“宇振杯”上海市初中數學競賽及答案

1、1“宇振杯”上海市初中數學競賽、填空題（15題每小題6分，610題每小題8分，共70分）若這五位數能被7整除，則嵌入的數碼1.在2002當中嵌入一個數碼組成五位數20W02設“W中數字為a,那么五位數20W02的數值為2 因為2002除以7的余數為3,所以，要使得五位數10000 a 100 2 20002 a 100,20W02能被7整除，那么a 100除以7的余數必須為4 ,而0即a 2或者9,所以,100, 200, 300,嵌入的數碼“L , 900中，被7除余數為4的只有200和900,是2或92.若實數a滿足a3ax解為【解析】已知a(1 a)/ 2 a(a1)(1)如果a 0,上

2、不等式組等價于即,個矛盾不等式組，所以這種情況應舍去。(2)如果a 0 ,上不等式組等價于a2 11或者a 1此時，不等式x a 1 ax等價于（1 a）x 1因為a1a么（1 a）x 1 a等價于x a,所以，原不等式的解為 x1 a3.如圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點 A落在點A處，第二次過1 aA再折疊，使折痕DE PBC若AB 2. AC 3,則梯形BDEC的面積為A C E【解析】9由紙片的折疊方式知，ABC ABC,所以，過 A點到BC的高等于過 A點到BC的高，即ABC中BC上的高與 ADE中DE上的高的比例為 1:2,又因為DE P BC所以 ABC : ADE ,由相似三角

3、形的性質得ABC的面積： ADE的面積 ,24從而，梯形BDEC的面積為 ABC的面積的3倍，已知AB 2, AC 3,所以， ABC1的面積為2 3 3從而梯形BDEC的面積為3 3 9。 24 .已知關于正整數n的二次式y n2 an(n為實常數)，若當且僅當n 5, y最小值，則實數a的取值范圍是【解析】 11 a 95 .如圖，在平面直角坐標系中有一個正方形ABCD,它的4個頂點A(10,0)、B(0,10)、橫坐標都是整數的點)C( 10,0)、D(0, 10),則該正方形內及邊界上共有 個整點(即縱、【解析】 221已知A(10,0)、B(0,10),所以，直線 AB的方程為y x

4、 10在 ABO內，當一個點的橫坐標為 1時，如果這個點在直線 AB上，那么這個點的縱坐標為1 10 9,所以，只要橫坐標為1,縱坐標大于等于0小于等于9的點都在 ABO的內部 或者AB邊或者AO邊上，共10個點，顯然這些點均符合題意。同理，當一個點的橫坐標為2時，如果這個點在直線AB上，那么這個點的縱坐標為2 10 8,所以，只要橫坐標為 2,縱坐標大于等于0小于等于8的點都在 ABO的內 部或者AB邊或者AO邊上，共9個點，顯然這些點均符合題意。L L當一個點的橫坐標為 9時，如果這個點在直線 AB上，那么這個點的縱坐標為 9 10 1, 所以，只要橫坐標為 9,縱坐標大于等于 0小于等于

5、1的點都在 ABO的內部或者 AB邊或 者AO邊上，共2個點，顯然這些點均符合題意。當一個點的橫坐標為10時，只有(10, 0)點符合題意，所以，在 ABO內共有 10 9 8 L 1 11 5 55個點符合題意，由正方形的對稱性知，BOC、 DOC、AOD中各有55個點符合題意，顯然，(0, 0)點也符合題意。綜上，符合題意的點共有 55 4 1 221個。6.如圖，P為 ABC形內一點，點D、E、F分別在BC、CA、AB上，過A、C分另IJ作PD、PE、PF的平行線,PD交對邊或對邊的延長線于點 X、Y、Z若PAB、 1 4，PE 1BY 3PFCZ【解析】5127.若ABC的三邊兩兩不等

6、，面積為,15且中線AD、BE的長分別為1和2,則中線CF的長為【解析】、.68.計算:1212 100 5000f2-L22 200 5000k2 k2 100k5000L 992992 9900 5000【解析】 999. 若正數x、y、z 滿足 xyz(x則(xy)(y z)的最小可能值為【解析】 4因為x、y、z 0,則(x y)(y z)xy yy xz yz(x y z)y yz令(xz)yyz b(x y)(y z) xy yyxz yz (x yz) y yz a b又因為ab(x y z)xyz 、. 42,所以a b的最小值為4 ,即(xy)( y z)的最小值為4。10.

7、若關于x的方程Vx7 1藪123c恰有兩個不同的實數解，則實數a的取值范圍3【斛析】 a 0或a 一16令收 y ,則夕 y2,那么原方程等價于已知原方程有兩個不同的實數解，因為4X2a0必有一個實數解，未完二、（16 分）已知p為質數，使二次方程2px p25 P 1 0的兩根都是整數,求出p的所以可能值?！窘馕觥恳驗橐阎畏匠逃姓麛?/24p 4( p 5p1)4（5 p 1）為完全平方，從而， 5p1為完全平方,令5p1n2,注意到p2,故n 4,且n為整數，于是5p(n 1)(n 1)則n 1中至少有一個是5的倍數,n 5k 1 （k為正整數），因此,5p 125k2 10kk(5k

8、2)p為質數,5k 2 1,知 k 1 , p 3或7;當p 3時，已知方程變成x26x 7X11 ， x27；當p 7時，已知方程變成x214x 13 0 ,解得 x11 ， X213,所以p 3或7。三、（16分）已知它的3個頂點分別在等腰90)，l的等腰直角三角形（ZXYZ是直角邊長為Rt ABC(頂點Z在斜邊AB上，取XY的中點M ,選CM、ZM、CCZ并作邊AB上的高CN ,則CZ CM MZ 1XY 1XY XY ,2CA 2CN 2如圖頂點Z在直角邊CA（或CB）上，由對稱性，不妨設 Z在CA上，設CX過Y作YH CA于H ,易證 ZYH XZC ,得HZAHY為等腰三角形，則中

9、，由勾股定理有y2AH y ,設 AC b ,則 2y_22-2(b 2y)1 ，即 5y 4byCX x,HY CZ y,又顯然x b,則 x b 2y,在 CXZb2 1 0 ,因為y為實數，則16b2 20(b2 1) 20 4b2 0, b V5,當 b V5 時，y 綜合（1）、（2）知，b的最大值為押。四、（18分）平面上有7個點，他們之間可以連一些線段，使7點中的任意3點必存在2點有線段相連，問至少要連多少條線段？證明你的結論?！窘馕觥浚?） 若7個點中，有一點孤立（即它不與其他點連線），則剩下6點每2點必須連線， 此時至少要連15條。（2） 若7個點中，有一點只與另一點連線，則剩下5點每2點必須連線，此時至少要連11條。7 3（3） 若每點至少引出3條線段，則至少要連 7條線段，由于線段數為整數，故此2 時至少要連11條。（4） 若每點至少引出