微分方程鴨子過河

1、鴨子過河設河邊點O的正對岸為點A,河寬OA=h(圖)，水流速度為a,有一鴨子從點A游向點O,設鴨子(在靜水中)的游速為b (b>a),且鴨子游動的方向始終朝著點Oo設h=10m, a=1m/s, b=2m/s,用數(shù)值法求渡河所需時間、任意時刻鴨子的位置及游動曲線。建立任意時刻鴨子的位置和鴨子游動的數(shù) 學模型，并求其解析解。1 .模型的假設為了使問題確定和簡化，實際上已經作了如下假設：假設河寬固定，設為h,且兩岸為平行直線；鴨子游速為 b及水流速度a均為常數(shù)；鴨子游動的方向始終指向Oo2 .模型的建立和求解取O為坐標原點，河岸朝順水方向為x軸，y軸指向對岸，如圖所示。設時刻t鴨子位于點 P

2、 (x, y),設起點坐標(x, y) = (0, h),終點坐標(0, 0),設0為鴨子 速度方向與x軸正向間的夾角，b (bcos ,bsin )bOPa (a,0) , v a b于是鴨子游動的跡線滿足：x(0)=0 , y(0)=h(1)模型的數(shù)值解實際上，從上述方程不能求得x(t) , y(t)的解析式，但在參數(shù)確定的情況下，可以通過數(shù)值解得到任意時刻x(2)=y ,編鴨子的位置。設 x=(x(1) , x(2) , x(1)=x 寫如下的函數(shù)M文件：%鳥子過河、渡河function dx=duhe(t,x) %為duhe的函數(shù)M文件a=1;b=2;s=sqrt(x(1)A2+x(2

3、)A2);dx=a-b*x/s;-b*x/s;%在編寫運行程序時，須設定時間t(可見，鴨子的渡河時間在 7s之間)ts=0:7;x0=0,10;t,x=ode45(duhe,ts,x0); %t,xplot(t,x),gridgtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause % plot(x(:,1),x(:,2),grid,建立名以向量形式表示方程組的起點及終點步長，可大致估計靜水中的渡河時間，并作試探。%* y的初始值調用ode45計算姍出 t , x(t) , y(t)%按照數(shù)值輸出作x(t) , y(t)的圖形利用鼠標確定字符串位置%乍

4、y(t)的圖形gtext('x'),gtext('y')得到的數(shù)彳t結果x(t) , y(t)為鴨子的位置列入表。x(t) , y(t)及y(x)的圖形見圖(a)和(b)表h=10 , a=1, b=2時的數(shù)值解tx(t)y(t)tx(t)y(t)圖(a)和圖(b)(2)模型的解析解為了得到更精確的運動軌跡，還必須對模型作進一步分析以得到其解析解。鴨子運動速度為:故有：由此得到微分方程：dx Vxdy Vy22a x ybyx一,x(h)=0y求解此齊次微分方程得到鴨子游動的軌跡方程為: a a1 1 -y b y b-,0<y<h (具體求解參見附

5、錄(1)h h采用下列Matlab程序，我們可以畫出鴨子運動的軌跡(圖)。h=10;a=1;b=2;y=h:0;x=h/2*(y./h).A(1-a/b)-(y./h).A(1+a/b);plot(x,y,'bO-') legend('duck') xlabel('X');ylabel('Y');圖鴨子運動的軌跡鴨子游動曲線軌跡的弧長可以用公式dsJix2dy求出,也可以用數(shù)值方法求解。3 .對解以及問題的進一步討論關于解可以作進一步分析：如果 b<a,由上述軌跡方程當y-0,得到x-8。因此，這中情況下鴨子是不可能到達對岸

6、的，這與鴨子運動的力學分析結果是一致的。syms y;limit(10/2*(y/10)A(1-2)-(y/10)A(1+2),y,0,'left')syms y;limit(10/2*(y/10)A(1-2)-(y/10)A(1+2),y,0,'right') 結果分別為-Inf和Inf。很自然地，還可以探討如下問題：如果鴨子上岸的地點不超過和對岸下游一定位置(比如與正對 岸距離為l ),鴨子的速度大小與方向不變，問鴨子以怎樣的游動方向才能以最少的時間到達上岸地點？鴨子能夠按要求到達對岸速度應滿足什么條件？如果水流速度變化，進一步可研究2003年全國數(shù)學建模競

7、賽D題：強渡長江。4 .建模過程總結這是一個微分方程應用題，整個解題過程已經包含了建立數(shù)學模型的基本內容，即根據(jù)問題背景和建模問題作出必要的簡化假設一一鴨子速度和水流速度均為常數(shù)；用字母和符號表示有關變量(如鴨子速度、水流速度、時間及位置坐標等)；利用相應的物理（或其他）規(guī)律一一牛頓力學有關規(guī)律，列出微分方程；求解微分方程得到鴨子游動軌跡曲線解析解，此處我們還采用了數(shù)值解法得到了任意時刻鴨子的位置（坐標）；解的討論及推廣應用等。參考文獻20011李志林，歐宜貴，數(shù)學建模及典型案例分析，北京：化學工業(yè)出版社，2同濟大學應用數(shù)學系，高等數(shù)學（本科少學時類型） 上冊（第二版），北京：高等教育出版社，

8、附錄：（1）鴨子游動軌跡方程的求解將得到的微分方程dxaX22yx一化成齊次方程dxdybyydydxaH 1 x yydyb;x-的形式，得y（i-i）令ux一,貝1 x=yu , ydx dyduu y，代入上述方程，得 dydua 2u y vu1 u(1-2)dyb化簡并分離變量得(1-3)兩端積分，得ln(u Ju2 1) aln y G (其中。為常數(shù))(1-4)b au 1 1 y b C2(其中 C2 eC1)(1-5)x將u一代入上式，得y(1-6)-J- 1 y2C2(其中 C2eC1)y . ya_a由 x(h)=0 # y=h, x=0 代入上式，得 1 h b C2 ,求得 C2 hba將C2hb代入式(1-5),得 a aJu2 1 hby b u(1-7)將上式平方并化簡，得a aa