無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課資料

1、 無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課資料一、 本章主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲審斂法，絕對(duì)收斂與條件收斂。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)（逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、和函數(shù)的連續(xù)性），泰勒級(jí)數(shù)，函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)及冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)及其收斂定理。二、 本章重點(diǎn)用定義判別級(jí)數(shù)的收斂，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，萊布尼茲型級(jí)數(shù)的審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域與收斂半徑，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂定理。三、 本章難點(diǎn) 用定義判別級(jí)數(shù)的收斂，級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂定理。四、 例題選講例1：判別級(jí)數(shù)的斂散性。（用定義） 解：原式=級(jí)數(shù)的部分和， 所

2、以原級(jí)數(shù)收斂，且收斂于。例2：利用柯西審斂原理證明級(jí)數(shù)收斂。證明：，對(duì)任意的，取，則當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，都有，故原級(jí)數(shù)收斂。例3：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） ， （2） ， （3）（4） ，（5），（）（6）解：（1）， 因?yàn)?， 且收斂，所以級(jí)數(shù)收斂。（2）因?yàn)?，且收斂，所以原?jí)數(shù)收斂。（3）用根值法， ，所以原級(jí)數(shù)收斂。（4）， ，用比值法可知收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂。（5）比值法：，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。所以，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。（6）因?yàn)閺V義積分，所以原級(jí)數(shù)收斂。例4：判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：，又，知級(jí)數(shù)發(fā)散，即發(fā)散。因?yàn)?，且時(shí)， ，而單減，所以單減，由萊布尼茲判別法知，原級(jí)

3、數(shù)條件收斂。例5：證明級(jí)數(shù)收斂。證：設(shè)，則原級(jí)數(shù)為，又，故在內(nèi)單增，從而，且，由萊布尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。例6：設(shè)數(shù)列為單調(diào)增加的有界正數(shù)列，證明級(jí)數(shù)收斂。證明：因?yàn)閿?shù)列單增有上界，所以極限存在。設(shè)，考慮而級(jí)數(shù)存在，由比較審斂法知，原級(jí)數(shù)收斂。例7：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域（1） ， （2） ，（3）解：（1），所以收斂半徑為，收斂區(qū)間。時(shí)，原級(jí)數(shù)為，發(fā)散；時(shí)，原級(jí)數(shù)為，收斂。所以收斂域?yàn)?。?）令，原級(jí)數(shù)為 因?yàn)椋允諗堪霃?。又時(shí)級(jí)數(shù)為發(fā)散，時(shí)級(jí)數(shù)為，由萊布尼茲準(zhǔn)則可知其收斂，故收斂域?yàn)?，再由，解得原?jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤＃?），所以收斂半徑，收斂區(qū)間為，即當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。得

4、原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?：求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)（1） ，（2） ，（3）解（1）記，時(shí)，所以收斂半徑，收斂域?yàn)椤ＴO(shè)（2）記，時(shí)，所以收斂半徑，又時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。設(shè)， 。（3）求得級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，記?jí)數(shù)的和函為，因?yàn)?，所?， 即， 對(duì)上式兩端求導(dǎo)得： 故有， 當(dāng)時(shí)，由所給級(jí)數(shù)知。因此例9 把級(jí)數(shù) 的和函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。解：記級(jí)數(shù)的和函為，即 ， 例10 求級(jí)數(shù)的和。解：， ，。例11 設(shè)，試將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。解：的定義域?yàn)?，所以?。例12 設(shè)在上收斂，試證：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)必收斂。證明 由已知收斂，所以，從而有界，即存在，使得 ， ，所以由比較準(zhǔn)則可知級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂。例13 求函數(shù)的傅立葉展開(kāi)式。解：滿足展開(kāi)定理?xiàng)l件，將周期延拓得（周期為），處處連續(xù)。 ， ，另求： ，另求： 所以函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)為：。例14 已知函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，（1） 求的傅立葉級(jí)數(shù)；（2） 證