數(shù)學(xué)建模作業(yè)

1、 數(shù)學(xué)建模作業(yè)1、拉格朗日中值定理 如果函數(shù)滿足（1） 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2） 在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn) (a< <b),使等式 成立2、牛頓萊布尼茨公式 如果函數(shù)F（）在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則 3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程 4、 n階上三角矩陣及其對(duì)應(yīng)的行列式的值5、2009全國數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文： 制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析摘要本文在分析了各物理量的關(guān)系的基礎(chǔ)上，經(jīng)過嚴(yán)密地推導(dǎo)，得出了驅(qū)動(dòng)電流與觀測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系，據(jù)此建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)模型并通過評(píng)價(jià)說明了模型的合理性和科學(xué)性。對(duì)于問題一和問題二，在對(duì)相關(guān)物理量的充分理解下，通過簡(jiǎn)單的物

2、理和力學(xué)公式推導(dǎo)，再結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)該兩問進(jìn)行了求解。對(duì)于問題三，從能量的角度考慮，經(jīng)過嚴(yán)密的公式推導(dǎo)，得出了驅(qū)動(dòng)電流與觀測(cè)量之間具有簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，據(jù)此建立了模型。然后按照模型并結(jié)合題設(shè)得出了結(jié)果。對(duì)于問題四，為了對(duì)問題中的控制方法進(jìn)行全面科學(xué)的評(píng)價(jià)，分別從一、制動(dòng)過程中制動(dòng)器所消耗的能量差；二、實(shí)際角速度與理論角速度的偏差；三、實(shí)際制動(dòng)時(shí)間與理論制動(dòng)時(shí)間偏差這三方面對(duì)其進(jìn)行了評(píng)價(jià)，得出了該方法存在一定的缺陷，還有待于改進(jìn)的結(jié)論。對(duì)于問題五，考慮到所設(shè)定的步長時(shí)間很短，結(jié)合微積分的理論，建立了根據(jù)前一個(gè)步長的實(shí)測(cè)制動(dòng)扭矩來確定本步長驅(qū)動(dòng)電流值的模型，并從能量和角速度方面對(duì)其進(jìn)行了評(píng)價(jià)。對(duì)于問題

3、六，在問題五模型的基礎(chǔ)上，建立了采用前兩個(gè)步長的制動(dòng)扭矩實(shí)測(cè)值按線性關(guān)系計(jì)算本時(shí)段中間那一瞬時(shí)的制動(dòng)扭矩，然后根據(jù)預(yù)測(cè)的制動(dòng)扭矩設(shè)計(jì)本步長驅(qū)動(dòng)電流的模型，該模型去除了滯后性的同時(shí)也保證了精度。關(guān)鍵詞：制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái) 電慣量模擬 控制方法 微分理論一、 問題重述汽車的行車制動(dòng)器（以下簡(jiǎn)稱制動(dòng)器）聯(lián)接在車輪上，它的作用是在行駛時(shí)使車輛減速或者停止。制動(dòng)器的設(shè)計(jì)是車輛設(shè)計(jì)中最重要的環(huán)節(jié)之一，直接影響著人身和車輛的安全。為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，必須進(jìn)行相應(yīng)的測(cè)試。在道路上測(cè)試實(shí)際車輛制動(dòng)器的過程稱為路試，其方法為：車輛在指定路面上加速到指定的速度；斷開發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出，讓車輛依慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng)；以恒定的力踏下制動(dòng)踏

4、板，使車輛完全停止下來或車速降到某數(shù)值以下；在這一過程中，檢測(cè)制動(dòng)減速度等指標(biāo)。假設(shè)路試時(shí)輪胎與地面的摩擦力為無窮大，因此輪胎與地面無滑動(dòng)。為了檢測(cè)制動(dòng)器的綜合性能，需要在各種不同情況下進(jìn)行大量路試。但是，車輛設(shè)計(jì)階段無法路試，只能在專門的制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)上對(duì)所設(shè)計(jì)的路試進(jìn)行模擬試驗(yàn)。模擬試驗(yàn)的原則是試驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器的制動(dòng)過程與路試車輛上制動(dòng)器的制動(dòng)過程盡可能一致。通常試驗(yàn)臺(tái)僅安裝、試驗(yàn)單輪制動(dòng)器，而不是同時(shí)試驗(yàn)全車所有車輪的制動(dòng)器。制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)一般由安裝了飛輪組的主軸、驅(qū)動(dòng)主軸旋轉(zhuǎn)的電動(dòng)機(jī)、底座、施加制動(dòng)的輔助裝置以及測(cè)量和控制系統(tǒng)等組成。被試驗(yàn)的制動(dòng)器安裝在主軸的一端，當(dāng)制動(dòng)器工作時(shí)會(huì)使主軸減速

