曲線積分與曲面積分部分考研真題及解答

1、第八章 曲線積分與曲面積分8.1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分8.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分07.1) 設(shè)曲線具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過(guò)第II象限內(nèi)的點(diǎn)M和第IV象限內(nèi)的點(diǎn)N，T為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，則下列小于零的是 （ B ）(A) . (B) . (C) . (D) .04.1) 設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .（利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示）09.1) 已知曲線，則=10.1)已知曲線L的方程為起點(diǎn)為終點(diǎn)為則曲線積分 0 （直接算或格林）01.1)計(jì)算，其中L是平面與柱面|x|+|y|=1的交線，從z軸正向看去，L為逆時(shí)針?lè)较?。解：記為平面上L所圍部分的上側(cè)，D為在坐標(biāo)面上的投影。由

2、斯托克斯公式得=-2408.1)計(jì)算曲線積分，其中L是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.（路徑表達(dá)式直接代入）8.3格林公式02.1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，記（1）證明曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān)；（2）當(dāng)時(shí)，求I的值.03.1) 已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ; (2) 【詳解】 方法一：(1) 左邊=， 右邊=，所以 .(2) 由于，故由（1）得方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因?yàn)镈 具有輪換對(duì)稱性，所以=，故 . (2) 由(1)知= = （利用輪換對(duì)稱性） =05.1)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線L

3、上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（I）證明：對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達(dá)式.Y【詳解】 （I） l2 C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則 .（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有. 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而06.1)設(shè)在上半平面D=內(nèi),數(shù)是有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意的t>0都有.證明: 對(duì)L內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線L,都有證：把得：令 ，則 再令 所給曲線積分等于0的充分必要條件為今 要求 成立，只要我們已經(jīng)證明，于是結(jié)論

4、成立。8.4對(duì)面積的曲面積分07.1) 設(shè)曲面，則=解：由于曲面關(guān)于平面x=0對(duì)稱，因此=0. 又曲面具有輪換對(duì)稱性，于是=10.1)設(shè)P為橢球面上的動(dòng)點(diǎn)，若S在點(diǎn)P處的切平面與面垂直，求點(diǎn)P的軌跡C，并計(jì)算曲面積分，其中是橢球面位于C上方的部分.8.5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分06.1) 設(shè)是錐面的下側(cè)，則 (補(bǔ)一個(gè)曲面上側(cè))8.6高斯公式05.1) 設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則.(用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可)08.1)設(shè)曲面是的上側(cè)，則 （高斯）04.1) 計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 07.1) 計(jì)算曲面積分其中為曲面的上側(cè)?！驹斀狻?補(bǔ)充曲面：，取下側(cè). 則 =其中為與所為成的空間區(qū)域，D為平面區(qū)域. 由于區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，因此. 又=其中.09.1) 計(jì)算曲面積分其中是曲面的外側(cè)?！究键c(diǎn)】中復(fù)連通域上的 Stokes定理、Gu