探究四點(diǎn)共圓的條件--教學(xué)設(shè)計(jì)（宋德雨）

1、.數(shù)學(xué)活動(dòng)探究四點(diǎn)共圓的條件 吉林省延吉市第六中學(xué) 宋德雨一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容四點(diǎn)共圓的條件2內(nèi)容解析四點(diǎn)共圓的條件是在學(xué)生學(xué)習(xí)了經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓、經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)的圓、經(jīng)過(guò)不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)的圓、三角形與圓的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形后，對(duì)經(jīng)過(guò)任意三點(diǎn)都不在同一直線上的四點(diǎn)共圓的條件的探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，相應(yīng)地，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓在四點(diǎn)共圓的條件的探究過(guò)程中，通過(guò)對(duì)特殊的四邊形平行四邊形、矩形、等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形等四邊形的探究，發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律過(guò)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，表達(dá)了特殊到一般的思想同時(shí)，在研究的過(guò)程中，類比將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)研究，從三點(diǎn)共圓入手探

2、究四點(diǎn)共圓的條件，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的思想和方法另外，學(xué)生經(jīng)歷探究四點(diǎn)共圓的條件這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，在“做的過(guò)程和“考慮的過(guò)程中積淀，有利于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷的積累基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：四點(diǎn)共圓的條件的探究二、目的和目的解析1目的1理解過(guò)某個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓的條件2通過(guò)四點(diǎn)共圓的條件的探究和猜測(cè)的證明，體會(huì)由特殊到一般、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷2目的解析達(dá)成目的1的標(biāo)志是：知道對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓的結(jié)論，會(huì)應(yīng)用反證法證明這一結(jié)論，能應(yīng)用對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓判斷給定的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是否可以作一個(gè)圓達(dá)成目的2的標(biāo)志是：通過(guò)畫圖、觀察、測(cè)量、比較、分析平行四

3、邊形、矩形、菱形、等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形等特殊的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能否共圓，得到對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓的更一般的結(jié)論；將證明四點(diǎn)共圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不共線的三點(diǎn)可以確定的圓與第四個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)系，并應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)獲得證明；在解決問(wèn)題的過(guò)程中，積極考慮，勇于質(zhì)疑，體會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題、有效地呈現(xiàn)活動(dòng)結(jié)果等過(guò)程是數(shù)學(xué)活動(dòng)的根本過(guò)程三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的階段可能會(huì)受過(guò)任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)圓的影響，去判斷第四個(gè)頂點(diǎn)是否在這個(gè)圓上解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生從圓的定義或特殊的四邊形出發(fā)，從特殊到一般來(lái)探究問(wèn)題通過(guò)分析平行四邊形、矩形、菱形獲得四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓與

4、四邊形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)的猜測(cè)，通過(guò)對(duì)等腰梯形的探究獲得四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓與四邊形的內(nèi)角是否是直角無(wú)關(guān)，通過(guò)對(duì)四點(diǎn)不共圓的菱形四個(gè)頂點(diǎn)的探究獲得四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓與四邊形是否存在一組對(duì)邊平行無(wú)關(guān)，進(jìn)而聯(lián)想圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，獲得猜測(cè)另外，猜測(cè)的證明要用到反證法，學(xué)生可能不知如何入手，猜測(cè)的證明對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)，關(guān)鍵是從過(guò)任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓入手，把四點(diǎn)共圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與圓的關(guān)系，再由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到證明方法本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓的證明四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題引入 延吉一市民想在自家農(nóng)場(chǎng)建了個(gè)農(nóng)家樂(lè),為使游客漫步、乘涼方便同時(shí)又不失美觀，

5、他經(jīng)過(guò)空地內(nèi)的四棵樹(shù)，在其內(nèi)側(cè)鋪一條圓形的石子路，同學(xué)們知道他是如何做成的嗎？他是怎么知道經(jīng)過(guò)這四棵樹(shù)一定能鋪成一條圓形的石子路呢?問(wèn)題1為理解決這個(gè)問(wèn)題，我們回憶一下都儲(chǔ)藏了哪些有關(guān)的知識(shí)，過(guò)一點(diǎn)A可以作圓嗎？能做幾個(gè)？圖11；經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A，B可以作圓嗎？能做幾個(gè)？圖12；經(jīng)過(guò)不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C可以作圓嗎？能幾個(gè)圓？圖13 1 2 3圖1老師追問(wèn)：經(jīng)過(guò)四棵樹(shù)鋪設(shè)石子路這一現(xiàn)實(shí)生活中遇到的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？師生活動(dòng)：老師提出問(wèn)題，學(xué)生考慮，答復(fù)以下問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：從經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓、經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)的圓、經(jīng)過(guò)不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)圓、三角形與圓的關(guān)系入手，由經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂

6、點(diǎn)可以作一個(gè)圓想到經(jīng)過(guò)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是否可以作一個(gè)圓，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)歷出發(fā)，獲得探究問(wèn)題的方向同時(shí)也浸透將探究四點(diǎn)共圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)共圓的問(wèn)題為后繼猜測(cè)的證明作適當(dāng)?shù)闹R(shí)準(zhǔn)備將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).2合作探究獲得猜測(cè)問(wèn)題1.為理解決這一問(wèn)題，課前，我們給同學(xué)們布置了作業(yè)，嘗試著過(guò)給出的四個(gè)四邊形的頂點(diǎn)做圓，結(jié)果如何呢？1 2 3 4 圖2 師生活動(dòng):在學(xué)生說(shuō)出結(jié)果后，老師通過(guò)多媒體展示結(jié)果.老師追問(wèn)1:怎么判斷這四點(diǎn)共圓或不共圓呢？師生活動(dòng):老師提出問(wèn)題,學(xué)生獨(dú)立考慮后答復(fù).設(shè)計(jì)意圖: 在答復(fù)以下問(wèn)題的過(guò)程中,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)能找到一點(diǎn)圓心到四頂點(diǎn)間隔 相等，那么可

7、斷定四點(diǎn)共圓,這是判斷n個(gè)點(diǎn)是否共圓的重要根據(jù);也可以判斷第四點(diǎn)在不在其他三點(diǎn)確定的圓上來(lái)確定四點(diǎn)是否共圓。 問(wèn)題2:看來(lái)，有些四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)可以共圓，有些卻不行，滿足什么條件的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)會(huì)共圓呢？你能借助這幾幅圖說(shuō)說(shuō)你的想法嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分成小組，共同探究老師提出的問(wèn)題過(guò)任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎，學(xué)生代表展示小組討論的過(guò)程與結(jié)果老師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生自主探究的步驟和方法老師針對(duì)學(xué)生的不同方法、不同的表達(dá)形式給出指導(dǎo).這一環(huán)節(jié)學(xué)生思維比較發(fā)散，探究角度較多。有些學(xué)生會(huì)從定義的角度出發(fā),應(yīng)給予肯定；有些學(xué)生會(huì)從圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理的角度出發(fā)，想到性質(zhì)定理的逆命題可能斷定四點(diǎn)共

8、圓，這是我們研究幾何的思路；還有些學(xué)生會(huì)從特殊圖形的角度出發(fā)，分析矩形，等腰梯形，平行四邊形等特殊圖形，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生尋找不同圖形的共性因素；還有些學(xué)生會(huì)從四邊形的主要特征邊、角、對(duì)角線入手，在不斷的尋找否決再尋找再否決的活動(dòng)過(guò)程中，挑選獲得真正的核心條件。有些學(xué)生可能會(huì)答錯(cuò)，在互相糾錯(cuò)的過(guò)程中恰能表達(dá)學(xué)生的思維過(guò)程，同時(shí)或許也可引出新的考慮角度。學(xué)生從多個(gè)角度探究找到了一個(gè)猜測(cè)：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用載體去對(duì)問(wèn)題進(jìn)展研究，在經(jīng)歷觀察、作圖、測(cè)量、猜測(cè)、比照、驗(yàn)證等活動(dòng)感受從特殊到一般的研究問(wèn)題方法，一步一步地向探究的目的靠近在探究過(guò)程中學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)有的

9、四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能共圓，有的卻不行，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度去猜測(cè)、探究有利于學(xué)生在“做數(shù)學(xué)的過(guò)程中考慮、積淀，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷問(wèn)題3.通過(guò)合作交流，同學(xué)們推測(cè)出了四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓的條件，可這只是我們通過(guò)觀察、度量、推測(cè)出的猜測(cè)，要想使之成為定理，作為今后四點(diǎn)共圓判斷的根據(jù)，還需要證明，那如何證明呢？師生活動(dòng)：老師展示問(wèn)題，師生共同寫出、求證即：在四邊形ABCD中，BD180º求證：過(guò)點(diǎn)A，B，C，D可作一個(gè)圓學(xué)生考慮并嘗試答復(fù)學(xué)生可能聯(lián)想需要找到一點(diǎn)O，滿足OAOBOCOD老師追問(wèn)2：如何找到這個(gè)點(diǎn)？師生活動(dòng)：要證明的是四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，這和找到點(diǎn)O并證明OAOBOCOD沒(méi)有聯(lián)絡(luò)，

