拉格朗日方程習(xí)題解答

1、習(xí) 題 15-1 如圖15-7所示的升降機，在主動輪C上作用一驅(qū)動力偶M，使質(zhì)量m1的物體A上升。已知平衡物B的質(zhì)量為m2，主動輪C和從動輪D都為均質(zhì)圓輪，半徑和質(zhì)量分別為r和m3。如不計膠帶質(zhì)量，試求A物的加速度。圖15-7 動力學(xué)普遍方程 15-2 圖15-8所示調(diào)速器由兩個質(zhì)量各為m1的滑塊及質(zhì)量為m2的平衡重塊組成，長l的桿不計重量，彈簧剛度為k，當(dāng)q = 0時，為原長。若調(diào)速器繞鉛垂軸等角速度旋轉(zhuǎn)，試求與的關(guān)系。圖15-8 動力學(xué)普遍方程 故 15-3 如圖15-9所示，板DE質(zhì)量為m1，放在三個質(zhì)量均為m2的滾子A、B和C上，今在板上作用一水平向右的力F，使板與滾子運動。如板與滾子

2、，以及滾子與水平面之間均無滑動，試求板DE的加速度.滾子可視為均質(zhì)圓柱，不計滾動摩擦。圖15-9 動力學(xué)普遍方程 15-4 橢圓規(guī)尺放在水平面內(nèi)，由曲柄帶動，如圖15-10所示。設(shè)曲柄OC與橢圓規(guī)尺AB都為均質(zhì)桿，質(zhì)量分別為m1和2m1，且OC=AC=BC=l?；瑝KA與B的質(zhì)量相等均為m2，如作用在曲柄上的驅(qū)動力矩為MO不計摩擦，試求曲柄的角加速度。圖15-10同習(xí)題12-6 由 15-5 如圖15-11所示，鉸接平行四邊形機構(gòu)O1O2AB位于鉛直平面內(nèi)，桿O1A，O2B各長l，質(zhì)量不計；桿AB為均質(zhì)桿，質(zhì)量m。設(shè)在O1A桿上作用一常力矩M，試求O1A轉(zhuǎn)動到任意位置時的角加速度，并求時的角加速

3、度的值。圖15-11以為廣義坐標(biāo)，先求廣義力給系統(tǒng)虛位移由 時 15-6 如圖15-12所示，在質(zhì)量為m1的均質(zhì)圓柱C上繞著一根細繩，繩的質(zhì)量可以不計。繩的另一端跨過不計質(zhì)量的滑輪O與質(zhì)量為m2的物塊A相連，物塊放在粗糙的水平面上，動摩擦因數(shù)為。如果圓柱由靜止落下作平面運動，試求物塊和圓柱質(zhì)心的加速度。圖15-12以、為廣義坐標(biāo)，先求廣義力顯然 代入拉氏方程 得 解得 即 15-7 如圖15-13所示，一繩跨過兩定滑輪A與B，并吊起一動滑輪C，繩子不在滑輪上的各端都是鉛垂的，滑輪上吊有重W40N的重物，繩的兩端分別掛有重量各為W1=20N，W2=30N的兩重物。如滑輪與繩的重量以及軸承的摩擦均

4、可不計，試求這三個重物的加速度。圖15-13以、為廣義坐標(biāo)(向下為正) 代入拉氏方程 得 解得 即(向上) (向下) (向上) 15-8 圖15-14所示滑輪組中，三個物塊A，B，C質(zhì)量分別為mA=10kg， mB=20kg，mC=20kg。物塊與地面間的動摩擦因數(shù)均為=0.2，滑輪質(zhì)量不計，試求各重物的加速度。圖15-14以(向右為正)、(向左為正)為廣義坐標(biāo)，先求廣義力顯然 代入拉氏方程 得 解得 即(向右) (向左) (向下) 15-9 用動力學(xué)普遍方程推導(dǎo)剛體平面運動微分方程。 15-10 如圖15-15所示，半徑為r的滑輪可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，在滑輪上跨過一不可伸長的繩，繩的一端懸掛質(zhì)量

