過程控制第二章 過程建模

1、第二章 過程建模* 基本概念* 單容對象的數學模型* 多容對象的數學模型* 實驗建模第一節(jié) 基本概念一、對象輸入輸出描述調節(jié)器調節(jié)閥測量變送 y(t)y(t) x(t)x(t) e(t)e(t) u(t)u(t) q(t)q(t) z(t)z(t)+ +- -)(1tf)(tfn)(1sw)(swn)(0sw niiisFsWsQsWsY10)()()()()( niiisFsWsQsWsY10)()()()()(控控制制通通道道的的傳傳遞遞函函數數:)(0sW個擾動通道的傳遞函數個擾動通道的傳遞函數第第isWi:)(二、靜態(tài)特性與動態(tài)特性1 、靜態(tài)特性描述對象輸出量與對象輸入量之間的關系，用

2、放出系數K表示。yOxyxxyKOxyK2、動態(tài)特性 描述對象在輸入信號作用下，輸出量隨時間變化的特性。 時間常數用T表示，T表征對象物理量變化的速率。Oty1T2T21TT 三、物料平衡與能量平衡 在靜態(tài)情況下，單位時間流出過程的 物料 （能量）等于流入過程的 物料 （能量） 在動態(tài)情況下，單位時間流入過程的 物料 （能量）與流出過程的 物料 （能量）之差等于過程物料 （能量）儲存量的變化率。四、自衡對象與無自衡對象四、自衡對象與無自衡對象自衡對象： 在擾動作用下，過程平衡狀態(tài)被破壞后，不需人工或儀表干預，自身能建立新的平衡狀態(tài)。無自衡對象：在擾動作用下，過程平衡狀態(tài)被破壞后，自身不能建立新

3、的平衡狀態(tài)。五、建模途徑1 機理建模2 實驗建模3 其它方法六、建模目的控制系統設計與參數整定；2 控制系統仿真研究。第二節(jié) 單容對象的數學模型單容對象：單個儲存容器一，自衡單容對象1. 無滯后單容對象例1 設液位對象如 所示。圖中：Q1：液體流入量，對象的輸入量Q2：液體流出量h：液位，對象的輸出量R1，R2為液阻A：液箱底面積,容量系數R R1 1R R2 2A Ah hQ Q1 1Q Q2 212 . Fig12 . Fig數學模型:取增量：消取中間變量得微分方程：或其中： 為時間常數， 為放大系數。 2221RhQdtdhAQQ 2221RhQdthdAQQ 122QRhdthdAR

4、100QKhdthdT ART2020RK R R1 1R R2 2A Ah hQ Q1 1Q Q2 2用傳遞函數表示：設H(S)=Lh,Q1(S)=LQ1L:拉氏變換。則傳遞函數為增量方程組亦可表示為含S變量的方程組：其對應的方框圖如下圖所示，據此亦可求出傳遞函數。階躍響應為： 1)()()(0010STKSQSHSW2221/ )()()()()(RSHSQSASHSQSQ1/AS1/AS1/R1/R2 2)(1SQ)(2SQ)(SHO)(th)(h0Tt22 . Fig32 . Fig例2 設溫度對象如圖所示，圖中： ： 為容器內水溫，確定為輸出量（被控量）； ：電爐供熱量，定為輸入量；

5、 ：爐外空氣溫度； ：加熱器散熱量； 設G：加熱器內水的總重量； ：傳熱系數； ：水的比熱； A：加熱器的表面積。根據能量平衡關系有： ：為熱容 ；令 為熱阻1T1Q2T2QrKdtdTCdtdTGcQQp1121 pcpGcC )(212TTAKQr AKRr/1 1Q1T2Q2TV 22042 . Fig其增量方程組為：令 ，消去中間變量得微分方程：傳遞函數為：式中 階躍響應如 所示RTTQdtTdCQQ212121 02 T 10110QKTdtTdT 1)()()(0010 STKSQSHSWRCT 0RK 0O)(1tT)(1T0Tt52 . Fig52 . Fig小結：1) 定關系

