金融工程 鄭振龍 第3章 遠期與期貨的定價

1、2022-3-51第三章第三章遠期和期貨定價遠期和期貨定價 2022-3-52一、一、遠期價值、遠期價格與期貨價格遠期價值遠期價值是指遠期合約本身的價值。關于遠期價值的討論要分遠期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。 在簽訂遠期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應使遠期價值在簽署合約時等于零。 在遠期合約簽訂以后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠期價值將隨著標的資產(chǎn)價格的變化而變化。 第一節(jié)遠期價格與期貨價格2022-3-53遠期價格遠期價格是指使遠期合約簽訂時價值為零的交割價格。遠期價格是理論上的交割價格。關于遠期價格的討論也要分遠

2、期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。 一份公平合理的遠期合約在簽訂的當天應使交割價格等于遠期價格。如果實際交割價格不等于這個理論上的遠期價格，該遠期合約價值對于多空雙方來說就都不為零 ，實際上隱含了套利空間。在遠期合約簽訂以后，交割價格已經(jīng)確定，遠期合約價值不一定為零，遠期價格也就不一定等于交割價格。 2022-3-54類似地，在期貨合約中，我們定義期貨價格（期貨價格（Futures Futures PricesPrices）為使得期貨合約價值為零的理論交割價格。但值得注意的是，對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價值”這個概念。基于期貨的交易機制，投資者持有期貨合約，其價值的變動來源于實際期貨

3、報價的變化。由于期貨每日盯市結算、每日結清浮動盈虧，因此期貨合約價值在每日收盤后都歸零。 2022-3-55二、遠期價格與期貨價格的關系當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。 當標的資產(chǎn)價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。 這是因為當標的資產(chǎn)價格上升時，期貨價格通常也會隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進行再投資。而當標的資產(chǎn)價格下跌時，期貨合約的多頭將因每日結算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補充保證金。相比之下，遠期合約的多頭將不會因利率的變動而受到上述影響。在此情況下，

4、期貨多頭比遠期多頭更具吸引力，期貨價格自然就大于遠期價格當標的資產(chǎn)價格與利率呈負相關時，遠期價格就會高于期貨價格。 (dao)2022-3-56遠期價格和期貨價格的差異幅度還取決于合約有效期的長短。當有效期只有幾個月時，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費用、保證金的處理方式、違約風險、流動性等方面的因素或差異都會導致遠期價格和期貨價格的差異。遠期價格與期貨價格的定價思想在本質(zhì)上是相同的，其差別主要體現(xiàn)在交易機制和交易費用的差異上，在很多情況下常?？梢院雎?，或進行調(diào)整。因此在大多情況下，我們可以合理地假定遠期價格與期貨價格相等，并都用F來表示。 2022-3-57為分析簡便起見，本章的分析是

5、建立在如下假設前提下的：1沒有交易費用和稅收。2市場參與者能以相同的無風險利率借入和貸出資金。3遠期合約沒有違約風險。4允許現(xiàn)貨賣空。5當套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，我們得到的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。 6期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠期和期貨的多頭和空頭地位。三、基本的假設與符號2022-3-58本章將要用到的符號主要有：T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T 和t 是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t 代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期的剩余時間。S

6、：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間t時的價格。ST：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠期合約中的交割價格。f：遠期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠期價值。2022-3-59F：t時刻的遠期合約和期貨合約中的理論遠期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠期價格和期貨價格。r：T時刻到期的以連續(xù)復利計算的t時刻的無風險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復利的年利率。2022-3-510第二節(jié) 無收益資產(chǎn)遠期合約的定價2022-3-511本章所用的定價方法為無套利定無套利定價法價法?；舅悸窞椋簶嫿▋煞N投資組合，令其終值相等

7、，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風險收益。眾多套利者這樣做的結果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價格上升，直至套利機會消失，此時兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據(jù)兩種組合現(xiàn)值相等的關系求出遠期價格。 2022-3-512例如，為了給無收益資產(chǎn)的遠期合約定價，我們構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金；組合B：一單位標的資產(chǎn)。遠期合約現(xiàn)金組合A標的資產(chǎn)組合B一、無套利定價法2022-3-513在組合A中，Ke-r（Tt）的現(xiàn)金以無風險利率投資，投

8、資期為（Tt）。到T時刻，其金額將達到K。這是因為：Ke-r（Tt）er（Tt）=K在遠期合約到期時，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標的資產(chǎn)。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt） （3.1） 該公式表明，無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額?；蛘哒f,一單位無收益資產(chǎn)遠期合約多頭等價于一單位標的資產(chǎn)多頭和Ke-r（Tt）單位無風險負債的資產(chǎn)組合。 2022-3-514由于遠期價格就是使遠期合約價值為零的交割價格 ，即當

9、=0時， = 。據(jù)此可令式（3.1）中的 =0，則 (3.2) ffKKF()r T tFSe這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理（Spot-Forward Parity Theorem），或稱現(xiàn)貨期貨平價定理（Spot-Futures Parity Theorem）。 二、現(xiàn)貨遠期平價定理2022-3-515為了證明無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理 ，我們用反證法證明等式不成立時的情形是不均衡的。若KSer（Tt），即交割價格大于現(xiàn)貨價格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風險利率r 借入S現(xiàn)金，期限為Tt。然后用S購買一單位標的資產(chǎn)，同時賣出一份該資產(chǎn)的遠期合約，交割價格為K。在T時刻，該套