5、為m1的重物C，另一端與剛性系數(shù)為k的鉛垂彈簧相連。設(shè)滑輪的質(zhì)量m2均布于輪緣上，繩與滑輪間無滑動。試求系統(tǒng)的振動周期。圖15-15以C的鉛垂位移為廣義坐標(biāo)(向下為正) 代入拉氏方程 15-11如圖15-16所示，橢圓擺由一半徑為r，質(zhì)量為m1的均質(zhì)圓盤A與一小球B構(gòu)成，圓盤可沿水平面純滾動。小球質(zhì)量為m2用長為l的桿AB與圓盤相連，桿AB能繞與圖面垂直且與圓盤相連的A軸轉(zhuǎn)動，不計桿的質(zhì)量。試求橢圓擺的運動微分方程(小球大小不計)。圖15-16以、為廣義坐標(biāo) 代入拉氏方程 即 15-12 如圖15-17所示，一質(zhì)量為m的質(zhì)點在一半徑為r的圓環(huán)上運動，此圓環(huán)又以勻角速度w繞其鉛垂直徑AB轉(zhuǎn)動。試

6、求此質(zhì)點的運動微分方程以及使角速度保持不變的力矩M。圖15-17以、為廣義坐標(biāo)由 (1)當(dāng) 時，由式(1)得 15-13 如圖15-18所示，一均質(zhì)圓盤半徑為r，質(zhì)量為m1，可繞其自身的水平軸O轉(zhuǎn)動，在圓盤的A點以長為l的細繩懸掛一質(zhì)量m2為的重物(視為質(zhì)點)。設(shè)繩子不可伸長其質(zhì)量略去不計。試寫出系統(tǒng)運動的微分方程。圖15-18以、為廣義坐標(biāo)代入拉氏方程 即 15-14 如圖15-19所示，質(zhì)點M在重力作用下沿直桿AB運動，AB以勻角速度繞鉛垂軸z作定軸轉(zhuǎn)動，桿AB與水平成f角。試求質(zhì)點的運動規(guī)律。圖15-19以為廣義坐標(biāo)代入拉氏方程 齊次方程通解特解故 15-15如圖15-20所示，長為2l

7、，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB的兩端沿框架的水平及鉛垂邊滑動，框架以勻角速度w繞鉛垂邊轉(zhuǎn)動。忽略摩擦，試建立桿的相對運動微分方程。圖15-20以、為廣義坐標(biāo)，先求廣義力顯然 代入拉氏方程 15-16 如圖15-21所示，物塊A的質(zhì)量為m1，可沿光滑水平面作直線運動；均質(zhì)輪C的質(zhì)量為m2沿直線BD作純滾動；力F按F=Hsint的規(guī)律變化（H和都是常量）。試建立系統(tǒng)的運動微分方程。圖15-21以、為廣義坐標(biāo)，先求廣義力顯然 代入拉氏方程 即 15-17如圖15-22所示，質(zhì)量為m1的均質(zhì)桿OA長為l，可繞水平軸O在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其下端有一與支座相連的螺線彈簧，剛度系數(shù)為k，當(dāng)時，彈簧無變形。OA桿的A端裝有可自由轉(zhuǎn)動的均質(zhì)圓盤，盤的質(zhì)量為m2，半徑為r，在盤面上作用有力矩為M的常力偶，設(shè)廣義坐標(biāo)為f和，如圖所示。求該系統(tǒng)的運動微分方程。圖15-22以、為廣義坐標(biāo)，先求廣義力顯然 代入拉氏方程 即 15-18 如圖15-23所示，繞在圓柱體A上的細繩，跨過質(zhì)量為m的均質(zhì)滑輪O，與一質(zhì)量為mB的重物B相連。圓柱體的半徑為r，質(zhì)量為mA，對