數(shù)列通項公式和前n項和求解方法全

1、數(shù)列通項公式的求法詳解一、 觀察法（關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系.）例1：根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）答案：（1） （2） （3） （4）.二、 公式法 公式法1：特殊數(shù)列例2： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，求數(shù)列 a n 和 b n 的通項公式。答案：an=a1+(n1)d = 2(n1)； bn=b·qn1=4·(2)n1

2、例3. 等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項公式是（ ） (A) (B) (C) (D) 答案：(D)例4. 已知等比數(shù)列的首項，公比，設(shè)數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式.簡析：由題意，又是等比數(shù)列，公比為，故數(shù)列是等比數(shù)列，易得.點評：當數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求首項及公差公比.公式法2： 知利用公式 .例5：已知下列兩數(shù)列的前n項和sn的公式，求的通項公式.（1）. （2）答案：（1）=3，（2）點評：先分n=1和兩種情況，然后驗證能否統(tǒng)一.三、 累加法 【型如的地退關(guān)系遞推關(guān)系】簡析：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次、二

3、次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和各式相加得 例5：已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的一個通項. 答案：例6. 若在數(shù)列中，求通項. 答案：=例7.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式. 答案：四、累積法 【 形如=(n)·型】（1）當f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此時數(shù)列為等比數(shù)列，=.（2）當f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法.例8：在數(shù)列中， =1

4、, (n+1)·=n·，求的表達式. 例9： 已知數(shù)列中，前項和與的關(guān)系是 ，試求通項公式. .答案： 思考題1：已知,求數(shù)列an的通項公式.分析：原式化為 若令,則問題進一步轉(zhuǎn)化為形式，累積得解.五、構(gòu)造特殊數(shù)列法構(gòu)造1：【形如,其中)型】 （1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列; （2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法如下：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得， 所以：,即構(gòu)成以為首項，以c為公比的等比數(shù)列.例10：已知數(shù)的遞推關(guān)系為，且求通項. 答案：構(gòu)造2：相鄰項的差為特殊數(shù)列例11：在數(shù)列中，求.提示：變?yōu)?構(gòu)

5、造3：倒數(shù)為特殊數(shù)列【形如】例12： 已知數(shù)列中且（），求數(shù)列的通項公式. 答案 六、待定系數(shù)法：例13：設(shè)數(shù)列的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項公式cn解析：設(shè) 建立方程組，解得. 點評：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，.七、迭代法【一般是遞推關(guān)系含有的項數(shù)較多】例14：（1）數(shù)列滿足,且,求數(shù)列an的通項公式.解析：由題得 時， 由、得.（2）數(shù)列滿足,且,求數(shù)列an的通項公式（3）已知數(shù)列中，求通項.八、【討論法-了解】（1）若

6、（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分為奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論. （2）形如型若(p為常數(shù))，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.例15： 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式. 專題二：數(shù)列求和方法詳解（六種方法）1、 公式法 1、等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式： 例1 已知，求的前n項和. 答案例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 答案n8時，二、錯位相減法方法簡介：此法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種

7、方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：()解析：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積：設(shè)得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：. .試一試1：求數(shù)列前n項的和. 答案： 三、倒序相加法方法簡介：這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個，然后再除以2得解.例4 求的值 . 答案S44.5四、分組法求和方法簡介：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將

8、其合并即可.一般分兩步：找通向項公式由通項公式確定如何分組；例5 求數(shù)列的前n項和：， 答案 .試一試1 求之和.簡析：由于與、分別求和.五、裂項法求和方法簡介：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項及分母有理化）如：（1） ；（2）=；（3）；4） （5） .例6 求數(shù)列的前n項和.例7 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.試一試1：已知數(shù)列an：，求前n項和. 試一試2：.六、合并法求和 方法簡介：針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例8 求cos1°+