銳角三角函數(shù)--教學(xué)設(shè)計（馮丹丹）

1、. 銳角的正弦1圓中半徑、圓心角及其所對弦長關(guān)系的探究北京市牛欄山一中實驗學(xué)校 馮丹丹一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容銳角的正弦的第一課時：圓中半徑、圓心角及其所對弦長關(guān)系的探究2內(nèi)容解析銳角的正弦是銳角三角函數(shù)中的第一個概念，是學(xué)生第一次接觸角度與比值之間的對應(yīng)關(guān)系，并為后續(xù)理解余弦和正切提供了思想和方法上的引導(dǎo).而銳角三角函數(shù)是對直角三角形中邊角關(guān)系的又一次深化研究與拓展，同時，也是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形以及高中進一步研究三角函數(shù)等知識的重要準備.因此，銳角的正弦的概念教學(xué)，是整個初高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)的關(guān)鍵.為了幫助學(xué)生更好的理解正弦的函數(shù)本質(zhì)，將銳角的正弦調(diào)整為兩課時，第1課時，從銳角正弦的本質(zhì)意義

2、以及初高中知識的銜接這兩個角度作為出發(fā)點，去探究“圓中半徑、圓心角及其所對弦長之間的關(guān)系，建立起弦長與半徑的比值與弦所對的圓心角之間的函數(shù)關(guān)系.第2課時，通過圖形間的分解和背景的轉(zhuǎn)換，將1課時中得到的結(jié)論，過渡到直角三角形中，從而獲得“在直角三角形中，銳角和對邊與斜邊的比值之間的對應(yīng)關(guān)系，進而得出銳角的正弦的概念.本節(jié)課，作為銳角正弦的第一課時，旨在幫助學(xué)生建立起角度與比值之間的對應(yīng)關(guān)系，由于學(xué)生是首次接觸，理解起來具有一定的困難.因此，確定本節(jié)課的重點是：弦長及半徑的比值與弦所對圓心角之間的函數(shù)關(guān)系的建立.二、目的和目的解析1目的1探究圓中半徑、圓心角及其所對弦長之間的關(guān)系，明確弦長及半徑的

3、比值與弦所對圓心角之間的函數(shù)關(guān)系；2通過一系列的活動設(shè)置，進步發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的才能，積累學(xué)習(xí)函數(shù)的活動經(jīng)歷，并浸透研究變量間關(guān)系的方法，培養(yǎng)合作交流、勇于探究的精神；3在學(xué)習(xí)過程中體會數(shù)學(xué)與生活的親密聯(lián)絡(luò)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和主動學(xué)習(xí)的欲望.2目的解析達成目的1的標志是：學(xué)生能通過整節(jié)課的探究活動，發(fā)現(xiàn)“弦長及半徑的比值與弦所對圓心角之間的函數(shù)關(guān)系目的2、3表達在學(xué)生動手理論、小組合作、猜測驗證、歸納小結(jié)的過程中三、教學(xué)問題診斷分析我的授課班級學(xué)生數(shù)學(xué)根底較好，學(xué)生已具有一定的數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)歷以及具備一定的推理證明才能，但缺乏對變量之間關(guān)系的研究方法和思想，影響結(jié)論的得出.因

4、此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：弦長及半徑的比值與弦所對圓心角之間的函數(shù)關(guān)系的理解四、教學(xué)手段的使用為有效實現(xiàn)教學(xué)目的，使用以下教學(xué)手段幫助學(xué)生完成探究：直尺、量角器：度量圓中半徑、圓心角及其所對弦長，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中量與量的關(guān)系.計算器：進展角度與弧度的轉(zhuǎn)化，以便畫函數(shù)圖象.幾何畫板：用于解決測量準確度的問題，以及對學(xué)生猜測進展直觀驗證，有助于學(xué)生完成探究、打破難點.五、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)活動學(xué)生活動設(shè)計意圖發(fā)現(xiàn)問題階段1.播放“足球射門的相關(guān)視頻，提出問題：當(dāng)站在球門的中軸線上進展射門，在忽略風(fēng)向、空氣阻力以及個人技巧等因素之外，還與哪些因素有關(guān)？ 2.帶著學(xué)生將視頻中的實際情景轉(zhuǎn)換到圓的背景

5、中，從而發(fā)現(xiàn)半徑、弦心距、圓心角及其所對弦長之間存在著聯(lián)絡(luò).由于半徑、弦心距、弦長之間可以知二求一，由此引出課題：圓中半徑、圓心角及其所對弦長關(guān)系的探究.觀看視頻考慮視頻中的問題，與老師一起從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.創(chuàng)設(shè)情境，引出新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、好奇心和自主探究的欲望，充分調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與自主性.探究問題階段探究問題階段【活動一】模型建立借助右圖，完成以下問題，并用“增大、“減小或“不變填空1假設(shè)圓心角不變，當(dāng)半徑增大時，弦長 ；2假設(shè)半徑不變，當(dāng)圓心角大于0°且小于180°增大時，其所對弦長 ；3假設(shè)弦長不變，當(dāng)半徑增大時，其所對圓心角大于0°且