5、。試驗(yàn)臺(tái)工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)拖動(dòng)主軸和飛輪旋轉(zhuǎn)，達(dá)到與設(shè)定的車速相當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)速(模擬實(shí)驗(yàn)中，可認(rèn)為主軸的角速度與車輪的角速度始終一致)后電動(dòng)機(jī)斷電同時(shí)施加制動(dòng)，當(dāng)滿足設(shè)定的結(jié)束條件時(shí)就稱為完成一次制動(dòng)。路試車輛的指定車輪在制動(dòng)時(shí)承受載荷。將這個(gè)載荷在車輛平動(dòng)時(shí)具有的能量（忽略車輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量）等效地轉(zhuǎn)化為試驗(yàn)臺(tái)上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)具有的能量，與此能量相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(以下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)稱為慣量)在本題中稱為等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試驗(yàn)臺(tái)上的主軸等不可拆卸機(jī)構(gòu)的慣量稱為基礎(chǔ)慣量。飛輪組由若干個(gè)飛輪組成，使用時(shí)根據(jù)需要選擇幾個(gè)飛輪固定到主軸上，這些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱為機(jī)械慣量。例如，假設(shè)有4個(gè)飛輪，

6、其單個(gè)慣量分別是：10、20、40、80 kg·m2，基礎(chǔ)慣量為10 kg·m2，則可以組成10，20，30，160 kg·m2的16種數(shù)值的機(jī)械慣量。但對(duì)于等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為45.7 kg·m2的情況，就不能精確地用機(jī)械慣量模擬試驗(yàn)。這個(gè)問題的一種解決方法是：把機(jī)械慣量設(shè)定為40 kg·m2，然后在制動(dòng)過程中，讓電動(dòng)機(jī)在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補(bǔ)償由于機(jī)械慣量不足而缺少的能量，從而滿足模擬試驗(yàn)的原則。一般假設(shè)試驗(yàn)臺(tái)采用的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（本題中比例系數(shù)取為1.5 A/N·m）；且試驗(yàn)臺(tái)工作時(shí)主軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與瞬

7、時(shí)扭矩是可觀測(cè)的離散量。由于制動(dòng)器性能的復(fù)雜性，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流與時(shí)間之間的精確關(guān)系是很難得到的。工程實(shí)際中常用的計(jì)算機(jī)控制方法是：把整個(gè)制動(dòng)時(shí)間離散化為許多小的時(shí)間段，比如10 ms為一段，然后根據(jù)前面時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/或瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)出本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流的值，這個(gè)過程逐次進(jìn)行，直至完成制動(dòng)。評(píng)價(jià)控制方法優(yōu)劣的一個(gè)重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小，本題中的能量誤差是指所設(shè)計(jì)的路試時(shí)的制動(dòng)器與相對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)臺(tái)上制動(dòng)器在制動(dòng)過程中消耗的能量之差。通常不考慮觀測(cè)誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差?，F(xiàn)在要求你們解答以下問題：1. 設(shè)車輛單個(gè)前輪的滾動(dòng)半徑為0.286 m，制動(dòng)時(shí)承受的載荷為623

8、0 N，求等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2. 飛輪組由3個(gè)外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，鋼材密度為7810 kg/m3，基礎(chǔ)慣量為10 kg·m2，問可以組成哪些機(jī)械慣量？設(shè)電動(dòng)機(jī)能補(bǔ)償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為 -30, 30 kg·m2，對(duì)于問題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需要用電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償多大的慣量？3. 建立電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流依賴于可觀測(cè)量的數(shù)學(xué)模型。在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動(dòng)減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h，制動(dòng)5.0秒后車速為零，計(jì)算驅(qū)動(dòng)電流。4. 對(duì)于與所設(shè)計(jì)的路試等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為48

