旋轉(zhuǎn)幾何證明

1、巧用旋轉(zhuǎn)解題溫州市實驗中學 周利明傳統(tǒng)幾何中，有許多旋轉(zhuǎn)的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋轉(zhuǎn)的方法是幾何學習中必備的技巧，本文將介紹旋轉(zhuǎn)方法的幾種典型用法，與廣大讀者共同學習、交流。1利用旋轉(zhuǎn)求角度的大小例1：在等腰直角中, 90°, P是內(nèi)一點,滿足、2、1求的度數(shù). PABCP 分析：本題借助常規(guī)方法的入手是比較困難的，雖然三條線段的長度是已知的，但是這三條線段不是三角形的三條邊長，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我們可以借助旋轉(zhuǎn)來分析問題，因為，這就給我們利用旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造了條件，因此可以考慮將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得,連接，通過三角形的邊與角的關(guān)系分別求得和，就可得到的大

2、小。 解：由已知，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得,連接；由旋轉(zhuǎn)可知：，；， 是等腰直角三角形 ， 且，在中，是直角三角形，且，例2：如圖所示,正方形的邊長為1，P、Q分別為邊、上的點,的周長為2，求的大小分析：本題在已知三角形的周長和正方形的邊長的條件下求角度的大小是比較困難的，因為正方形的邊長,所以可以考慮將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，易證E、D、Q三點共線，通過證明和全等即可求得的大小ABDCQEP解： ， 將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得； ，； ， 且 ， E、D、Q三點共線， 的周長為2，即，又 ， ， 在和中：， ；ADCBP練習：P為正方形內(nèi)一點,且123,求的大小2利用旋轉(zhuǎn)求

3、線段的長度例3：如圖，P是等邊內(nèi)一點，2，4，求的長。PACEB分析：本題雖然和、同處一個三角形，但是要求其長還缺角度，因此直接從已知條件入手是比較困難的，但是我們只要適當運用旋轉(zhuǎn)的方法，就可以是問題簡單化；因為本題的是等邊三角形，所以其三邊是相等的，因此聯(lián)想到將內(nèi)部的某個三角形進行旋轉(zhuǎn)也是比較容易的；解： 是等邊三角形， 將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則與重合， 且 ，連接； ， 是等邊三角形， 在中：； ， ， ， ， 例4：如圖，在梯形中，（>），90°，12，45°，若10。求的長度。ADBCGFE分析：仔細分析就會發(fā)現(xiàn)本題所給的條件不易直接求得的長度，

4、還需要做一些變化，經(jīng)觀察容易發(fā)現(xiàn)把把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，可構(gòu)成一個正方形，然后通過三角形全等，就找出邊之間的關(guān)系。解：把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接，易證A、G、F三點一線，且易知四邊形為正方形由旋轉(zhuǎn)可得：， ， 在和中：， 在， ，設(shè) ，則，；在，即； ， 解之得： 的長為4或6練習2：如圖四邊形中，90°，其面積為16，求A到的距離3利用旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系例5：如圖，在凸四邊形中，30°，60°，求證：分析：由本題的結(jié)論不難想到在直角三角形中應(yīng)用ABDCE勾股定理可以證得含有平方關(guān)系的線段之間的關(guān)系，因此我們就需要將結(jié)論中的這三條

5、線段放到同一個直角三角形中，由于，所以可以考慮將繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使和重合，這樣就可以得到，然后通過證明是等邊三角形就可以得到結(jié)論中線段之間的關(guān)系解：將繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使和重合，得并連接，由旋轉(zhuǎn)可得：，； ， 是等邊三角形， ， ， 中：， 例6：如圖，在中，90°，D、E在上，45°，求證： 分析：由本題的結(jié)論我們可以聯(lián)想到直角三角形中勾股定理的結(jié)論，因此我們就需要將結(jié)論中的三條線段放在同一個直角三角形中，再由,ABEDCF我們不難想到將繞點A延順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，這樣我們就將、放到了同一個三角形中，同時我們也不難證明

6、，然后我們只要設(shè)法證明，則結(jié)論可得 解： ，將繞點A延順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得，連接，由旋轉(zhuǎn)可得：，； ， ，在和中：， ； ， 是， 練習3：如圖、，是正三角形，是頂角120º的等腰三角形，以D為頂點作一個60º角，角的兩邊分別交、邊于M、N兩點，連接探究：線段、之間的關(guān)系，并加以證明4利用旋轉(zhuǎn)求面積的大小GCAEF例7： 如圖正方形中，點E、F分別在、上，且30°，15°，求的面積分析：本題由已知條件直接去求結(jié)論是比較困難的，由于該題中含15°，30°等特殊角度，因此通過旋轉(zhuǎn)，可構(gòu)作出45°角，構(gòu)造三角形全等，通

7、過等積變形來解決問題是比較容易的。解：將繞A點延順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：， ， 點G、B、E三點共線，又 ， ， 在和中：， ； ，又 ，中：，30°， ，在中， ， ， ， ， 例8：如圖A、B、C、D是圓周上的四個點，且弦8，弦6，則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少？圖2圖1 分析：從已知條件直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，容易發(fā)現(xiàn)正好是整個圓弧的一半，因此通過將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)使點D與點B重合，就可以得到直角三角形，然后求陰影部分的面積就會很容易解：由于，知的長正好是整個圓弧的一半，將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點D與點B重合（如圖2）：則恰好為半圓弧