10、讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接證明很困難，學(xué)生自然轉(zhuǎn)換思路說(shuō)出反證法。老師追問(wèn)3：反證法的一般步驟是什么？如何用反證法進(jìn)展證明？師生活動(dòng)：回憶反證法的證明步驟，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)研究，不在同一條直線上的三點(diǎn)是共圓的，我們可以作出過(guò)三點(diǎn)的圓，第四點(diǎn)不能確定是否共圓，但其中的三點(diǎn)是可以保證共圓的，再考慮余下的點(diǎn)是否在過(guò)三點(diǎn)的圓上并能提出假設(shè)。老師追問(wèn)4：假設(shè)點(diǎn)D不在過(guò)三點(diǎn)A，B，C的圓上，會(huì)出現(xiàn)哪些情況？你能對(duì)它們進(jìn)展證明嗎？師生活動(dòng)：師生共同分析點(diǎn)D在圓外的情況，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)進(jìn)展證明證明：如圖4，假設(shè)過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)不能作一個(gè)圓過(guò)A，B，C三點(diǎn)作圓，假設(shè)點(diǎn)D在圓外設(shè)AD與圓

11、相交于點(diǎn)E，連接CE，那么BAEC180º而B(niǎo)D180º，所以AECD而AEC是CED的外角，AECD，出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立因此點(diǎn)D在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓上 圖4 圖5老師追問(wèn)5：如圖5，對(duì)于點(diǎn)D點(diǎn)在圓內(nèi)情況，您能自己完成證明嗎？設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生動(dòng)手活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)交流和溝通，讓學(xué)生明確一個(gè)問(wèn)題的解決方案，在推測(cè)之后要進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)證明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受到數(shù)學(xué)結(jié)論確實(shí)定性和證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生推理才能問(wèn)題4 如今你知道農(nóng)家樂(lè)的設(shè)計(jì)者是如何判斷這四棵樹(shù)是否在同一個(gè)圓上了嗎？四個(gè)點(diǎn)以畫出，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手量一量、算一算，這四個(gè)點(diǎn)是否真的在同一個(gè)圓上。設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用

12、已學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，不僅考察了學(xué)生，同時(shí)讓學(xué)生通過(guò)學(xué)以致用感受到快樂(lè)，老師積極的評(píng)價(jià)及和諧的討論氣氛讓學(xué)生體會(huì)到自己的社會(huì)參與價(jià)值和自信心的提升！3.變式探究、拓展思維問(wèn)題1：經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)這四棵樹(shù)的位置還具有這樣的一種特殊的關(guān)系，相等，恰好是90°圖6，運(yùn)用之前的知識(shí)我們能否判斷這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上呢？為什么？ 圖6師生活動(dòng)：學(xué)生可運(yùn)用原有知識(shí)解決問(wèn)題，圓心為AB的中點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：引起學(xué)生興趣，引出后續(xù)探究。老師追問(wèn)1：假如改變這兩個(gè)三角形的形狀，但始終保證有一條公共邊，并且這條邊所對(duì)的兩個(gè)角相等的話圖7，這四個(gè)點(diǎn)還會(huì)在一個(gè)圓上嗎？圖7師生活動(dòng)：一些學(xué)生會(huì)想到，四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

13、個(gè)別學(xué)生會(huì)嘗試說(shuō)出理由。老師追問(wèn)2：通過(guò)今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你打算如何探究這個(gè)問(wèn)題呢？說(shuō)說(shuō)你的想法。師生活動(dòng)：學(xué)生考慮結(jié)果與證明方法，課上討論時(shí)間不夠。余下的證明可留作今天作業(yè)。設(shè)計(jì)意圖：受時(shí)間限制，課上只能讓學(xué)生簡(jiǎn)單表達(dá)思路，為課下繼續(xù)探究開(kāi)個(gè)頭。讓學(xué)生明確解決問(wèn)題方法的多樣性的同時(shí)體會(huì)創(chuàng)新方法帶給自己的信心與快樂(lè)；通過(guò)模擬再次運(yùn)用轉(zhuǎn)化的解決問(wèn)題方法積累自己的學(xué)習(xí)。4歸納反思，總結(jié)提升老師與學(xué)生一起回憶本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并答復(fù)以下問(wèn)題：1本節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？學(xué)到的知識(shí)能解決什么問(wèn)題？2回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，你是怎么得到上述的知識(shí)的？你還有什么收獲？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)使學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識(shí)、技能、研究方法并關(guān)注不同層次的學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)才能和對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感五、目的檢測(cè)設(shè)計(jì)可當(dāng)作業(yè)處理1如圖，DCE是四邊形ABCD的一個(gè)外角，假如DCEA，那么同時(shí)過(guò)點(diǎn)A，B，