9、kg·m2，機(jī)械慣量為35 kg·m2，主軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時(shí)間步長為10 ms的情況，用某種控制方法試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)見附表。請(qǐng)對(duì)該方法執(zhí)行的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。5. 按照第3問導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，給出根據(jù)前一個(gè)時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/或瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流值的計(jì)算機(jī)控制方法，并對(duì)該方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。6. 第5問給出的控制方法是否有不足之處？如果有，請(qǐng)重新設(shè)計(jì)一個(gè)盡量完善的計(jì)算機(jī)控制方法，并作評(píng)價(jià)。二、問題分析對(duì)于問題一和問題二，該兩問是對(duì)物理量的簡(jiǎn)單計(jì)算?？筛鶕?jù)相關(guān)物理和公式推導(dǎo)得出。問題三要求建立驅(qū)動(dòng)電流依賴可觀測(cè)量的數(shù)學(xué)模型，可觀測(cè)量是瞬時(shí)轉(zhuǎn)速

10、和制動(dòng)力矩，由于轉(zhuǎn)速是由制動(dòng)力矩和電機(jī)扭矩共同決定的，不便處理。因此建立驅(qū)動(dòng)電流依賴于制動(dòng)力矩的模型。試驗(yàn)臺(tái)測(cè)試是對(duì)路試的模擬，那么在試驗(yàn)臺(tái)測(cè)試時(shí)制動(dòng)器吸收能量（機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能）的規(guī)律、大小應(yīng)與路試時(shí)相同。因此可從能量的角度分析得到驅(qū)動(dòng)電流依賴制動(dòng)力矩的模型。問題四要求對(duì)根據(jù)某種控制方法得到的數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。制動(dòng)器吸收能量、制動(dòng)用時(shí)、制動(dòng)過程角速度變化三個(gè)方面衡量控制方法精確程度的重要指標(biāo)并且計(jì)算量比較小，因此采用這三個(gè)指標(biāo)對(duì)該控制方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。設(shè)計(jì)本時(shí)段電流值的理想情況應(yīng)是按本時(shí)段的制動(dòng)力矩確定，但由于設(shè)計(jì)本時(shí)段時(shí)只能得到前一時(shí)段的制動(dòng)力矩，因此可按前一時(shí)段的制動(dòng)力矩根據(jù)問題三的模型

11、來設(shè)計(jì)本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流值。這樣驅(qū)動(dòng)電流將產(chǎn)生滯后，但步長取的較短，滯后造成的誤差應(yīng)是可以接受的。在這一問題中，制動(dòng)用時(shí)這一指標(biāo)的計(jì)算相對(duì)繁瑣，因此從制動(dòng)過程角速度變化、制動(dòng)器吸收能量兩方面評(píng)價(jià)該方法。問題五中根據(jù)前一時(shí)間段的制動(dòng)力矩設(shè)計(jì)本時(shí)段的驅(qū)動(dòng)電流，顯然有不足之處。改進(jìn)模型中，因?yàn)椴介L時(shí)間很短，可以近似用前兩個(gè)時(shí)間段制動(dòng)力矩值按線性規(guī)律預(yù)測(cè)本時(shí)段中間時(shí)刻的制動(dòng)力矩值，然后根據(jù)預(yù)測(cè)的制動(dòng)力矩值設(shè)計(jì)本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流值。三、模型假設(shè)1. 假設(shè)不考慮電動(dòng)機(jī)電流的波動(dòng)。2假設(shè)每個(gè)步長采集的數(shù)據(jù)是該步長開始時(shí)那一瞬時(shí)的值。3假設(shè)電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于所設(shè)定的步長。4. 假設(shè)不考慮制動(dòng)過程中其他阻力（如

12、空氣阻力）對(duì)飛輪能量的消耗。四、定義與符號(hào)說明路試車輛的指定車輪在制動(dòng)時(shí)承受載荷等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)械慣量電模擬產(chǎn)生的慣量制動(dòng)力矩電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩 驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩的比例系數(shù)試驗(yàn)臺(tái)制動(dòng)時(shí)制動(dòng)器吸收的總能量相對(duì)誤差理論制動(dòng)時(shí)間實(shí)際制動(dòng)時(shí)間五、問題一的求解該問題是一個(gè)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的問題。它是從能量的角度來考慮的，在保證能量不變的前提下，再根據(jù)相應(yīng)的轉(zhuǎn)換公式得到等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在本題中，就是要保證車輪所承受載荷在車輛平動(dòng)時(shí)具有的能量（平動(dòng)動(dòng)能）與等效的試驗(yàn)臺(tái)上飛輪和主軸等機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)具有的能量（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）相等。根據(jù)平動(dòng)動(dòng)能的表達(dá)式：和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的表達(dá)式：，可得到： 其中為載荷， 為平動(dòng)速度

