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1、第八章 曲線積分與曲面積分8.1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分8.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分07.1) 設(shè)曲線具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),過(guò)第II象限內(nèi)的點(diǎn)M和第IV象限內(nèi)的點(diǎn)N,T為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧,則下列小于零的是 ( B )(A) . (B) . (C) . (D) .04.1) 設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分,則曲線積分的值為 .(利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示)09.1) 已知曲線,則=10.1)已知曲線L的方程為起點(diǎn)為終點(diǎn)為則曲線積分 0 (直接算或格林)01.1)計(jì)算,其中L是平面與柱面|x|+|y|=1的交線,從z軸正向看去,L為逆時(shí)針?lè)较?。解:記為平面上L所圍部分的上側(cè),D為在坐標(biāo)面上的投影。由
2、斯托克斯公式得=-2408.1)計(jì)算曲線積分,其中L是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.(路徑表達(dá)式直接代入)8.3格林公式02.1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為,終點(diǎn)為,記(1)證明曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān);(2)當(dāng)時(shí),求I的值.03.1) 已知平面區(qū)域,L為D的正向邊界. 試證:(1) ; (2) 【詳解】 方法一:(1) 左邊=, 右邊=,所以 .(2) 由于,故由(1)得方法二:(1) 根據(jù)格林公式,得,.因?yàn)镈 具有輪換對(duì)稱性,所以=,故 . (2) 由(1)知= = (利用輪換對(duì)稱性) =05.1)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線L
3、上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(I)證明:對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C,有;(II)求函數(shù)的表達(dá)式.Y【詳解】 (I) l2 C o X l3如圖,將C分解為:,另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接,則 .(II) 設(shè),在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),由()知,曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),故當(dāng)時(shí),總有. 比較、兩式的右端,得由得,將代入得所以,從而06.1)設(shè)在上半平面D=內(nèi),數(shù)是有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意的t>0都有.證明: 對(duì)L內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線L,都有證:把得:令 ,則 再令 所給曲線積分等于0的充分必要條件為今 要求 成立,只要我們已經(jīng)證明,于是結(jié)論
4、成立。8.4對(duì)面積的曲面積分07.1) 設(shè)曲面,則=解:由于曲面關(guān)于平面x=0對(duì)稱,因此=0. 又曲面具有輪換對(duì)稱性,于是=10.1)設(shè)P為橢球面上的動(dòng)點(diǎn),若S在點(diǎn)P處的切平面與面垂直,求點(diǎn)P的軌跡C,并計(jì)算曲面積分,其中是橢球面位于C上方的部分.8.5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分06.1) 設(shè)是錐面的下側(cè),則 (補(bǔ)一個(gè)曲面上側(cè))8.6高斯公式05.1) 設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個(gè)邊界的外側(cè),則.(用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分,再用球面(或柱面)坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可)08.1)設(shè)曲面是的上側(cè),則 (高斯)04.1) 計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè),記為由與圍成的空間閉區(qū)域,則 由高斯公式知 = =而 ,故 07.1) 計(jì)算曲面積分其中為曲面的上側(cè)?!驹斀狻?補(bǔ)充曲面:,取下側(cè). 則 =其中為與所為成的空間區(qū)域,D為平面區(qū)域. 由于區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,因此. 又=其中.09.1) 計(jì)算曲面積分其中是曲面的外側(cè)?!究键c(diǎn)】中復(fù)連通域上的 Stokes定理、Gu
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