6、（應用物料或能量平衡原理）；2) 取增量（線性化）；3) 去中間（中間變量），得方程（輸入輸出關系）；4) 算比值（拉氏變換），得傳函（傳遞函數）。2. 純滯后單容對象 例3 設液位純滯后單容對象如圖所示。圖中L為閥門至管道出口的長度，v為液體流速，閥門出口流量為 ，管道出口流量為 ，其余說明同無純滯后對象。R R1 1R R2 2A Ah h1Q*1Qv62 . FigQ Q2 2L)(1tQ)(*1tQ建立數學模型：稱 為純滯后時間。微分方程：即傳遞函數：其中：對象的階躍響應曲線如圖所示。0/ vL 0001*1 0 )()( tttQtQ)(*100tQKhdthdT )(0100 tQ

7、KhdthdTseSTKSQSHSW01)()()(0010 seSQtQLtQL0)()()(101*1 00TO)(th)(htO1QtO)(th)(ht1t72 . Fig二. 無自衡單容對象1. 無自衡單容對象（無滯后）例4 無自衡單容對象（無滯后）如圖所示，其特點是在流出液體由定量泵抽出。建立方程：即傳遞函數為： 1QtR R1 1A Ah hQ Q1 1Q Q2 20221 QdthdAQQ 1QdthdA STSQSHSWa1)()()(10 為積分時間常數。 無自衡單容對象的階躍響應如圖所示，無平衡狀態(tài)。1Q t)(th tOaT/1R R1 1A Ah hQ Q1 1Q Q2

8、 2ATa 2. 純滯后無自衡單容對象純滯后無自衡單容對象例例5 純滯后無自衡單容對象純滯后無自衡單容對象如圖所示，同理可得對象如圖所示，同理可得對象數學模型：數學模型：及 純滯后無自衡單容對象的純滯后無自衡單容對象的階躍響應如圖所示，純滯后階躍響應如圖所示，純滯后時間為時間為 ，無平衡狀態(tài)，無平衡狀態(tài)。LR R1 1A Ah hQ Q1 1Q Q2 2v*1Q)(01 tQdthdASaeSTSQSHSW01)()()(10 1QtO0 )(th tOaT/10 92 . Fig第三節(jié) 多容對象的數學模型多容對象：2個以上單容裝置構成。一. 自衡對象1. 無滯后自衡無滯后自衡多容多容對象對象

9、例例6 設雙容液位對象如設雙容液位對象如圖所示。建立對象圖所示。建立對象Q1為為輸入量輸入量h2為輸出量的為輸出量的數學模型。數學模型。Q3R32h2AR1R2Q1Q21A1h102 . Fig寫出增量方程組：消去中間變量得微分方程：式中32322322121121/RhQdthdAQQRhQdthdAQQ 132223122222312)(QRhdthdARARdthdARAR 10222122221)(QKhdthdTTdthdTT 30232121 , ,RKARTART 傳遞函數為：傳遞函數也可由方程組對應的方框圖來求出。)1)(1()()()(210120 STSTKSQSHSWSA

10、1/12/1 RSA2/13/1 R)(1SQ)(2SQ)(3SQ)(2SH)(1SH112 . Fig32322322121121/ )()( )()()(/ )()( )()()(RsHsQssHAsQsQRsHsQssHAsQsQ 方程組對應的方框圖為：令輸入量作階躍變化，輸出變量的響應如圖所示。令輸入量作階躍變化，輸出變量的響應如圖所示。說明：1) 與單容對象比較，雙容對象響應曲線呈S形狀；2) 在響應曲線拐點D處作切線分別交時間軸于A， 水平線于B ，其在時間上的投影為C ，則 為容量滯后時間 為時間常數容量滯后時間是由對象的多容特性決定的，這樣，對象特性亦可用 ， ， 來描述。1Q