13、， 為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 為車輪半徑， 為重力加速度。根據(jù)題目中假設(shè)了路試時(shí)輪胎與地面的摩擦力為無窮大，因此輪胎與地面無滑動(dòng)。則有車輪角速度 ： 將式代入式，求解得到：代入本題所給數(shù)據(jù)，取9.8 m/s2。得到 = 51.99888571428570 kg·m2。這里可近似取 kg·m2。六、問題二的求解根據(jù)本題中所給物理量，可得飛輪質(zhì)量的計(jì)算式為： 其中，為鋼材密度，為飛輪外徑，為飛輪內(nèi)徑，為飛輪厚度。再根據(jù)飛輪即圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式為1： 將式代入式，可得：其中，為飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。代入本題中所給數(shù)據(jù)，計(jì)算可得各尺寸飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，見表一：表一 各尺寸飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 單位：kg

14、·m230.0083120713528560.120.0332482854114根據(jù)上表，將三個(gè)飛輪的慣量分別取為30、60、120 kg·m2。基礎(chǔ)慣量為10 kg·m2，將其進(jìn)行簡(jiǎn)單的排列組合，可以得到機(jī)械慣量有=8種，分別為：10、40、70、100、130、160、190、220 kg·m2。對(duì)于問題一中的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，結(jié)合電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償慣量的限制為-30, 30 kg·m2，可以得到以下兩種補(bǔ)償方案：方案一：組合出40 kg·m2的機(jī)械慣量，并用電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償12 kg·m2的慣量。方案二：組合出70 kg·m2

15、的機(jī)械慣量，并用電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償-18 kg·m2的慣量。七、問題三的模型與求解（一） 模型的建立無論是汽車的實(shí)際制動(dòng)還是試驗(yàn)臺(tái)上的模擬制動(dòng)，都是將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為制動(dòng)器因摩擦所產(chǎn)生的熱能的過程。試驗(yàn)臺(tái)只能組合出有限的數(shù)個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值，但實(shí)際上等效慣量可能為任何值，因此將機(jī)械慣量設(shè)定為一個(gè)最接近等效慣量的組合值（理論上可以為任意組合值，但選一個(gè)最接近的數(shù)值可以減輕電機(jī)負(fù)擔(dān)），然后采用電模擬的方法模擬出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以補(bǔ)償由于機(jī)械慣量不足（或過多）而缺少（或多余）的能量，從而滿足模擬試驗(yàn)的原則。根據(jù)力矩做功的計(jì)算公式2：，可得制動(dòng)過程中任一時(shí)間段，制動(dòng)器吸收的熱能為： 其中，為制動(dòng)力矩，為飛輪在任意時(shí)刻

16、的角速度。再根據(jù)動(dòng)量矩定理1，制動(dòng)力矩為： 其中為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將代入，得到： 其中對(duì)應(yīng)時(shí)刻飛輪角速度，對(duì)應(yīng)時(shí)刻飛輪角速度。在試驗(yàn)臺(tái)上，等效慣量由兩部分組成，一部分是飛輪組和基礎(chǔ)慣量之和的機(jī)械慣量,另一部分由電模擬產(chǎn)生。為了模擬實(shí)際制動(dòng)情況，不但需要保證制動(dòng)器在時(shí)間段內(nèi)吸收的能量相當(dāng)于作用時(shí)吸收的能量；而且還應(yīng)保證制動(dòng)器嚴(yán)格按照式所給出的時(shí)間函數(shù)關(guān)系吸收能量（即保證轉(zhuǎn)速變化與作用時(shí)的轉(zhuǎn)速變化相同）。那么，在保證上述條件下，有： 制動(dòng)過程中，電動(dòng)機(jī)在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，產(chǎn)生一個(gè)力矩 ，該力矩和共同作用使得制動(dòng)器吸收的能量和作用時(shí)吸收的能量相等。將代入，得到 上式第一項(xiàng)為機(jī)械慣量部分在制