6、小于180° .老師活動：1.鼓勵學(xué)生展示想法，老師進展板演；2.幾何畫板驗證學(xué)生猜測；3.帶著學(xué)生進展深度領(lǐng)悟：通過回憶函數(shù)定義，得到每個結(jié)論中的兩個變量之間是具有函數(shù)關(guān)系的.觀察并考慮：當(dāng)半徑、圓心角及其所對弦長這三個量中，有一個量是定量時，其余兩個變量之間是怎樣的變化關(guān)系？回憶函數(shù)定義，提升對每個結(jié)論中的兩個變量之間關(guān)系的認識.感性認知：三種情況下，兩個變量之間存在變化關(guān)系.體會函數(shù)是描繪兩變量之間的變化關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.【活動二】猜測類型1.1一組任務(wù)：探究當(dāng)圓心角一定時，弦長與半徑之間的函數(shù)關(guān)系材料準備：直尺任務(wù)：組員按指派任務(wù)，度量或計算圖中圓心角在每個圓中所對的弦長，

7、補全表格，并根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，在坐標系內(nèi)描點、畫圖.如：當(dāng)圓心角為30°時2二組任務(wù)：探究當(dāng)半徑一定時，弦長與圓心角之間的函數(shù)關(guān)系材料準備：量角器、直尺任務(wù)：組員按指派任務(wù)，度量或計算表格中每個圓心角所對的弦長，進展記錄，并根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，在坐標系內(nèi)描點、畫圖.如：當(dāng)半徑為1.3cm時3三組任務(wù)：探究當(dāng)弦長一定時，圓心角與半徑之間的函數(shù)關(guān)系材料準備：量角器、計算器任務(wù)：度量在每個圓中弦所對的圓心角大于0°小于180°的度數(shù)，補全表格，并根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，在坐標系內(nèi)描點、畫圖.如：當(dāng)弦長為0.9cm時2.觀察圖象，你認為兩個變量之間可能是什么函數(shù)關(guān)系？老師活動：1

8、.安排各小組組長展示探究結(jié)果；2.利用幾何畫板及時驗證學(xué)生猜測分小組進展活動，各組任務(wù)不同，各組員任務(wù)也不一樣，按編號完成指派任務(wù)預(yù)設(shè)：1. 對于一組的任務(wù)：猜測兩變量之間是正比例函數(shù)關(guān)系. 2.對于二組的任務(wù)： 猜測兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系. 3.對于三組的任務(wù)： 猜測兩變量之間是反比例函數(shù)關(guān)系. 各組成員，在小組內(nèi)交流所畫圖象，共同完成對函數(shù)類型的猜測通過幾何畫板初步認定：只有當(dāng)圓心角一定時，弦長與半徑之間是我們學(xué)習(xí)過的正比例函數(shù)關(guān)系.小組合作方式的利用，有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性以及表達學(xué)生的主體地位. 整個活動借助函數(shù)圖象將抽象的函數(shù)關(guān)系直觀形象的呈現(xiàn)出來，有助于函數(shù)類型的發(fā)現(xiàn)，為最終

9、結(jié)論的得出搭設(shè)必要的臺階.培養(yǎng)學(xué)生勇于探究、樂于探究、合作交流的意識.探究問題階段要想證明當(dāng)圓心角一定時，弦長與半徑之間是正比例函數(shù)關(guān)系，只需要證明弦長與半徑的比值是定值,引出“活動三.【活動三】理論驗證：與是同心圓，求證：老師巡視，進展點撥學(xué)生獨立進展證明，并展示證明過程,從而肯定猜測，得出結(jié)論：當(dāng)圓心角一定時，其所對弦長與半徑的比值是定值.浸透觀察、猜測、證明的研究問題的方法解決問題階段帶著學(xué)生回歸到本節(jié)課開場提出的問題中：當(dāng)半徑、圓心角及其所對弦長都是變量時，它們之間存在什么關(guān)系？老師利用幾何畫板，直觀形象的引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論：1.當(dāng)圓心角確定時，其所對弦長與半徑的比也是確定不變的值；2.

10、當(dāng)圓心角變化時，其所對弦長與半徑的比值也隨之發(fā)生變化。由此，得出本節(jié)課的探究結(jié)論.觀看幾何畫板，考慮問題，得出結(jié)論：在圓中，弦長與半徑的比值與弦所對的圓心角的大小之間存在函數(shù)關(guān)系.其中圓心角是自變量，弦長與半徑的比值是因變量.根據(jù)函數(shù)定義，再一次體驗數(shù)學(xué)建模思想. 首尾照應(yīng)，得出本節(jié)課所要探究的結(jié)論.小結(jié)提升階段1.這節(jié)課通過探究得到的結(jié)論是什么？2.本節(jié)課的探究過程是怎樣的？3.本節(jié)課的活動過程表達了什么方法和思想？4.你還有什么疑惑？答復(fù)以下問題，進展小結(jié)幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的探究過程，整體感受本節(jié)課中函數(shù)關(guān)系的建構(gòu)過程，浸透研究變量之間關(guān)系的方法 六、教學(xué)特色與效果分析1.注重了函數(shù)的本質(zhì)屬性.銳角的正弦知識本身具有函數(shù)的特征，以往的教學(xué)根本上僅注意了其中的幾何推理，而忽略了其函數(shù)的本質(zhì)屬性，本節(jié)課是基于銳角正弦的函數(shù)意義下的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究并發(fā)現(xiàn)弦長與半徑的比值與弦所對的圓心角之間的函數(shù)關(guān)系.2.改變了