11、tO)(1th)(1htO)(2th)(2htACT 0OA 0 )(2 h0T0 0K0TO)(2th)(2 ht0 DACB122 . Fig 多容對象不同階數n的響應曲線如圖所示?？梢妌越大，容量滯后時間也越大。n階多容對象階多容對象的傳遞函數：如果 ，則稱為n階等容過程階等容過程，其傳遞函數為：)1()1)(1()(2100 STSTSTKSWn021TTTTn nSTKSW)1()(000 O)(th)( ht1 n2 n5 n132 . Fig 2. 當過程具有純滯后時，其傳遞函數為： 或SneSTSTSTKSW0)1()1)(1()(2100 SneSTKSW0)1()(000

12、二二. 無自衡多容對象無自衡多容對象設無自衡多容液位對象如圖所示。R1R2Q1Q21A1h2h2A3Q1Qt)(1th)(1ht)(2thOt0142 . Fig152 . Fig其中傳遞函數為：其中傳遞函數為：式中： 為第一個容器的時間常數 為積分時間常數無自衡多容對象純滯后無自衡多容對象)1(1)()()(120 TSSTSQSHSWa12ART 2ATa naTSSTSW)1(1)(0 SnaeTSSTSW0)1(1)(0 2 n第四節(jié) 實驗建模一. 響應曲線的測定二. 切線法三. 計算法四. 半對數作圖法一一. 響應曲線的測定響應曲線的測定響應曲線測試流程圖： u(t)：過程輸入信號：

13、過程輸入信號 y(t)：過程輸出信號：過程輸出信號1. 階躍響應曲線的測定階躍響應曲線的測定 階躍響應曲線完全描述了被控過程的特性，據此可求出被控過程的數學模型。注意事項： 1) 被控過程在平穩(wěn)狀態(tài)被控過程在平穩(wěn)狀態(tài)下，下，u(t)作階躍輸入。作階躍輸入。 2) 合理選擇階躍輸入量合理選擇階躍輸入量的幅值，一般為正常值的的幅值，一般為正常值的515%。過程)(ty)(tu檢測記錄儀檢測記錄儀162 . Fig0tu )(tuot0uy )(tyo0tt0y172 . Fig 3) 階躍信號作正，反方向變化，測定響應曲線，以檢階躍信號作正，反方向變化，測定響應曲線，以檢查過程線性特性。查過程線性

14、特性。 4) 重復測試幾次，詳細記錄響應曲線重復測試幾次，詳細記錄響應曲線。缺點：有些過程不容許階躍干擾。2. 矩形脈沖響應曲線的測定矩形脈沖響應曲線的測定 1) 測定矩形脈沖響應曲線；測定矩形脈沖響應曲線； 2) 將矩形脈沖響應曲線合將矩形脈沖響應曲線合成階躍響應曲線。成階躍響應曲線。 設 為矩形脈沖輸入 設 為矩形脈沖響應 為階躍響應 為階躍輸入 為 時刻的階躍輸入)(0ttu )(tu)(ty)(tup)(typ0tt02t0ttt05t04t03to)(typ)(ty)(tup)(tu)(0ttu oo182 . Fig曲線合成的數學描述： 令 ，則： 在輸出坐標圖上描出多個點，將這些

15、點光滑連接，在輸出坐標圖上描出多個點，將這些點光滑連接，得階躍響應曲線。得階躍響應曲線。)()()()()()()()()(000ttytytyttytytyttututuppp , 2 , 1 , 0 , 0nntt)()()(0000tntyntyntyp 二二. 切線法切線法下面分類求模型參數：1. 一階自衡模型一階自衡模型根據 所示曲線：1) 過原點作切線與過原點作切線與 相交于相交于B點，由點，由B點作時間的垂線點作時間的垂線交于交于C點；點；2) 3) 傳遞函數為傳遞函數為u)(tuOty)(tyO)(ytCB202 . Fig202 . FiguyuoyyK )()(0OCT 0