17、動(dòng)過程中損失的機(jī)械能，第二項(xiàng)為電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償?shù)哪芰?。電流控制產(chǎn)生的扭矩在提供的能量應(yīng)等于式第二項(xiàng)，即有： 所以： 再用式除以式，得到： 由于電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比，比例系數(shù)為，得到驅(qū)動(dòng)電流的最終計(jì)算公式為： （二）模型的求解根據(jù)本題中所給數(shù)據(jù)和相應(yīng)的計(jì)算公式，可以得到： 汽車的角速度為： rad/s，因?yàn)楸绢}中假設(shè)制動(dòng)減速度為常數(shù)，所以實(shí)驗(yàn)臺(tái)上的飛輪角減速度為： rad/s2據(jù)此可求得制動(dòng)力矩為： N·m再根據(jù)公式得到：驅(qū)動(dòng)電流產(chǎn)生的力矩為： N·m所以電流為： 八、問題四的求解（一）從制動(dòng)器吸收能量方面評(píng)價(jià)1、路試時(shí)制動(dòng)器消耗的機(jī)械能根據(jù)問題三中的式： 再代入角

18、速度與轉(zhuǎn)數(shù)之間的換算關(guān)系式：可得： 代入本題中的數(shù)據(jù)，得到2、試驗(yàn)臺(tái)制動(dòng)器消耗的機(jī)械能根據(jù)附表中提供的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖， 然后在matlab中擬合得出函數(shù)：，作出圖1：圖1 角速度隨時(shí)間變化及擬和曲線對(duì)函數(shù)積分，并利用初始條件 時(shí)得到函數(shù)：。然后計(jì)算每隔10ms時(shí)刻轉(zhuǎn)過的角度。然后做出散點(diǎn)圖，如圖2：圖2 制動(dòng)力矩散點(diǎn)圖根據(jù)上圖和力矩做功公式：，對(duì)采用數(shù)值積分，求得試驗(yàn)臺(tái)制動(dòng)時(shí)制動(dòng)器吸收總能量： 3、計(jì)算相對(duì)誤差制動(dòng)器吸收能量=5.3%（二）從制動(dòng)時(shí)間方面評(píng)價(jià)1、理論用時(shí)計(jì)算由于制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)要模擬車輛的實(shí)際制動(dòng)過程，因此，評(píng)價(jià)控制方法優(yōu)劣的重要數(shù)量指標(biāo)除了能量誤差的大小外，完成制動(dòng)過程所用的時(shí)間

19、也是一個(gè)重要指標(biāo)?；谏鲜?，采用實(shí)際制動(dòng)時(shí)間與理論制動(dòng)時(shí)間的相對(duì)誤差來評(píng)價(jià)控制方法的優(yōu)劣。根據(jù)表格中所給出的制動(dòng)扭矩時(shí)間數(shù)據(jù)，用作出圖形，見圖3：圖3 制動(dòng)扭矩時(shí)間圖從圖形中觀察到，制動(dòng)器扭矩先快速上升，然后在一個(gè)穩(wěn)定值附近波動(dòng)。由于試驗(yàn)臺(tái)測(cè)試是對(duì)路試的模擬，可以認(rèn)為汽車的實(shí)際制動(dòng)過程中制動(dòng)器扭矩隨時(shí)間變化與試驗(yàn)臺(tái)中所得制動(dòng)扭矩變化規(guī)律相同。因此對(duì)于計(jì)算理論用時(shí)，可分上升和穩(wěn)定階段。對(duì)上升階段，用端點(diǎn)法計(jì)算；穩(wěn)定階段，認(rèn)為其為一恒定值（對(duì)波動(dòng)階段數(shù)據(jù)的平均）。得到制動(dòng)扭矩函數(shù)如下：根據(jù)動(dòng)量矩定理得：制動(dòng)扭矩上升段和穩(wěn)定階段分別對(duì)上式分離變量，并積分得到： 上式中為制動(dòng)扭矩上升段結(jié)束時(shí)主軸轉(zhuǎn)速。