10、利者就可將一單位標的資產(chǎn)用于交割換來K現(xiàn)金，并歸還借款本息Se r（Tt），這就實現(xiàn)了 KSer（Tt） 的無風險利潤。2022-3-516若Krl 。這時遠期和期貨的價格區(qū)間為：()()1,1r T tr T tSY eSY e()(),lbr T tr T tSeSe二、非完美市場條件下的遠期定價2022-3-5333. 存在賣空限制的時候，因為賣空會給經(jīng)紀人帶來很大風險，所以幾乎所有的經(jīng)紀人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設這一比例為X，那么均衡的遠期和期貨價格區(qū)間應該是：如果上述三種情況同時存在，遠期和期貨價格區(qū)間應該是：完全市場可以看成是 的特殊情況。)()1,r T tr T

11、 tXSeSe（）0,0,lbXYrrr11,1lbrTr TXSY eSY e（）2022-3-534本書的討論焦點是金融標的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品，金融標的資產(chǎn)屬于投資性資產(chǎn)。所謂投資性資產(chǎn)投資性資產(chǎn)是指投資者主要出于投資目的而持有的資產(chǎn)，如股票、債券等金融資產(chǎn)和黃金、白銀等資產(chǎn)。由于投資性資產(chǎn)的投資決策不受消費等其他目的的影響，投資者所關注的是金融資產(chǎn)中所蘊涵的風險收益特征而非金融產(chǎn)品本身，因此標的資產(chǎn)及其期貨之間存在高度的可替代性，只要相對價格水平不合理，投資者隨時可在這兩者之間進行轉(zhuǎn)換。所以，在這樣的市場上，只要沒有其他的制度制約套利行為，期貨的定價就成為一個純粹的風險收益問題，相應地無套利

12、原則和持有成本模型就成為遠期定價的基本原理。 三、消費性資產(chǎn)的遠期定價2022-3-535消費性資產(chǎn)消費性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對于消費性資產(chǎn)來說，遠期定價公式不再適用，而是轉(zhuǎn)化為 ：原因在于消費性的標的資產(chǎn)具有消費價值，而遠期卻無法即時消費，消費性的標的資產(chǎn)與其遠期之間并不具有完全的可替代性。因此即使在遠期相對價值偏低的時候投資者也不會輕易出售現(xiàn)貨，購買遠期，從而使得單純基于風險收益考慮的金融無套利原則不再完全有效。()c T tFSe()c T tFSe2022-3-536第六節(jié) 遠期價格與標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的關系2022-3-537無套利條

13、件下 ，?？梢詮娜齻€角度分析F和S之間的關系 ：第一，當標的資產(chǎn)在遠期（期貨）存續(xù)期內(nèi)沒有收益、已知現(xiàn)金收益較小、或已知收益率小于無風險利率時，當前遠期（期貨）價格應高于標的資產(chǎn)的當前現(xiàn)貨價格；當標的資產(chǎn)在遠期（期貨）存續(xù)期內(nèi)的已知現(xiàn)金收益較大或已知收益率大于無風險利率時，當前遠期（期貨）價格應小于標的資產(chǎn)的當前現(xiàn)貨價格。在遠期（期貨）到期日，遠期（期貨）價格將收斂于標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格（這是套利行為決定的）。()c T tFSe一、同一時刻遠期（期貨）價格與標 的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的關系2022-3-538n當標的證券沒有收益，或者已知現(xiàn)金收益較小、或者已知收益率小于無風險利率時，期貨價格應高于現(xiàn)貨

14、價格。 現(xiàn)貨價格期貨價格第三章第三章 遠期和期貨的定價遠期和期貨的定價 2022-3-539n當標的證券的已知現(xiàn)金收益較大，或者已知收益率大于無風險利率時，期貨價格應小于現(xiàn)貨價格。 現(xiàn)貨價格 期貨價格第三章第三章 遠期和期貨的定價遠期和期貨的定價 2022-3-540第二，標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格對同一時刻的遠期（期貨）價格起著重要的制約關系，正是這種制約關系決定了遠期（期貨）是無法炒作的。但是，如果現(xiàn)貨市場規(guī)模不夠大，現(xiàn)貨價格無法形成對遠期（期貨）價格的有效制約，遠期（期貨）市場就遲早會因惡性投機而出問題。（案例3.7國債期貨事件）2022-3-541第三，對式（3.8）進行變換，可得 從本質(zhì)來看

15、，遠期（期貨）是衍生產(chǎn)品，其價格應取決于標的資產(chǎn)當前現(xiàn)貨價格S，隨S變化而變化；在實際中則應該體現(xiàn)為遠期（期貨）和現(xiàn)貨市場同時對新的信息作出反映。 但在現(xiàn)實生活中，大量實證研究表明，無論是商品還是金融遠期（期貨），由于遠期（期貨）市場具有低成本、高杠桿和高流動性等特征，如果遠期（期貨）市場發(fā)展較為完善，規(guī)模和影響力較大，在面臨新的市場信息沖擊時，投資者越來越多地先在遠期（期貨）市場上進行操作，使得新信息往往先在遠期（期貨）市場上得到反映，然后才傳達至現(xiàn)貨市場，從而使得F反過來具有引領S價格變化的信號功能。當前遠期（期貨）價格對當前現(xiàn)貨價格的此種引領作用也被稱為遠期（期貨）的“價格發(fā)現(xiàn)價格發(fā)現(xiàn)”（Price DiscoveryPrice Discovery）功能。 ()c T tSFe2022-3-542根據(jù)預期收益率的概念，我們有： 表示現(xiàn)在市場上預期的該資產(chǎn)在T時刻的市價；y表示該資產(chǎn)的連續(xù)復利預期收益率；t為現(xiàn)在時刻 。而遠期（期貨）價格 ：比較以上兩式可知，y和r的大小決定了F和E(ST)孰大孰小。而y值的大小又取決于標的資產(chǎn)的系統(tǒng)性風險。 ()TE S()()y T tTE SSe()r T tFSe二、當前遠期（期貨）價格與標的資產(chǎn)預期未來現(xiàn)貨價格的關系2