第3章 §2 數(shù)學(xué)證明

1、.§2數(shù)學(xué)證明1理解演繹推理的概念重點(diǎn)2掌握演繹推理的根本形式，并能用它們進(jìn)展一些簡單的推理重點(diǎn)3能用“三段論證明簡單的數(shù)學(xué)問題難點(diǎn)根底·初探教材整理數(shù)學(xué)證明閱讀教材P58P59“練習(xí)以上部分，完成以下問題1證明1證明命題的根據(jù)：命題的條件和的定義、公理、定理2證明的方法：演繹推理2演繹推理的主要形式演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：1大前提：提供了一個(gè)一般性道理2小前提：研究對(duì)象的特殊情況3結(jié)論：根據(jù)大前提和小前提作出的判斷判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1“三段論就是演繹推理2演繹推理的結(jié)論是一定正確的3演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理【答案】1&#

2、215;2×3×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型把演繹推理寫成三段論的形式將以下演繹推理寫成三段論的形式1一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)；2三角形的內(nèi)角和為180°，RtABC的內(nèi)角和為180°；3通項(xiàng)公式為an3n2n2的數(shù)列an為等差數(shù)列【精彩點(diǎn)撥】三段論推理是演繹推理的主要形式，推理形式為“假如bc，ab，那么ac.其中，bc為大前提，提供了的一般性原理；ab為小前提，提供了一個(gè)特殊情況；ac為大前提和小前提結(jié)合產(chǎn)生的

3、邏輯結(jié)果【自主解答】1一切奇數(shù)都不能被2整除大前提75不能被2整除小前提75是奇數(shù)結(jié)論2三角形的內(nèi)角和為180°.大前提RtABC是三角形小前提RtABC的內(nèi)角和為180°.結(jié)論3數(shù)列an中，假如當(dāng)n2時(shí)，anan1為常數(shù)，那么an為等差數(shù)列大前提通項(xiàng)公式an3n2，n2時(shí)，anan13n23n123常數(shù)小前提通項(xiàng)公式為an3n2n2的數(shù)列an為等差數(shù)列結(jié)論把演繹推理寫成“三段論的一般方法：1用“三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個(gè)一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來，提醒一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)2在尋找大前提時(shí)，要保證

4、推理的正確性，可以尋找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提再練一題1將以下演繹推理寫成三段論的形式1平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分；2等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角形的兩底角，那么AB.【解析】1平行四邊形的對(duì)角線互相平分，大前提菱形是平行四邊形，小前提菱形的對(duì)角線互相平分結(jié)論2等腰三角形的兩底角相等，大前提A，B是等腰三角形的兩底角，小前提AB.結(jié)論演繹推理在幾何中的應(yīng)用如圖3­2­1所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點(diǎn)，BFDA，DEBA，求證：DEAF.寫出“三段論形式的演繹推理. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720195】

5、圖3­2­1【精彩點(diǎn)撥】用三段論的形式依次證明：1DFAE，2四邊形AEDF為平行四邊形，3DEAF.【自主解答】同位角相等，兩直線平行，大前提BFD和A是同位角，且BFDA，小前提所以DFAE.結(jié)論兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提DEBA且DFEA，小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形結(jié)論平行四邊形的對(duì)邊相等，大前提DE和AF為平行四邊形的對(duì)邊，小前提所以DEAF.結(jié)論1用“三段論證明命題的步驟1理清楚證明命題的一般思路；2找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；3把每個(gè)結(jié)論的推出過程用“三段論表示出來2幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，

6、將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論再練一題2證明：假如梯形的兩腰和一底相等，那么它的對(duì)角線必平分另一底上的兩個(gè)角【解】在梯形ABCD中如下圖，ABDCAD，AC和BD是它的對(duì)角線，求證：CA平分BCD，BD平分CBA.證明：等腰三角形的兩底角相等，大前提DAC是等腰三角形，DCDA，小前提12.結(jié)論兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，大前提1和3是平行線AD，BC被AC 所截的內(nèi)錯(cuò)角，小前提13.結(jié)論等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等，大前提2，3都等于1，小前提2和3相等結(jié)論即CA平分BCD.同理BD平分CBA.探究共研型演繹推理在代數(shù)中的應(yīng)用探究1演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？【提示】演繹

7、推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論一定正確探究2因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogaxa0，a1是增函數(shù)，而yx是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以yx是增函數(shù)上面的推理形式和結(jié)論正確嗎？【提示】推理形式正確，結(jié)論不正確因?yàn)榇笄疤崾清e(cuò)誤的a，b，m均為正實(shí)數(shù)，b<a，用三段論形式證明：<.【精彩點(diǎn)撥】利用不等式的性質(zhì)證明【自主解答】因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向，大前提b<a，m>0，小前提所以mb<ma.結(jié)論因?yàn)椴坏仁絻蛇呁由弦粋€(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，大前提mb<ma，小前提所以mbab<maab，即bam<ab

8、m結(jié)論因?yàn)椴坏仁絻蛇呁砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，大前提bam<abm，aam>0，小前提所以<，即<.結(jié)論代數(shù)問題中常見的利用三段論證明的命題：1函數(shù)類問題：比方函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等3三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式以及求和，數(shù)列的性質(zhì)5不等式的證明再練一題3當(dāng)a，b為正實(shí)數(shù)時(shí)，求證：.【解】因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)實(shí)數(shù)，大前提而2是一個(gè)實(shí)數(shù)的平方，小前提所以是非負(fù)實(shí)數(shù)，即0.所以.結(jié)論構(gòu)建·體系1下面幾種推理過程是演繹推理的是A兩條直線平

9、行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，假如A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么AB180°B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得出高三所有班級(jí)中的人數(shù)都超過50人C由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D在數(shù)列an中，a11，ann2，通過計(jì)算a2，a3，a4猜測出an的通項(xiàng)公式【解析】A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理【答案】A2用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2>0，你認(rèn)為這個(gè)推理A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤D是正確的【解析】這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，小前提是“a是實(shí)數(shù)，結(jié)論是“a2>0顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤【答案】A3函數(shù)y2x5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：_；小前提：_；結(jié)論：_.【答案】一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y2x5是一次函數(shù)函數(shù)y2x5的圖像是一條直線4如圖3­2­2所示，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ABCD，BCAD.圖3­2­2又因?yàn)锳BC和CDA的三邊對(duì)應(yīng)相等，所以ABCCDA.上述推理的兩個(gè)步驟中分別省略了 _、_.【答案】大前提大前提5用三段論的