復(fù)數(shù)與復(fù)平面

1、第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其幾何表示1、復(fù)數(shù)域每個(gè)復(fù)數(shù)具有的形狀，其中和，是虛數(shù)單位；和分別稱為的實(shí)部和虛部，分別記作，。復(fù)數(shù)和相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等。如果，則可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)；如果，那么稱為一個(gè)虛數(shù)；如果，而，則稱為一個(gè)純虛數(shù)。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義為：復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域，記為C。2、復(fù)平面：C也可以看成平面，我們稱為復(fù)平面。作映射：，則在復(fù)數(shù)集與平面之建立了一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量，。向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：；向量與正實(shí)軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為

2、：（）。復(fù)數(shù)的共軛定義為：；復(fù)數(shù)的三角表示定義為：；復(fù)數(shù)加法的幾何表示：設(shè)、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；例1 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程： （）其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。解：方程為 ，其中。例2、設(shè)、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法：設(shè)、是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，則有則有 即，其中后一個(gè)式子應(yīng)理解為集合相等。同理，對(duì)除法，有即，其后一個(gè)式子也應(yīng)理解為集合相等。例3、設(shè)、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：例4、作出過(guò)復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線及過(guò)不共線三點(diǎn) a,b,c的圓的表示式。 解：直線：；圓：利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：令，則進(jìn)一步，有共有-個(gè)值。例5、求的所有值。解：由于，所以有其中，。3、復(fù)球面與無(wú)窮大：在點(diǎn)坐標(biāo)是 的三維空間中，把 xOy面看作就是面?？紤]球面：取定球面上一點(diǎn)稱為球極。我們可以建立一個(gè)復(fù)平面C到之間的一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)：，。我們稱上面的映射為球極射影。對(duì)應(yīng)于球極射影為，我們引入一個(gè)新的非正常復(fù)數(shù)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，稱為擴(kuò)充