《函數(shù)的單調性與奇偶性》教學設計

1、1.3函數(shù)的單調性與奇偶性教學設計【教學目標】1. 理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調區(qū)間、單調性等概念；掌握增（減）函數(shù)的證明和判別；學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質；2. 理解函數(shù)單調性的概念及證明方法、判別方法，理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；3. 理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念及圖象的特征，能熟練判別函數(shù)的奇偶性.【導入新課】1.通過對函數(shù)、及的觀察提出有關函數(shù)單調性的問題.2閱讀教材明確單調遞增、單調遞減和單調區(qū)間的概念.3.實踐活動：取一張紙，在其上畫出平面直角坐標系，并在第一象限任畫一可作為函數(shù)圖象的圖形，然后按如下操作并回答相應問題： 以y軸為折痕將紙對折，并在紙的背面（即第二象限）畫

2、出第一象限內圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形；問題：將第一象限和第二象限的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，若能請說出該圖象具有什么特殊的性質？函數(shù)圖象上相應的點的坐標有什么特殊的關系？答案：（1）可以作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，并且它的圖象關于y軸對稱；（2）若點（x，f(x)）在函數(shù)圖象上，則相應的點（x，f(x)）也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象上橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標一定相等. 以y軸為折痕將紙對折，然后以x軸為折痕將紙對折，在紙的背面（即第三象限）畫出第一象限內圖形的痕跡，然后將紙展開，觀察坐標系中的圖形：問題：將第一象限和第三象限

3、的圖形看成一個整體，則這個圖形可否作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，若能請說出該圖象具有什么特殊的性質？函數(shù)圖象上相應的點的坐標有什么特殊的關系？答案：（1）可以作為某個函數(shù)y=f(x)的圖象，并且它的圖象關于原點對稱；（2）若點（x，f(x)）在函數(shù)圖象上，則相應的點（x，f(x)）也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象上橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標也一定互為相反數(shù).新授課階段一、函數(shù)的單調性增函數(shù)：設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；減函數(shù)：設函數(shù)y=

4、f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).例1 如圖是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調區(qū)間，及在每一單調區(qū)間上，是增函數(shù)還是減函數(shù).xy-55xy-55解：函數(shù)的單調區(qū)間有，其中在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).注意：1.單調區(qū)間的書寫 2各單調區(qū)間之間的關系以上是通過觀察圖象的方法來說明函數(shù)在某一區(qū)間的單調性，是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數(shù)，我們怎樣根據(jù)增減函數(shù)的定義來證明它的單調性呢？例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設是R上的任

5、意兩個實數(shù)，且，則，.所以，在R上是增函數(shù).例3 證明函數(shù)在上是減函數(shù).證明：設是上的任意兩個實數(shù)，且，則.由，得，且.于是.所以，在上是減函數(shù).利用定義證明函數(shù)單調性的步驟：（1） 取值；（2） 計算、；（3） 對比符號；（4） 結論.二、奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念：1偶函數(shù) 一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).2奇函數(shù) 一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個

6、必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）.（二）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.例4 （1）下面四個結論中，正確命題的個數(shù)是（ A ）偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（xR）.A1 B2 C3 D4【提示】不對，如函數(shù)是偶函數(shù)，但其圖象與軸沒有交點；不對，因為奇函數(shù)的定義域可能不包含原點；正確；不對，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（x）=0x（，），答案為A.（2）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其定義域為，

7、則（）A，b0 B，b0 C，b0 D，b0【提示】由為偶函數(shù)，得b0.又定義域為， ，故答案為A.例5 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）.解：（1）由，得定義域為，關于原點不對稱，為非奇非偶函數(shù).(2) ， 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3）由得定義域為， 為偶函數(shù).（4）當時，則，當時，則，綜上所述，對任意的，都有，為奇函數(shù).例6 若奇函數(shù)是定義在（，1）上的增函數(shù)，試解關于的不等式：.解：由已知得，因f(x)是奇函數(shù)，故 ，于是.又是定義在（1，1）上的增函數(shù)，從而，即不等式的解集是.例7 已知定義在R上的函數(shù)對任意實數(shù)、，恒有，且當時，又.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證

8、：在R上是減函數(shù)；（3）求在，6上的最大值與最小值.（1）證明：令，可得 ，從而，f(0) = 0.令，可得 ，即，故為奇函數(shù).（2）證明：設R，且，則，于是從而.所以，為減函數(shù).（3）解：由（2）知，所求函數(shù)的最大值為，最小值為.，.于是，在-3，6上的最大值為2，最小值為 -4.課堂小結1. 單調遞增、單調遞減和單調區(qū)間的概念及判定方法.2. 求函數(shù)最值的常用方法有：（1）配方法：即將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值.（2）換元法：通過變量式代換轉化為求二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值.（3）數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法求出最值.3. 判斷函數(shù)

9、的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱單調性與奇偶性的綜合應用是本節(jié)的一個難點，需要學生結合函數(shù)的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質.作業(yè)見同步練習部分拓展提升1.下列四個函數(shù)： ; ； ; ，其中在 上為減函數(shù)的是（ ） （A） （B） （C）、 （D）、2.函數(shù)在和都是增函數(shù)，若，且那么（ ）A B C D無法確定3. 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，實數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D. 4下列命題中，真命題是（ ）A函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內為減函數(shù)B函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內為增函數(shù)C函數(shù)是偶函數(shù)，且在（3，0）上為減函數(shù)D函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，2）上為增函數(shù)5若，都是奇函數(shù)，在（0，）上有最大值5，則在（，0）上有（）A最小值5B最大值5 C最小值1D最大值36則a的范圍為( ) A B C D 7函數(shù))是單調函數(shù)的充要條件是( ) A B C D8已