無窮級數(shù)知識點介紹整理人王浩

1、專轉(zhuǎn)本專題知識點-無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)定義1 設(shè)給定一個數(shù)列則和式 （11.1）稱為數(shù)項級數(shù)，簡稱為級數(shù)，簡記為,即=其中，第項稱為級數(shù)的一般項或者通項。式（11.1）的前項和稱為式（11.1）的前項部分和。當(dāng)依次取1，2，3，.時，部分和構(gòu)成一個新的數(shù)列，數(shù)列也稱為部分和數(shù)列定義2 若級數(shù)的部分和數(shù)列有極限S ，則稱級數(shù)收斂，稱S是級數(shù)的和，即 如果部分和數(shù)列沒有極限，則稱為級數(shù)發(fā)散數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（1） 若級數(shù)和級數(shù)都收斂，它們的和分別為和，則級數(shù)也收斂，且其和為（2） 若級數(shù)收斂，且其和為S，則它的每一項都乘以一個不為零的常數(shù)k,所得到的級數(shù)也收斂，且其和為kS（3） 在一個級數(shù)前面加上（或去

2、掉）有限項，級數(shù)的斂散性不變（4） 若級數(shù)收斂，則將這個級數(shù)的項任意加括號后，所成的級數(shù)也收斂，且與原級數(shù)有相同的和（5） （級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)收斂，則綜上所述，幾何級數(shù)的斂散性 調(diào)和級數(shù)的斂散性 發(fā)散數(shù)項級數(shù)的斂散性研究對象：正項級數(shù)、交錯級數(shù)、任意項級數(shù)1 正項級數(shù)正項級數(shù)：若級數(shù)=滿足條件，則稱此級數(shù)為正項級數(shù)定理1 正項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有界定理2 （比較判別法）若級數(shù)和級數(shù)為兩個正項級數(shù)，且，那么：（1） 若級數(shù)收斂時，級數(shù)也收斂（2） 若級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散那么的斂散性是定理3（達(dá)朗貝爾比值判別法）若正項級數(shù)（）滿足條件 則（1） 當(dāng)時，級數(shù)收斂（2） 當(dāng)時

3、，級數(shù)發(fā)撒（3） 當(dāng)時，無法判斷此級數(shù)的斂散性2 交錯級數(shù)級數(shù)（）稱為交錯級數(shù)定理4（萊布尼茲判別法）若交錯級數(shù)（）滿足下列條件（1）（2）則交錯級數(shù)收斂，其和其余項的絕對值3 絕對收斂和條件收斂若級數(shù)的各項為任意實數(shù)，則稱級數(shù)為任意項級數(shù)定義 如果任意項級數(shù)的各項絕對值組成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；如果發(fā)散，而收斂，則稱級數(shù)條件收斂定理5 如果級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必收斂定理6 如果任意項級數(shù)滿足條件 （1）當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂（2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)撒冪級數(shù)定義1 如果是定義在某個區(qū)間I上的函數(shù)，則稱函數(shù) （11.4）為區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù)定義2 形如（11.5）的級數(shù)稱為的冪級數(shù)，其中均為常數(shù)

4、，稱為冪級數(shù)的系數(shù)。當(dāng)時，級數(shù)（11.6）稱為x的冪級數(shù)定義 3 對于形如式（11.6）的冪級數(shù)若設(shè)，則 根據(jù)任意項級數(shù)判別法可知：（1） 當(dāng)時，若，即，式（11.6）絕對收斂若，即，式（11.6）發(fā)散若，即，則比值判別法失效，式（11.6）可能收斂也可能發(fā)散（2） 當(dāng)，由于，式（11.6）對任何x都收斂稱為冪級數(shù)式（11.6）的收斂半徑定理1 如果冪級數(shù) 的系數(shù)滿足條件，則（1） 當(dāng)時，（2） 當(dāng)時，（3） 當(dāng)時，冪級數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別是與（與均不為0），它們的和函數(shù)分別為與1. （加法與減法運算） 所得的冪級數(shù)仍收斂，且收斂半徑是與中較小的一個2. （乘法運算）兩冪級數(shù)相乘所得的冪級數(shù)仍收斂，且收斂半徑是與中較小的一個3. （微分運算）若冪級數(shù)的收斂半徑R，則在（-R,R）內(nèi)和函數(shù)S(x)可導(dǎo)，且有 且求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)的收斂半徑仍為R4. （積分運算）若冪級數(shù)的收斂半徑R，則和函數(shù)S(x)在該區(qū)間內(nèi)可積，且有且求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)仍收斂，且收斂半徑仍為R函數(shù)展成