動(dòng)能定理的應(yīng)用(知識(shí)梳理)

1、.動(dòng)能定理的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目的】1進(jìn)一步深化對(duì)動(dòng)能定理的理解。2會(huì)用動(dòng)能定理求解變力做功問題。3會(huì)用動(dòng)能定理求解單物體或多物體單過程問題以及與其他運(yùn)動(dòng)形式的結(jié)合問題。4知道用動(dòng)能定理解題的一般步驟?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、動(dòng)能定理的推導(dǎo)要點(diǎn)詮釋：1推導(dǎo)過程：一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，在有外力對(duì)它做功時(shí)，動(dòng)能會(huì)發(fā)生變化。設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的物體，原來的速度是，動(dòng)能是，在與運(yùn)動(dòng)方向一樣的恒定外力F的作用下，發(fā)生一段位移，速度增加到，動(dòng)能增加到。在這一過程中外力對(duì)物體所做的功。根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到所以或2關(guān)于公式的幾點(diǎn)說明1上面我們?cè)O(shè)外力方向與運(yùn)動(dòng)方向一樣，導(dǎo)出了關(guān)系式，這時(shí)外力做正功，動(dòng)能增加。外力方向與運(yùn)動(dòng)

2、方向相反時(shí)，上式同樣適用，這時(shí)外力所做的功是負(fù)值，動(dòng)能的變化也是負(fù)值；2外力對(duì)物體做負(fù)功，往往說成物體抑制這個(gè)力做了功。因此，對(duì)這種情形，也可以說物體抑制阻力所做的功等于動(dòng)能的減少；3假如物體不只受到一個(gè)力，而是受到幾個(gè)力，上述結(jié)論仍舊正確。只是外力所做的功是指各個(gè)力所做的功的代數(shù)和，即外力所做的總功。3動(dòng)能定理的本質(zhì)動(dòng)能定理提醒了外力對(duì)物體所做的總功與物體動(dòng)能變化之間的關(guān)系，即外力對(duì)物體做的總功，對(duì)應(yīng)著物體動(dòng)能的變化，變化的大小由做功的多少來量度。動(dòng)能定理的本質(zhì)是反映其它形式的能通過做功而和動(dòng)能轉(zhuǎn)化之間的關(guān)系，只不過在這里其它形式的能并不一定出現(xiàn)，而是以各種性質(zhì)的力所做的機(jī)械功等式左邊的形式

3、表現(xiàn)出來而已。要點(diǎn)二、對(duì)動(dòng)能定理的進(jìn)一步理解要點(diǎn)詮釋：1動(dòng)能定理的計(jì)算式為標(biāo)量式，計(jì)算外力對(duì)物體做的總功時(shí)，應(yīng)明確各個(gè)力所做功的正負(fù)，然后求其所有外力做功的代數(shù)和；求動(dòng)能變化時(shí)，應(yīng)明確動(dòng)能沒有負(fù)值，動(dòng)能的變化為末動(dòng)能減去初動(dòng)能。2位移和速度必須是相對(duì)于同一個(gè)參考系的，一般以地面為參考系。3動(dòng)能定理公式中等號(hào)的意義等號(hào)說明合力做的功與物體動(dòng)能的變化間的三個(gè)關(guān)系：1數(shù)量相等：即通過計(jì)算物體動(dòng)能的變化來求合力的功，進(jìn)而求得某一力的功。2單位一樣：都是焦耳。3因果關(guān)系：合外力的功是物體動(dòng)能變化的原因。4動(dòng)能定理既適用于一個(gè)持續(xù)的過程，也適用于分段過程的全過程。5動(dòng)能定理應(yīng)用廣泛，直線運(yùn)動(dòng)、曲線運(yùn)動(dòng)、恒

4、力做功、變力做功、同時(shí)做功、分段做功各種情況均適用。要點(diǎn)三、應(yīng)用動(dòng)能定理的根本步驟要點(diǎn)詮釋：1選取研究對(duì)象，明確它的運(yùn)動(dòng)過程；2分析研究對(duì)象的受力情況和各力的做功情況；受哪些力各力是否做功做正功還是負(fù)功做多少功然后求解各個(gè)外力做功的代數(shù)和3明確物體在過程的始末狀態(tài)的動(dòng)能Ek1和Ek2；4列出動(dòng)能定理的方程及其他必要的解題方程，進(jìn)展求解。要點(diǎn)四、應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)應(yīng)注意的問題要點(diǎn)詮釋：1有些力在物體運(yùn)動(dòng)的全過程中不是始終存在的，因此在求解物體運(yùn)動(dòng)過程中外力的總功時(shí)，要注意把物體的受力與運(yùn)動(dòng)結(jié)合分析。2動(dòng)能定理是計(jì)算物體位移和速率的簡潔公式，當(dāng)題目中涉及到位移時(shí)可優(yōu)先考慮動(dòng)能定理。3假設(shè)物體運(yùn)動(dòng)過程中

