第四章第8講　正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例

1、抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等海問題、物理問題等(1)仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線角，目標(biāo)視線在水平視線_的角叫仰角，目標(biāo)視線在的角叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線水平視線_的角叫俯角的角叫俯角

2、(如圖如圖)1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型2實際問題中的常用角實際問題中的常用角上方上方下方下方抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北，北偏西偏西45，西偏北，西偏北60等；等；(3)方位角方位角指從正北方向指從正北方向_轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的點的方位角為方位角為(如圖如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)順時針順時針抓住抓住2個考點個考點突破突

3、破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解三角形應(yīng)用題的一般步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系側(cè)重考查從實際問題中提煉知，理清量與量之間的關(guān)系側(cè)重考查從實際問題中提煉數(shù)學(xué)問題的能力數(shù)學(xué)問題的能力(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單

4、位問題、近似計算的要求等單位問題、近似計算的要求等【助學(xué)助學(xué)微博微博】抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或?qū)嶋H問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其

5、他三角形，有時需設(shè)出未知的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程量，從幾個三角形中列出方程(組組)，解方程，解方程(組組)得出所要得出所要求的解求的解抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012江蘇金陵中學(xué)江蘇金陵中學(xué))已知已知ABC的一個內(nèi)角為的一個內(nèi)角為120，并且三邊長構(gòu)成公差為并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則三角形的面積的等差數(shù)列，則三角形的面積等于等于_考點自測考點自測抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考2若海上有若海上有A，B，C三個小島，測得三個小島，測得A，B兩島相距兩島相距1

6、0海海里，里，BAC60，ABC75，則，則B，C間的距離間的距離是是_海里海里抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2013日照調(diào)研日照調(diào)研)如圖，一船如圖，一船自西向東勻速航行，上午自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔時到達(dá)一座燈塔P的南偏西的南偏西75距塔距塔68海里的海里的M處，下午處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速處，則這只船的航行速度為度為_海里海里/時時抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案等邊三角形等邊三角形抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭

7、秘3年高考年高考答案答案4抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】如圖所示，如圖所示，A、B、C、D都在都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面船于水面A處測得處測得B點和點和D點的仰角點的仰角分別為分別為75，30，于水面，于水面C處測得處測得B點和點和D點的仰角均為點的仰角均為60，AC0.1km.考向一考向一測量距離問題測量距離問題(1)求證：求證：ABBD；(2)求求BD.抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)證明證明在在ACD

8、中，中，DAC30，ADC60DAC30，所以，所以CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底邊底邊AD的中垂線，所以的中垂線，所以BDBA.抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié)(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解型的解(3)應(yīng)用題要注意作答應(yīng)用題要注意作答抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭

9、秘揭秘3年高考年高考ADB45(A，B，C，D在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)，求兩目標(biāo)A，B之間的距離之間的距離抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】(2010江蘇江蘇)某興趣小組要測量某興趣小組要測量電視塔電視塔AE的高度的高度H(單位：單位：m)如圖所如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度的高度h4m，仰角，仰角ABE，ADE.考向二考向二測量高度問題測量高度問題(1)該小組已測得一組該小組已測得一組、的值，算出了的值，算出了tan1.24，tan1.20，請據(jù)此算出

10、，請據(jù)此算出H的值；的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離電視塔的距離d(單位：單位：m)，使，使與與之差較大，可以提高之差較大，可以提高測量精度若電視塔的實際高度為測量精度若電視塔的實際高度為125m，試問，試問d為多少為多少時，時，最大？最大？抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考因此，算出的電視塔的高度因此，算出的電視塔的高度H是是124m.抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法

11、總結(jié)(1)測量高度時，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念測量高度時，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析分清已知和待求，分析(畫出畫出)示意圖，明確在哪個三角示意圖，明確在哪個三角形應(yīng)用正、余弦定理形應(yīng)用正、余弦定理(3)注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練2】如圖所示，測量河對岸的塔如圖所示，測量河對岸的塔高高AB時，可以選與塔底時，可以選與塔底B在同一水平在同一水平面內(nèi)的兩個測點面內(nèi)的兩個測點C與與D，現(xiàn)測得，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點，并在點C測測得塔頂?shù)盟擜的

12、仰角為的仰角為，求塔高，求塔高AB.抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考向三考向三運用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問題運用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問題抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié)用解三角形知識解決實際問題的步驟：用解三角形知識解決實際問題的步驟：第一步：將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題；第一步：將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題；第二步：將有關(guān)條件和求解的結(jié)論歸結(jié)到某一個或兩個三第二步：將有關(guān)

13、條件和求解的結(jié)論歸結(jié)到某一個或兩個三角形中角形中第三步：用正弦定理和余弦定理解這個三角形第三步：用正弦定理和余弦定理解這個三角形第四步：將所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的結(jié)果第四步：將所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的結(jié)果抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練3】(2013廣州二測廣州二測)如圖，漁船如圖，漁船甲位于島嶼甲位于島嶼A的南偏西的南偏西60方向的方向的B處，且與島嶼處，且與島嶼A相距相距12海里，漁船乙海里，漁船乙以以10海里海里/時的速度從島嶼時的速度從島嶼A出發(fā)沿正出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從北方向航行，若漁船甲同時從B處出處出發(fā)沿北偏東發(fā)沿北偏東的方

14、向追趕漁船乙，剛的方向追趕漁船乙，剛好用好用2小時追上，此時到達(dá)小時追上，此時到達(dá)C處處(1)求漁船甲的速度；求漁船甲的速度；(2)求求sin的值的值抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考航海、測量問題利用的就是目標(biāo)在不同時刻的位置數(shù)航海、測量問題利用的就是目標(biāo)在不同時刻的位置數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時間內(nèi)的運動距離，這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時間內(nèi)的運動距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過這些

15、三角形中的已知數(shù)據(jù)把測量因此解題的關(guān)鍵就是通過這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測量目標(biāo)歸入到一個可解三角形中目標(biāo)歸入到一個可解三角形中規(guī)范解答規(guī)范解答8如何運用解三角形知識解決實際問題如何運用解三角形知識解決實際問題抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考審題路線圖審題路線圖(1)分清已知條件和未知條件分清已知條件和未知條件(待求待求)(2)將問題集中到一個三角形中將問題集中到一個三角形中(3)利用正、余弦定理求利用正、余弦定理求解解抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個

16、考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考點評點評三角形應(yīng)用題常見的類型：三角形應(yīng)用題常見的類型：實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；個三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形，這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解；形，這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解；實際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由實際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理理抓住抓住2個考點個考點突破突破3個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012四川卷改編四川卷改編)如圖，正方如圖，正方形形ABCD的邊長為的邊長為1，延長，延長BA至至E，使，使AE1，連結(jié)，連結(jié)EC、ED，則，則sinCED_.高考經(jīng)典題組訓(xùn)練高考經(jīng)典題