8、， 為O的直徑， 90°， 由勾股定理可求得，練習4：如圖是等腰直角三角形，D為的中點，2，扇形和分別是以、為半徑的圓的，求陰影部分面積參考答案：練習： ，提示：如圖將逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，分別求得和ADCBEP練習4練習3練習2練習1 練習2：距離為4，如圖通過旋轉(zhuǎn)變換得正方形 練習3：，把繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到，易證練習4：，將扇形和繞D點順時針旋轉(zhuǎn)180°觀察巧旋轉(zhuǎn) 妙解題沈岳夫 旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的重要變換，隨著課程改革的進一步深入，利用旋轉(zhuǎn)知識進行有關(guān)計算或證明的題目很多，尤其是題目中沒有涉及到旋轉(zhuǎn)等文字，使不少學生在解答時無從著手，找不

9、到解題的途徑，但如果能根據(jù)題目特征加以觀察，通過旋轉(zhuǎn)，找到解題的突破口，那么問題就簡單化了，現(xiàn)采擷部分試題加以歸納，供參考。一. 通過旋轉(zhuǎn)，解答角度問題  例1. 如圖1，P是正三角形內(nèi)的一點，且6，8，10。求的度數(shù)。圖1解析：先將部分已知條件集中到一個三角形中，再研究這個三角形與所求的關(guān)系。將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到，連接（如圖2），則10，6，60°。是等邊三角形，6。在中，90°60°+90°=150°圖2 二. 通過旋轉(zhuǎn)，計算線段長度問題  例2. 如圖3，P是正內(nèi)一點，2，4，求的長。圖

10、3解析：此題乍一看似乎無從著手，但只要運用旋轉(zhuǎn)的方法來解題，就顯得十分容易。將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則與重合（如圖4），連接。則是正三角形，即，由，故90°，因為，所以30°，又因為60°，故90°，得圖4   例3. 如圖5，在梯形中，（>），90°，12，45°，若10。求的長度。圖5解析：經(jīng)觀察，把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，可構(gòu)成一個正方形，然后通過三角形全等，找出邊之間的關(guān)系。延長，把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，與的延長線分別交于點G，點M（如圖6），易知四邊形為正方形。又，

11、45°10設(shè)，則。在中，即所以的長為4或6。圖6 三. 通過旋轉(zhuǎn)，巧算面積問題  例4. 如圖7，正方形中，點E、F分別在、上，且30°，15°，求的面積。圖7解析：由于該題中含15°，30°等特殊角度，通過旋轉(zhuǎn)，可構(gòu)作出45°角，構(gòu)造三角形全等，通過等積變形而獲解。將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置（如圖8），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，15°，故15°+30°=45°。90°又（），60°在中，30°，則1，在中，即圖8  

12、 例5. 如圖9，A、B、C、D是圓周上的四個點，。且弦8，弦4，則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少？（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）圖9解析：要直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，運用整體思維可簡易求得。由于，知長等于圓的周長的一半，將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點D與點B重合（如圖10），則恰好為半圓弧，此時為圓O的直徑，從而90°，由勾股定理可求得，故其面積和為15.4。圖10 四. 通過分割、旋轉(zhuǎn)、拼接平行四邊形  例6. 如圖11，已知四邊形紙片，現(xiàn)需將該紙片剪成一個與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到：（用“能”或“不能”填空），若填

13、“能”，請確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若填“不能”，請簡要說明理由。圖11解析：解此題的關(guān)鍵是把大四邊形分割成四個小四邊形，然后通過分割旋轉(zhuǎn)達到目的，簡答如下：能，如圖12，取四邊形各邊的中點E、G、F、H，連接、，則、為裁剪線，、將四邊形分成1、2、3、4四個部分，拼接時，圖中的1不動，將2、4分別繞點H、F各旋轉(zhuǎn)180°，3平移，拼成的四邊形滿足條件（如圖13）。圖12圖13 五. 通過旋轉(zhuǎn)巧證三點一直線  例7. 已知，點P是正方形內(nèi)的一點，連接、。（1）將繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置（如圖14）設(shè)的長為a，的長為b（b<a）。求旋轉(zhuǎn)

14、到的過程中邊所掃過區(qū)域（圖14中陰影部分）的面積。若2，4，135°，求的長。圖14（2）如圖15，若，請說明點P必在對角線上。解析：要說明點P必在對角線上（即點A、點P、點C三點成一直線）關(guān)鍵是弄懂第（1）小題的問題，實質(zhì)第（1）小題的解答過程為第（2）問埋下伏筆，讓學生從中受到啟發(fā)，運用類比方法就易解答該題，簡答如下：（1）圖15如圖16，連接，將繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，則。，為等腰直角三角形，。6圖16（2）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置（如圖17）則，連接，則。即點P必在對角線上。圖17 六. 通過旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系  例

15、8. 如圖18，E是正方形的邊上的一點，平分交于點F。求證：。圖18解析：解此題的關(guān)鍵是如何把分散的三條線段集中到一個三角形中，經(jīng)觀察可通過旋轉(zhuǎn)三角形達到目的。將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到（如圖19），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：。則，在中，圖19   例9. 操作：如圖20，是正三角形，是頂角120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交、邊于M、N兩點，連接。圖20探究：線段、之間的關(guān)系，并加以證明。說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的思路，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少三步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程中，可以從下列中選出一個補充或更換已知條件，完成你的證明：（如圖21