5、包含幾個(gè)不同的物理過程，用動(dòng)能定理解題時(shí)可以分段處理，也可取全過程直接列式?！镜湫屠}】類型一、用動(dòng)能定理求變力做功例1、如下圖，質(zhì)量為的小球，從半徑的半圓形軌道上的A點(diǎn)開場下滑，A點(diǎn)與圓心O點(diǎn)在同一程度面上，到達(dá)最低點(diǎn)B的速度。求在弧AB段阻力對(duì)物體所做的功Wf。取【思路點(diǎn)撥】物體在弧AB段運(yùn)動(dòng)過程中受重力、彈力和阻力作用，其中彈力和阻力是變力，但在此過程中彈力對(duì)小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做負(fù)功。在這一過程中，可用動(dòng)能定理。【解析】重力的功。由動(dòng)能定理有：所以【總結(jié)升華】動(dòng)能定理既適用于直線運(yùn)動(dòng)，也適用于曲線運(yùn)動(dòng)，既適用于恒力做功，也適用于變力做功。力做功時(shí)可以是連續(xù)的，也可以是不

6、連續(xù)的，可以是在一條直線上的，也可以是不在一條直線上的。舉一反三【變式1】在距地面高處，一人以的速度程度拋出一個(gè)質(zhì)量為的物體，物體落地時(shí)速度大小為，試求：1人拋出物體的過程中對(duì)物體所做的功為多少？2飛行過程中物體抑制空氣阻力所做的功為多少？【答案】1200J 288J【解析】1拋出物體的過程中，只有人做功，這個(gè)過程很短暫，人施加的力可以說是一個(gè)瞬間的力，該過程人的功無法用做功公式求解。所以只能用動(dòng)能定理求解。由動(dòng)能定理得：2飛行過程，物體除受重力作用外，還有空氣阻力做功，由動(dòng)能定理得：即：解得：【變式2】如下圖，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑程度面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，拉力為某個(gè)值時(shí)，

7、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R，當(dāng)拉力為時(shí)，物體仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為2R，那么外力對(duì)物體做功的大小是 A B C D零【答案】A【解析】設(shè)當(dāng)繩的拉力為時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為，那么有當(dāng)繩的拉力為時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為，那么有由動(dòng)能定理：故答案為A。類型二、動(dòng)能定理解單體多過程問題例2、如下圖，物體從高為的光滑斜面頂端由靜止開場沿斜面下滑，最后停在程度面上與斜面頂端程度間隔 為的地方，物體與斜面和程度面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，試證明：.【解析】設(shè)斜面長為，物體在程度面上滑行的位移大小為，下面傾角為。兩個(gè)物體的受力圖如下，在斜面上有：在程度面上：對(duì)整個(gè)過程根據(jù)動(dòng)能定理列方程那么：展開得：因?yàn)椋核?/p>

8、：【總結(jié)升華】對(duì)這種多過程問題，既可以分段利用動(dòng)能定理列方程求解，也可以對(duì)全過程利用動(dòng)能定理列方程求解，解題時(shí)可根據(jù)詳細(xì)情況選擇使用舉一反三【變式1】如下圖，光滑1/4圓弧的半徑為0.8m，有一質(zhì)量為1.0kg的物體自A點(diǎn)從靜止開場下滑到B點(diǎn)，然后沿程度面前進(jìn)4.0m，到達(dá)C點(diǎn)停頓。g取10m/s2，求：1物體到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率。2在物體沿程度面運(yùn)動(dòng)的過程中摩擦力做的功。3物體與程度面間的動(dòng)摩擦因數(shù). 【答案】123【解析】1物體在AB過程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理：解得：2在程度面上，只有摩擦力做功，由動(dòng)能定理：解得：3由做功公式：【變式2】如下圖，一質(zhì)量為2 kg的鉛球從離地面2 m高處自

