（1），收斂（2），收斂2.9 等價(jià)判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

5、收斂，則也收斂三、 判別方法的比較1、當(dāng)級(jí)數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項(xiàng)為等差或等比值或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無(wú)法求出時(shí)，可以選用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件進(jìn)行判斷。如：（1）、 取，若令所以級(jí)數(shù)發(fā)散（2）、 = =S=P級(jí)數(shù)只能用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件進(jìn)行判斷最為簡(jiǎn)便。2、當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如，為任意函數(shù)、級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如含有或等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行比較、不易算出或、等此類(lèi)無(wú)法判斷級(jí)數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級(jí)數(shù)的證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)選用比較判別法。例：（1） 級(jí)數(shù)收斂（2） 級(jí)數(shù)收斂比較判別法使用的范圍比較廣泛，適用于大部分無(wú)法通過(guò)其它途徑判別其斂散性的正項(xiàng)級(jí)

6、數(shù)。3、當(dāng)級(jí)數(shù)含有階n次冪，型如或或分子、分母含多個(gè)因子連乘除時(shí)，選 用比值判別法。當(dāng)通項(xiàng)含與的函數(shù)可以選用比值判別法的極限形式進(jìn)行判斷，例： （1） 級(jí)數(shù)發(fā)散（2） 所以級(jí)數(shù)收斂（3）級(jí)數(shù)收斂4、當(dāng)級(jí)數(shù)含有n次冪，型如或或通項(xiàng)即分母含有含的函數(shù)，分子為1，或級(jí)數(shù)含有多個(gè)聚點(diǎn)時(shí)，可選用根式判別法。例如：（1）級(jí)數(shù)收斂一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)選用根式判別法無(wú)法判斷時(shí)，我們也可以選用比值判別法來(lái)判斷，但有時(shí)候我們用根式判別法而不使用比值判別法，因?yàn)楦脚袆e法得到的收斂條件比比值判別法更優(yōu)。例如：（2） 根式判別法bc>1，級(jí)數(shù)發(fā)散bc<1，級(jí)數(shù)收斂bc=1，原式 級(jí)數(shù)發(fā)散比值判別法 級(jí)數(shù)收斂 級(jí)數(shù)

7、發(fā)散由例題可知，兩種判別法都可以用來(lái)判斷上題，但根式判別法與比值判別法相比得出的收斂范圍更小，約束條件更為詳細(xì)。因此，上題選用根式判別法比比值判別法更好。在使用判別法時(shí)，我們可以選用根式判別法找到最佳收斂條件。同時(shí)也存在只能使用根式判別法，使用比值判別法無(wú)法判斷的情況。例如：（3） 級(jí)數(shù)收斂不可使用比值判別法 無(wú)法判斷斂散性因此，當(dāng)我們觀察級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的極限趨近于0時(shí)，我們可以選用比值判別法或根式判別法。5、當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如，為含有的表達(dá)式或可以找到原函數(shù)，或級(jí)數(shù)為上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，含有或等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù)，可以選用柯西積分判別法。例：，其中因?yàn)榘l(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散6、當(dāng)級(jí)數(shù)同時(shí)含

8、有階層與n次冪，型如與時(shí)，或使用比值、根式判別法時(shí)極限等于1或無(wú)窮無(wú)法判斷其斂散性的時(shí)候，選用拉貝判別法。例：不能用比值判別法 無(wú)法判斷斂散性不能用根式判別法 無(wú)法判斷斂散性因此，當(dāng)根式判別法與比值判別法無(wú)法判斷斂散性時(shí)，我們可以選用拉貝判別法。7、當(dāng)通項(xiàng)是由兩個(gè)部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減且極限趨于0的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列，如含有或等三角函數(shù)等；或可化為，如：；也可以型如，為任意函數(shù)，則可以選用狄立克萊判別法。阿貝爾判別法也可以看成是狄立克萊判別法的特殊形式。例：設(shè)收斂，則級(jí)數(shù)，等都是極限8、當(dāng)通項(xiàng)可通過(guò)泰勒展開(kāi)式等方法找到其等價(jià)式，則可以通過(guò)判斷其等價(jià)式的斂散性來(lái)判斷原正