20、由上式解得理論時(shí)間s。2、制動(dòng)時(shí)間相對(duì)誤差計(jì)算實(shí)際用時(shí)。實(shí)際用時(shí)與理論用時(shí)相對(duì)誤差。（三）從角速度/轉(zhuǎn)速方面評(píng)價(jià)理想情況下，微分形式的動(dòng)量矩定理為：，將其改寫為積分形式，得到： 在制動(dòng)過程結(jié)束后，得到了每個(gè)步長的制動(dòng)力矩。根據(jù)上式，對(duì)每個(gè)步長都有下式成立： 上式中為第個(gè)步長開始的時(shí)刻；為第個(gè)步長開始時(shí)的轉(zhuǎn)速；為第個(gè)步長結(jié)束時(shí)的轉(zhuǎn)速；為第個(gè)步長的制動(dòng)力矩實(shí)測(cè)值。根據(jù)微分的觀點(diǎn)，由于每一個(gè)步長的時(shí)間足夠短，所以可以近似按梯形公式計(jì)算式，得到每個(gè)步長的值，即為理想的角速度，將其和本題中所給某種控制方法下的角速度通過作圖比較，見圖4：圖4 理想角速度于某控制方法下的角速度圖從上圖中可以看到，某中控制方

21、法下，在前0.7s左右實(shí)際角速度與理論角速度吻合較好；但0.7s以后，實(shí)際角速度與理論角速度相差較大且一直偏小?？梢姳绢}中所給的某種控制方法存在一定的缺陷，還有待于改進(jìn)。由于實(shí)際角速度一直偏?。唇羌铀俣缺壤硐胫灯螅?，因此減速到指定角速度所用的制動(dòng)時(shí)間也比理論用時(shí)稍短（這和從時(shí)間方面的評(píng)價(jià)結(jié)果是一致的）。九、問題五的模型與求解（一） 本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流控制方法根據(jù)問題三建立的模型得到電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流應(yīng)該按式所給出的關(guān)系調(diào)整，但是由于制動(dòng)器的復(fù)雜性，制動(dòng)力矩的變化無法用確定的函數(shù)關(guān)系式表達(dá)出來，因此將整個(gè)制動(dòng)時(shí)間離散化為許多足夠小的時(shí)間段(即步長)，然后根據(jù)前一個(gè)時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)本時(shí)間段

22、的電流值。由于電流在每個(gè)步長中都是恒定的，根據(jù)模型三中電流和的線性函數(shù)關(guān)系，所以控制方法采用的在每個(gè)步長中也都是恒定的。同時(shí)，用前一時(shí)段觀測(cè)到的制動(dòng)力矩來計(jì)算本時(shí)段所需的驅(qū)動(dòng)電流，雖然這樣會(huì)有一定的滯后性，也必定會(huì)產(chǎn)生誤差，但是由于所設(shè)定的步長很短，從微分的觀點(diǎn)來看，這樣的誤差是可以接受的。本控制方法制動(dòng)過程中某段時(shí)間制動(dòng)力矩的實(shí)際值與本控制方法所采用的關(guān)系如圖5：圖5 制動(dòng)力矩實(shí)際值與本控制采用值關(guān)系圖實(shí)際值控制方法采用的值t在第一個(gè)步長時(shí)，沒有制動(dòng)扭矩的數(shù)據(jù)，因此第一個(gè)步長的驅(qū)動(dòng)電流只能設(shè)為零或者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)一個(gè)值。由于沒有經(jīng)驗(yàn)和數(shù)據(jù)，在此我們?cè)O(shè)定第一個(gè)步長的驅(qū)動(dòng)電流為零。由式得到每個(gè)步長

23、驅(qū)動(dòng)電流公式： 式中為第個(gè)步長的制動(dòng)力矩實(shí)測(cè)值，為第個(gè)步長所需的驅(qū)動(dòng)電流值。在試驗(yàn)臺(tái)測(cè)試時(shí)，計(jì)算機(jī)只需要跟據(jù)前一時(shí)段實(shí)測(cè)制動(dòng)力矩按式確定各時(shí)段電流值，并將通過電流調(diào)節(jié)裝置將電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流調(diào)節(jié)為式的計(jì)算結(jié)果即可。（二）控制方法的評(píng)價(jià)從制動(dòng)過程中角速度和制動(dòng)器吸收的能量兩方面來評(píng)價(jià)上述制動(dòng)方法。1、從角速度方面評(píng)價(jià)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)提供了一個(gè)與制動(dòng)力矩方向相反的扭矩（時(shí)），即對(duì)機(jī)械慣量部分而言，承受的扭矩為。對(duì)于第個(gè)步長，有： 為第個(gè)步長時(shí)機(jī)械慣量部分所承受的扭矩，為第個(gè)步長電動(dòng)機(jī)在驅(qū)動(dòng)電流作用下產(chǎn)生的扭矩。驅(qū)動(dòng)電流和電動(dòng)機(jī)扭矩滿足關(guān)系，代入再代入式可得： 整個(gè)制動(dòng)過程結(jié)束后，才能得到每個(gè)步長的實(shí)際制動(dòng)