9、由下落，陷入沙坑2 cm深處，求沙子對(duì)鉛球的平均阻力【思路點(diǎn)撥】多過程問題要注意各個(gè)過程中的受力情況的變化。【解析】解法一：鉛球的運(yùn)動(dòng)分為自由下落和陷入沙坑減速運(yùn)動(dòng)兩個(gè)過程，根據(jù)動(dòng)能定理，分段列式設(shè)鉛球自由下落到沙面時(shí)的速度為v，那么設(shè)鉛球在沙中受到的平均阻力為F，那么代入數(shù)據(jù)解得F2020 N 解法二：全程列式：全過程中重力做功mgH+h，進(jìn)入沙中阻力做功-Fh，全程來看動(dòng)能變化為零，那么由 得 解得【變式3】質(zhì)量為m=1.5kg的物塊可視為質(zhì)點(diǎn)在程度恒力F作用下，從程度面上A點(diǎn)由靜止開場運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一段間隔 后撤去該力，物塊繼續(xù)滑行t=2.0s停頓在B點(diǎn)。A、B兩點(diǎn)間的間隔 為S=5.0m，

10、物塊與程度面間的摩擦因數(shù)=0.2，求恒力F?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題用運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)能定理求解?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)撤去力F前物塊位移為S1，撤去F時(shí)物塊的速度為。物塊所受的摩擦力，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：即S1=1m對(duì)整個(gè)過程用動(dòng)能定理：【總結(jié)升華】此題可以有多種解法，運(yùn)用動(dòng)能定理較為簡單。例3、如下圖，斜面傾角為，滑塊質(zhì)量為，滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，從距擋板為的位置以的速度沿斜面向上滑行。設(shè)重力沿斜面的分力大于滑動(dòng)摩擦力，且每次與擋板碰撞前后的速度大小保持不變，斜面足夠長。求滑塊從開場運(yùn)動(dòng)到最后停頓滑行的總路程?！舅悸伏c(diǎn)撥】由于重力沿斜面的分力大于滑動(dòng)摩擦力，物體雖經(jīng)屢次往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最終將停頓在擋板處。整個(gè)過

11、程中只有重力與摩擦力對(duì)物體做功?！窘馕觥磕Σ亮σ恢弊鲐?fù)功，其絕對(duì)值等于摩擦力與路程的乘積，由動(dòng)能定理得解得【總結(jié)升華】動(dòng)能定理只涉及初、末狀態(tài)而不涉及過程中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，因此對(duì)于做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)用動(dòng)能定理解題往往比較簡便，此題也可用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式一步步求解，但非常繁瑣。舉一反三【變式1】如下圖質(zhì)量為的物體置于光滑程度面，一根繩子跨過定滑輪一端固定在物體上，另一端在力作用下，以恒定速率豎直向下運(yùn)動(dòng)，物體由靜止開場運(yùn)動(dòng)到繩與程度方向夾角的過程中，繩中張力對(duì)物體做的功為_。v0F【解析】當(dāng)繩與程度方向夾角時(shí)，物體的速度為v0vv0F選物體為研究對(duì)象，研究物體由靜止開場到繩與程度方向夾角

12、為的過程，根據(jù)動(dòng)能定理可知，繩中張力對(duì)物體做的功等于物體動(dòng)能的增加。即【變式2】在程度恒力作用下，物體沿光滑曲面從高為的A處運(yùn)動(dòng)到高為的B處，假設(shè)在A處的速度為，B處速度為，那么AB的程度間隔 為多大？【思路點(diǎn)撥】用牛頓定律遇到困難，使用動(dòng)能定理?！窘馕觥緼到B過程中，物體受程度恒力F，支持力N和重力mg的作用。三個(gè)力做功分別為、0和，所以動(dòng)能定理寫為：解得：【總結(jié)升華】從此例可以看出，以我們?nèi)缃竦闹R(shí)程度，牛頓定律無能為力的問題，動(dòng)能定理可以很方便地解決，其關(guān)鍵就在于動(dòng)能定理不計(jì)運(yùn)動(dòng)過程中瞬時(shí)細(xì)節(jié)。類型三、動(dòng)能定理解多體問題例4、如下圖，用細(xì)繩連接的A、B兩物體質(zhì)量相等， A位于傾角為30&