9、項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，這需要對(duì)泰勒展開(kāi)式能夠較為熟練的使用，以及對(duì)各種等價(jià)式能夠熟練的運(yùn)用。例：（1） Q（泰勒展開(kāi)式） = =收斂所以級(jí)數(shù)收斂9、 當(dāng)?shù)闹悼苫癁樘├臻_(kāi)式，則選用高斯判別法。如：（1） ， 級(jí)數(shù)收斂， 級(jí)數(shù)發(fā)散（2） ，當(dāng)n充分大時(shí)，當(dāng)，級(jí)數(shù)為如果，則級(jí)數(shù)收斂；如果，則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)， = 其中當(dāng)時(shí)，由洛必達(dá)法則級(jí)數(shù)收斂10、當(dāng)通項(xiàng)或可以選用對(duì)數(shù)判別法。例：對(duì)當(dāng)時(shí)， 級(jí)數(shù)收斂四、應(yīng)用舉例例1 分析：本題無(wú)法使用根式判別法與比值判別法，因此選擇比較判別法進(jìn)行判斷且級(jí)數(shù)收斂所以級(jí)數(shù)收斂例2 分析：本題無(wú)法使用根式判別法、比值判別法，或比較判別法以及其他的判別法進(jìn)行判斷，因此選用充要條件進(jìn)行判

10、斷。單調(diào)遞增且有界所以級(jí)數(shù)收斂例3 分析：本題型如，為任意函數(shù)，則可以選用狄立克萊判別法。=所以級(jí)數(shù)收斂例4 分析：本題中通項(xiàng)含有階層，但不能使用根式判別式或比值判別式進(jìn)行判斷，因此選用拉貝判別法。所以當(dāng)，即，級(jí)數(shù)收斂例5 分析：本題中分子含有，無(wú)法用比值判別法或其他方法判別，這種類(lèi)型也是根式判別法的典型類(lèi)型，取上極限進(jìn)行判斷，因此，選用根式判別法。 極限收斂例6 分析：通過(guò)觀察，本題可以使用充要條件進(jìn)行判斷，但等價(jià)判斷法進(jìn)行判斷更為便捷。所以又收斂收斂五、 總結(jié)與展望判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0，若不為0則發(fā)散，若為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若級(jí)

11、數(shù)的一般項(xiàng)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價(jià)式用等價(jià)判別法。當(dāng)通項(xiàng)具有一定的特點(diǎn)時(shí)，則根據(jù)其特點(diǎn)選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無(wú)法使用時(shí)，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法、庫(kù)默判別法或高斯判別法。庫(kù)默爾判別法可以推出比值判別法、拉貝爾判別法與伯爾特昂判別法。當(dāng)無(wú)法使用根式判別法時(shí)，通?？梢赃x用比值判別法，當(dāng)比值判別法也無(wú)法使用時(shí)，使用比較判別法，若比較判別法還是無(wú)法判別時(shí)再使用充要條件進(jìn)行斷。由此，我們可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的，每當(dāng)一種判別法無(wú)法判斷時(shí)，就出現(xiàn)一種新的判別法來(lái)進(jìn)行判斷，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法有無(wú)窮多種。正項(xiàng)級(jí)

12、數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來(lái)仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問(wèn)題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍。本文歸納總結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點(diǎn)，總結(jié)出一些典型的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法也可用于判定負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及變號(hào)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性，也可以推廣到傅立葉級(jí)數(shù)的斂散性判別，在復(fù)變函數(shù)中也可以用于判定級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的斂散性和收斂半徑。由于時(shí)間倉(cāng)促，本文尚有許多不足之處，歡迎大家提出意見(jiàn)和建議，同時(shí)希望通過(guò)本文能加深學(xué)習(xí)者對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的了解。參考文獻(xiàn)1陳欣. 關(guān)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的幾種特殊方法 J . 武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，4.2陳金梅. 冪級(jí)數(shù)求和法例談 J . 石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院報(bào)，2005，9.3夏學(xué)啟. 貝努利數(shù)的簡(jiǎn)明表達(dá)法 J . 蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，2.4吳良森等編著. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解 M . 北京：科學(xué)出版社，2002，2.5費(fèi)定暉，周學(xué)圣編著. 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解 M . 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2005，1.6周應(yīng)編著. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題