24、扭矩，然后擬和出曲線。對(duì)每個(gè)步長由動(dòng)量矩定理的積分形式，可得： 上式中為第個(gè)步長開始的時(shí)刻；為第個(gè)步長初主軸角速度；為第個(gè)步長末主軸角速度。將理論角速度值與根據(jù)式得到的值進(jìn)行比較。計(jì)算程序見附錄。這里給出圖形，見圖6：圖6 問題五模型實(shí)際角速度與理想角速度對(duì)比2、從能量方面評(píng)價(jià)根據(jù)式得到的值擬和出曲線，對(duì)該曲線積分得到轉(zhuǎn)角與時(shí)間的關(guān)系。那么每個(gè)步長中制動(dòng)器吸收的能量： 上式中為第個(gè)步長初的轉(zhuǎn)角；為第個(gè)步長末的轉(zhuǎn)角。整個(gè)制動(dòng)過程制動(dòng)器吸收的能量：程序見附錄,這里給出結(jié)果。相對(duì)誤差十、問題六的模型與求解（一）本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流控制方法問題五中給出的控制方法存在的最大問題是電流的滯后性。如果驅(qū)動(dòng)電流和制

25、動(dòng)力矩具備實(shí)時(shí)同步關(guān)系，則試驗(yàn)臺(tái)完全可以還原路試情況。事實(shí)上，這是做不到的。因?yàn)楫?dāng)采集到某時(shí)刻的制動(dòng)力矩后，再改變電流，這時(shí)力矩又發(fā)生了變化。如果能根據(jù)前面采集到的制動(dòng)力矩預(yù)測(cè)制動(dòng)力矩的變化，調(diào)整電流時(shí)就可以和所預(yù)測(cè)的制動(dòng)力矩保持比例同步關(guān)系，從而消除滯后性。時(shí)間理想電扭矩可以觀測(cè)的已知扭矩預(yù)測(cè)中點(diǎn)的扭矩該時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流產(chǎn)生的力矩按此水平直線變化圖7 理想扭矩與實(shí)際所采用扭矩關(guān)系圖如圖7所示，在很小的時(shí)間段內(nèi)，可以認(rèn)為制動(dòng)力矩是按線性變化的，則電機(jī)產(chǎn)生的扭矩也是按線性變化的（問題三已推導(dǎo)出制動(dòng)力矩和理想情況下電機(jī)產(chǎn)生的扭矩存在比例關(guān)系），假如前兩個(gè)時(shí)間段初制動(dòng)力矩為（）則該時(shí)間段的制動(dòng)力矩為：該

26、時(shí)段電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力矩為：由于要知道前兩個(gè)制動(dòng)力矩才可以設(shè)定該時(shí)段的電流值，但實(shí)際操作中還存在一個(gè)問題，即最初的兩個(gè)時(shí)段無法按上述公式得到電流值，因此采用如下方式處理：第一個(gè)時(shí)段不施加電流，第二個(gè)時(shí)段將電流設(shè)定為第一時(shí)段制動(dòng)力矩觀測(cè)值所對(duì)應(yīng)的電流，即得到每個(gè)步長驅(qū)動(dòng)電流計(jì)算公式： 在試驗(yàn)臺(tái)測(cè)試時(shí)，計(jì)算機(jī)只需要跟據(jù)前一時(shí)段實(shí)測(cè)制動(dòng)力矩按式確定各時(shí)段電流值，并將通過電流調(diào)節(jié)裝置將電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流調(diào)節(jié)為式的計(jì)算結(jié)果即可。（二）控制方法的評(píng)價(jià)1、從角速度方面評(píng)價(jià)仍按在問題五中的方法計(jì)算實(shí)際角速度，得到該控制方法下實(shí)際角速度和理想角速度如圖8：圖8 該控制方法下實(shí)際角速度和理想角速對(duì)比為了和問題五中的方法