13、#176;的斜面上，細(xì)繩跨過定滑輪后使A、B均保持靜止，然后釋放，設(shè)A與斜面間的滑動(dòng)摩擦力為A受重力的0.3倍，不計(jì)滑輪質(zhì)量和摩擦，求B下降1m時(shí)的速度多大。【解析】解法一：對(duì)A使用動(dòng)能定理：對(duì)B使用動(dòng)能定理：得：解法二：將A、B看成一整體。因二者速度、加速度大小均一樣，此時(shí)拉力T為內(nèi)力，求外力做功時(shí)不計(jì)，那么動(dòng)能定理寫為： 二式聯(lián)立解得：【總結(jié)升華】上述兩種解法結(jié)論是一致的，而方法二中研究對(duì)象的選擇使解題過程簡化，因此在使用動(dòng)能定理時(shí)要適中選取研究對(duì)象。舉一反三【變式】一輛汽車通過圖中的細(xì)繩提起井中質(zhì)量為m的物體。開場時(shí)，車在A點(diǎn)，繩子已經(jīng)拉緊且是豎直的，左側(cè)繩長為H。提升時(shí)，車加速向左運(yùn)動(dòng)

14、，沿程度方向從A經(jīng)過B駛向C。設(shè)A到B的間隔 也為H，車過B點(diǎn)時(shí)的速度為v。求在車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功。設(shè)繩和滑輪的質(zhì)量及摩擦不計(jì)，滑輪尺寸不計(jì)mQABCHH【解析】此題中汽車和重物構(gòu)成連接體，但解題通常取重物為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)能定理列方程： 1 2由于左邊繩端和車有一樣的程度速度v，v可分解成沿繩子方向的兩個(gè)分速度，mQABCHHvxv 3將3式和2式代入1式可得：例5、總質(zhì)量為的列車，沿程度直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂質(zhì)量為，中途脫節(jié)，司機(jī)覺察時(shí)，機(jī)車已行駛的間隔 ，于是立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)除去牽引力，設(shè)運(yùn)動(dòng)的阻力與質(zhì)量成正比，機(jī)車的牽引力是恒定的，當(dāng)列車的兩部分都停頓時(shí)

15、，它們的間隔 是多少?【思路點(diǎn)撥】車頭和脫節(jié)的車廂運(yùn)動(dòng)情景不同，應(yīng)畫好運(yùn)動(dòng)示意圖。【解析】解法一：先畫出草圖如下圖，在圖中標(biāo)明各部分的位移對(duì)車頭，在脫節(jié)前后的整個(gè)過程中運(yùn)用動(dòng)能定理有： 對(duì)末節(jié)車廂，應(yīng)用動(dòng)能定理有 由位移關(guān)系知： 由于列車脫節(jié)前做勻速運(yùn)動(dòng) 故 由聯(lián)立得：解法二：設(shè)列車勻速行駛時(shí)速度為，那么脫節(jié)后，尾部車廂做勻減速運(yùn)動(dòng)至停頓，運(yùn)動(dòng)過程中初速度為，末速度為零，設(shè)加速度大小為，運(yùn)動(dòng)位移為對(duì)車頭部分的運(yùn)動(dòng)，作如下圖分析圖設(shè)在A處脫節(jié)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)才覺察，后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，那么AB段上為勻加速運(yùn)動(dòng)，達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度有最大值，從B點(diǎn)開場，頭部車廂做勻減速運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)剛好停頓考察BD過程，其中必有

16、一點(diǎn)車速為，設(shè)為C點(diǎn)，那么CD過程做初速度為、加速度大小為、末速度為零的運(yùn)動(dòng)，此段位移與尾部車廂的位移一樣由此可知，當(dāng)兩部分都停頓運(yùn)動(dòng)后，兩車的間距大小等于AC的大小 根據(jù)以上分析，取車頭部分為研究對(duì)象，取AC過程來分析，依動(dòng)能定理有：聯(lián)立解得，故兩車都停頓后相隔的間距為：解法三：補(bǔ)償法 假設(shè)脫節(jié)后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，那么車頭、車尾車廂應(yīng)前進(jìn)一樣的間隔 而停在一起如今之所以停下后拉開一段間隔 ，是因?yàn)闋恳υ诘拈g隔 上多做了功，因此車頭車廂動(dòng)能多了一些，使其抑制阻力多走一段間隔 可見，在間隔 上做的功應(yīng)等于阻力在間隔 上做的功，即，又，故【總結(jié)升華】用牛頓第二定律解此題后再與應(yīng)用動(dòng)能定理的解法相比