16、)1()(000 STKSW)(y2. 一階純滯后自衡模型一階純滯后自衡模型由由 可得：可得：傳遞函數為：傳遞函數為：u)(tuOt0Ot)(y)(tyyCBA212 . Fig212 . FigOA 0 ACT 0uyK 0SeSTKSW0)1()(000 3.一階無自衡模型一階無自衡模型由 可得：當 時其傳遞函數為：其傳遞函數為：222 . Figut222 . Fig)(tytOaT/1 tguTTutgaa , tgTa1 1 u sTSWa1)(0 4.一階純滯后無自衡模型一階純滯后無自衡模型由由 可得：可得：其傳遞函數為：ut232 . Fig)(tytOaT/1A232 . Fi

17、gOA 0 tgTa1 1uSaesTSW01)(0 5. 二階自衡模型二階自衡模型 由由 可得：可得：其傳遞函數為：其傳遞函數為：ut00TOtDACB)(y)(tyy242 . Fig242 . FigOAACTuyK 000 SeSTKSW0)1()(000 6. 二階無自衡模型二階無自衡模型由由 可得可得： 其傳遞函數為：其傳遞函數為：Otut)(ty252 . Fig252 . FigAOOA 0 tgTa1 SaesTSW01)(0 三、計算法三、計算法1. 計算計算 、對于 其時間響應為其時間響應為 ，則相對函數為即即其響應曲線如圖所示，標明縱坐標，找出對應的標明縱坐標，找出對應

18、的 、 、 、 。 SeSTKSW01)(000 0T)(ty4t)(/ )()(0 ytyty tettyTt 001 0)(3t2t1t4t) (0tyto1632. 039. 033. 07 . 02t1t3t262 . Fig選取 ， ，且 有：兩邊取對數得：可有：即可求得 ， 011)(10Ttety 021)(20Ttety )(1ln1001tyTt )(1ln2002tyTt )(1ln)(1ln2010120tytyttT )(1ln)(1ln)(1ln)(1ln2010201102tytytyttyt 0T 2t1t 12tt為計算方便,在圖中取特殊點，得兩組等式： 如果上

19、述兩數值很接近，則可取平均值來 近似： 237 . 01ln33. 01ln7 . 01ln33. 01ln8 . 07 . 01ln33. 01ln2632. 01ln39. 01ln632. 01ln39. 01ln)(2632. 01ln39. 01ln41141141413223123231ttttttttTttttttttT 如果上述兩組數值很接近，則可取平均值來近似： 如果上述兩數值相差很遠，則不能用這種方法，應選用二階滯后特性來近似。2210TTT 221 2.計算計算 、傳遞函數為傳遞函數為：階躍響應曲線如圖所示。階躍響應曲線如圖所示。取取則則 、 由下式求得：由下式求得：2T

20、1T)1)(1()(2100 STSTKSW21)(8 . 0 , )(4 . 0tyty 1T2T55. 074. 1)(16. 22121212121 ttTTTTttTT46. 032. 021 tt ) (t yto)(y)(4 . 0y)(8 . 0y2t1t272 . Fig說明：說明：1）當）當 時，為一階模型，時，為一階模型，2）當）當 時，時，3）當）當 時，用高階模型近似。時，用高階模型近似。4）32. 021 tt46. 021 tt12. 2210ttT 46.021 tt2000)1( STKW18. 2221210 ttTTTuyK 0四四. 半對數坐標作圖法半對數坐標作圖法1. 一階自衡對象一階自衡對象設一階自衡對象為：設一階自衡對象為：在階躍在階躍 作用下作用下以上式左邊為縱坐標，為橫以上式左邊為縱坐標，為橫坐標作圖得半對數坐標圖。坐標作圖得半對數坐標圖。1)()()(0 TSKSUSYSW0uTtKutyyeKutyyeyeKutyTtTtTt 0/0/0ln)()(ln)()()1)()1()()(tyO)(ytABCt1282 . Fig2282 . Fig0ut)(tu由半對數坐標圖得：2. 二階自衡對象二階自衡對象其階躍響應為：210)(TtTtBeAeKuty )lg(lg303.2 2.30