27、相比較，將三種角速度畫在同一幅圖中進(jìn)行比較，見圖9：圖9 三種情況下角速度對(duì)比圖從上圖中可一看到，該模型角速度比問題五的模型角速度更接近理想角速度。2、從能量方面評(píng)價(jià)仍按照問題五中的方法計(jì)算制動(dòng)器實(shí)際吸收的能量，得，相對(duì)誤差：相對(duì)于問題五的模型來說，該模型可以減少誤差。通過前兩個(gè)時(shí)段的制動(dòng)力矩預(yù)測(cè)出本時(shí)段的制動(dòng)力矩，再施加電流時(shí)就已經(jīng)將滯后性在一定程度上消除了。并且本時(shí)段電流采用本時(shí)段中點(diǎn)時(shí)刻的預(yù)測(cè)電流值，這樣本時(shí)段內(nèi)一部分電流低于理想電流，一部分電流高于理想電流，從而確保飛輪轉(zhuǎn)速不發(fā)生太大的偏差。十一、模型的評(píng)價(jià)與推廣（一）模型的優(yōu)點(diǎn)1、對(duì)問題四所給的某種控制方法的評(píng)價(jià)，不僅從制動(dòng)過程中制動(dòng)

28、器所消耗的能量差進(jìn)行評(píng)價(jià)，而且還從實(shí)際角速度與理論角速度偏差、實(shí)際制動(dòng)時(shí)間與理論制動(dòng)時(shí)間偏差進(jìn)行了評(píng)價(jià)。對(duì)該控制方法的評(píng)價(jià)更加全面。2、對(duì)問題五，給出了根據(jù)前一個(gè)步長的實(shí)測(cè)制動(dòng)扭矩設(shè)定本步長驅(qū)動(dòng)電流值的公式，方法簡(jiǎn)單，便于操作和推廣。3、在問題六的模型中，采用前兩個(gè)步長的制動(dòng)扭矩實(shí)測(cè)值按線性關(guān)系計(jì)算本時(shí)段中間那一瞬時(shí)的制動(dòng)扭矩，按此扭矩設(shè)計(jì)本時(shí)段電流。從角速度和制動(dòng)器吸收能量方面而言，該方法比我們?cè)趩栴}五提出的方法更精確。（二）模型的不足之處1、在問題五的模型中，根據(jù)前一個(gè)步長的實(shí)測(cè)制動(dòng)扭矩設(shè)定本步長驅(qū)動(dòng)電流值的公式，存在一定的滯后性，會(huì)產(chǎn)生不可避免的誤差。2、在計(jì)算能量時(shí)，利用梯形公式近似求

29、解，增加了計(jì)算能量的誤差。（三）模型的推廣問題五中的模型，方法簡(jiǎn)單，可操作性強(qiáng)，可以推廣到測(cè)量具有滯后性的相關(guān)問題中。雖然問題六中的模型相對(duì)于問題五中的模型，計(jì)算根據(jù)復(fù)雜，但是精度有所提高同時(shí)去除了滯后性，所以可以推廣到對(duì)精度要求比較高的問題中。十二、參考文獻(xiàn)1 羅圓圓，大學(xué)物理，南昌：江西高校出版社，2007年。2 龔良貴，章寶華，工程力學(xué)，北京：中國水利水電出版社，2007年。3 李洪山，孫英達(dá)，慶振華，電慣量模擬機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方法的研究，制造業(yè)自動(dòng)化，第31卷，第6期：2021，28，2009年6月。4 宋來忠，王志明，數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)，北京：科學(xué)出版社，2005年。5 馬繼杰等，制動(dòng)器慣性臺(tái)架電模擬慣量的研究，汽車技術(shù)，第4期：4952，2009年。十三、附錄%問題四中從能量方面評(píng)價(jià)%作角速度時(shí)間曲線t=0:0.01:4.67;M=xlsread(C:MATLAB7workM.xls);omega= xlsread(C:MATLAB7workomega.xls);plot(t,omega,*);%問題四從角速度/轉(zhuǎn)速方面評(píng)價(jià)M=xlsread(C:MATLAB7workM.xls);omega= xlsread(C:MATLAB7workomega.xls);t=0:0.01:4.67;for i=1:467 S_ theroy (i)=(M(i)+M(i