17、較，動(dòng)能定理解法的簡便之處是顯而易見的動(dòng)能定理不需要涉及列車脫節(jié)前后運(yùn)動(dòng)情況的細(xì)節(jié)，只要根據(jù)始末兩個(gè)狀態(tài)給出方程即可從該題還可以看出，動(dòng)能定理不僅適用于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的過程，也適用于其中包含幾個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的全過程，不過應(yīng)當(dāng)注意分析各個(gè)不同過程的受力情況和做功情況，將全過程所有力做的功的代數(shù)和代入方程可見，運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)要靈敏選取過程，過程的選取對(duì)解題難易程度有很大影響類型四、動(dòng)能定理與圓周、平拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)合例6、質(zhì)量為的物體由圓弧軌道頂端從靜止開場釋放，如下圖， A為軌道最低點(diǎn)，A與圓心O在同一豎直線上，圓弧軌道半徑為R，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，物體對(duì)軌道的壓力大小為，求此過程中物體抑制摩擦力做的功。

18、【答案】【解析】A點(diǎn)是圓周的最低點(diǎn)，仍然在圓周上，需要向心力，所以小球在A點(diǎn)的合力提供向心加速度，由牛頓第二定律：解得：在圓弧軌道下滑過程中，由動(dòng)能定理得：所以：舉一反三【變式1】如圖，一半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高；質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自軌道端點(diǎn)P靜止開場滑下，滑到最低點(diǎn)Q時(shí)，對(duì)軌道的正壓力為2mg，重力加速度大小為g。質(zhì)點(diǎn)自P滑到Q的過程中，抑制摩擦力所做的功為 A B C D【答案】C【解析】當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由P點(diǎn)滑到Q點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的正壓力為FN=2mg，由牛頓第二定律得。對(duì)質(zhì)點(diǎn)自P滑到Q點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理得：，得：，因此，A、B、D錯(cuò)，C正確?！究偨Y(jié)升華】典型的曲線運(yùn)動(dòng)，是非勻速圓周最低

19、點(diǎn)問題與動(dòng)能定理的綜合?！咀兪?】如下圖，一個(gè)光滑的程度軌道與半圓軌道相連接，其中半圓軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R，質(zhì)量為m的小球以某速度從A點(diǎn)無摩擦地滾上半圓軌道，小球通過軌道的最高點(diǎn)B后恰好做平拋運(yùn)動(dòng)，且正好落在程度地面上的C點(diǎn)，AC=AB=2R,求:1小球在A點(diǎn)時(shí)的速度大小2小球在B點(diǎn)時(shí)半圓軌道對(duì)它的彈力【答案】；0 【解析】1先研究小球從B點(diǎn)平拋到C點(diǎn)過程：豎直方向：程度方向：聯(lián)立解得：從A到B過程，由動(dòng)能定理：解得：2小球在軌道最高點(diǎn)時(shí)，假設(shè)除重力外，還受到軌道的彈力N，由牛頓第二定律得：解得：【變式3】如圖，讓質(zhì)量m5kg的擺球由圖中所示位置A從靜止開場下擺。擺至最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)恰好繩被

20、拉斷。設(shè)擺線長1.6m，懸點(diǎn)O與地面的間隔 OC4m，假設(shè)空氣阻力不計(jì)，繩被拉斷瞬間小球的機(jī)械能無損失。g10m/s2求：1繩子所能承受的最大拉力T2擺球落地的速率v【答案】；【解析】1根據(jù)幾何關(guān)系，AB兩點(diǎn)高度差，擺球從A到B過程由動(dòng)能定理得：解得：在最低點(diǎn)B，小球受力如圖，由牛頓第二定律：解得，所以，繩子能承受的最大拉力為2繩子斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理：解得【總結(jié)升華】分清楚物體運(yùn)動(dòng)的各個(gè)過程，表示出全過程中各力所做的功和初、末態(tài)動(dòng)能的變化是解題的關(guān)鍵 例7、如下圖，用一塊長L1=1.0 m的木板在墻和桌面間架設(shè)斜面，桌子高H=0.8 m，長L2=1.5 m。斜面與程度桌面的傾角可在060°間調(diào)節(jié)后固定。將質(zhì)量m=0.2 kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，物塊與