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文檔簡介
1、數(shù)列通項公式的求法詳解一、 觀察法(關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系.)例1:根據(jù)數(shù)列的前4項,寫出它的一個通項公式:(1)9,99,999,9999,(2)(3)(4)答案:(1) (2) (3) (4).二、 公式法 公式法1:特殊數(shù)列例2: 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列,若函數(shù)f (x) = (x1)2,且a1 = f (d1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q1),求數(shù)列 a n 和 b n 的通項公式。答案:an=a1+(n1)d = 2(n1); bn=b·qn1=4·(2)n1
2、例3. 等差數(shù)列是遞減數(shù)列,且=48,=12,則數(shù)列的通項公式是( ) (A) (B) (C) (D) 答案:(D)例4. 已知等比數(shù)列的首項,公比,設(shè)數(shù)列的通項為,求數(shù)列的通項公式.簡析:由題意,又是等比數(shù)列,公比為,故數(shù)列是等比數(shù)列,易得.點(diǎn)評:當(dāng)數(shù)列為等差或等比數(shù)列時,可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式,只需求首項及公差公比.公式法2: 知利用公式 .例5:已知下列兩數(shù)列的前n項和sn的公式,求的通項公式.(1). (2)答案:(1)=3,(2)點(diǎn)評:先分n=1和兩種情況,然后驗證能否統(tǒng)一.三、 累加法 【型如的地退關(guān)系遞推關(guān)系】簡析:已知,,其中f(n)可以是關(guān)于n的一次、二
3、次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù),求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù),累加后可分組求和; 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù),累加后可裂項求和各式相加得 例5:已知數(shù)列6,9,14,21,30,求此數(shù)列的一個通項. 答案:例6. 若在數(shù)列中,求通項. 答案:=例7.已知數(shù)列滿足,求此數(shù)列的通項公式. 答案:四、累積法 【 形如=(n)·型】(1)當(dāng)f(n)為常數(shù),即:(其中q是不為0的常數(shù)),此時數(shù)列為等比數(shù)列,=.(2)當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法.例8:在數(shù)列中, =1
4、, (n+1)·=n·,求的表達(dá)式. 例9: 已知數(shù)列中,前項和與的關(guān)系是 ,試求通項公式. .答案: 思考題1:已知,求數(shù)列an的通項公式.分析:原式化為 若令,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式,累積得解.五、構(gòu)造特殊數(shù)列法構(gòu)造1:【形如,其中)型】 (1)若c=1時,數(shù)列為等差數(shù)列; (2)若d=0時,數(shù)列為等比數(shù)列;(3)若時,數(shù)列為線性遞推數(shù)列,其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法如下:設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得, 所以:,即構(gòu)成以為首項,以c為公比的等比數(shù)列.例10:已知數(shù)的遞推關(guān)系為,且求通項. 答案:構(gòu)造2:相鄰項的差為特殊數(shù)列例11:在數(shù)列中,求.提示:變?yōu)?構(gòu)
5、造3:倒數(shù)為特殊數(shù)列【形如】例12: 已知數(shù)列中且(),求數(shù)列的通項公式. 答案 六、待定系數(shù)法:例13:設(shè)數(shù)列的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通項公式cn解析:設(shè) 建立方程組,解得. 點(diǎn)評:用待定系數(shù)法解題時,常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式,一般地,若數(shù)列為等差數(shù)列:則,(b、為常數(shù)),若數(shù)列為等比數(shù)列,則,.七、迭代法【一般是遞推關(guān)系含有的項數(shù)較多】例14:(1)數(shù)列滿足,且,求數(shù)列an的通項公式.解析:由題得 時, 由、得.(2)數(shù)列滿足,且,求數(shù)列an的通項公式(3)已知數(shù)列中,求通項.八、【討論法-了解】(1)若
6、(d為常數(shù)),則數(shù)列為“等和數(shù)列”,它是一個周期數(shù)列,周期為2,其通項分為奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論. (2)形如型若(p為常數(shù)),則數(shù)列為“等積數(shù)列”,它是一個周期數(shù)列,周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時,可通過逐差法得,兩式相除后,分奇偶項來分求通項.例15: 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式. 專題二:數(shù)列求和方法詳解(六種方法)1、 公式法 1、等差數(shù)列求和公式: 2、等比數(shù)列求和公式: 例1 已知,求的前n項和. 答案例2 設(shè)Sn1+2+3+n,nN*,求的最大值. 答案n8時,二、錯位相減法方法簡介:此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種
7、方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和,其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和:()解析:由題可知,的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積:設(shè)得 (錯位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得:. .試一試1:求數(shù)列前n項的和. 答案: 三、倒序相加法方法簡介:這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個,然后再除以2得解.例4 求的值 . 答案S44.5四、分組法求和方法簡介:有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將
8、其合并即可.一般分兩步:找通向項公式由通項公式確定如何分組;例5 求數(shù)列的前n項和:, 答案 .試一試1 求之和.簡析:由于與、分別求和.五、裂項法求和方法簡介:這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達(dá)到求和的目的. 通項分解(裂項及分母有理化)如:(1) ;(2)=;(3);4) (5) .例6 求數(shù)列的前n項和.例7 在數(shù)列an中,又,求數(shù)列bn的前n項的和.試一試1:已知數(shù)列an:,求前n項和. 試一試2:.六、合并法求和 方法簡介:針對一些特殊的數(shù)列,將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),因此,在求數(shù)列的和時,可將這些項放在一起先求和,然后再求Sn.例8 求cos1°+
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