數學分析講解數列極限

1、.Chap2 極限與連續(xù)極限與連續(xù)古希臘Archimede“窮竭法”；中國魏晉時代劉徽“割圓術”；Newton“雛形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“發(fā)展完善”。. Chap2 1 數列極限數列極限.1x2x3x4xnx一、數列定義1 函數 f : NR稱為數列，記為xn. 即xnf (n), nN,或x1, x2,xn, xn稱為數列第n項，其表達式稱為數列的通項通項。 幾何意義：數列對應著數軸上一個點列， 可看作一動點在數軸上依次取12,nx xx例例1 討論數列的單調性和有界性2222nx （n重根號）.1( 1)1.nnn例2觀察數列當 時的變化趨勢二、數列極

2、限定義.定義2 設有數列xn. 若存在常數A，使得0, NN, 當nN時，|xnA|，則稱xn的極限極限為A，或稱xn收斂收斂于A，記為limnnxA()nxAn 或若A不存在，則稱數列xn無極限，或稱為發(fā)散發(fā)散(不收斂不收斂) 是用來刻劃xn與A的接近程度。首先，具有任意性任意性， 說明xn與A的接近程度可以任意??；其次，具有相對 固定性固定性，一旦給出，就固定這個再去找N。 N的存在性存在性說明無論怎么小，第N項后的所有xn都滿足 |xnA|N成為 的充分條件即可. 這就是所謂的“適當放大法”.|nxA適當放大法：1|( )()nxAG nnN( )(1) lim( )0;(2)nG nG

3、 n其中適合形式簡單，即由2( ).G nnN容易解出12max,|.nNN NnNxA最后取則時，.239lim0.79nnnn 例6證明lim1(0);(2) lim1.nnnnaan兩個結果：(1) 例7 設數列xn對常數A和0 q 0, 使得nN有|.nxM推論1 無界數列必發(fā)散。推論2 若數列,lim,lim.nnnnnnnxxyxAyBAB滿足且則定理3 （不等式性）若lim,lim,nnnnxAyBAB且，nnNnNxy則，當時,有N Nu 即使將“xn yn”換為“xn yn”, 結論也不能改為“A B”.推論4 若lim0,nnxANnN則當時,有N N|0.2nAx 推論3

4、 （保號性）若lim0,NnnxANnN則，當時,有0.2nAx u 若將“A0”換為“A 0, 且 , 則有l(wèi)imnnaa12limnnna aaa推論推論3 若an 0, 且 , 則有1limnnnaaalimnnnaa.例14 求極限22223312233limnnnnn13Ex. 求極限12limnnn n23五、數列收斂準則1單調有界定理單調有界定理 設數列xn單調增加. 則當xn有上界時, xn收斂，當xn 上無界時, xn為正無窮大，且均成立limsup;nknkxxN Nu 若xn為單調數列. 則xn收斂 xn有界.u 想一想 數列xn單調減少時的情形？.2222nx (n重根

5、號), 例15 設1112.0, (1,2,),2nnnaaana例16 設lim.nnx求例17 證明數列.11收斂nnnxu e=2.7182818284是自然對數的底(lnx = logex), 是無理數.1lim 1e.nnn記limnna證明 存在并求之.,11e111nnnnynnx且xn單調增加收斂于e, yn單調下降收斂于e.例18 設1111ln ,23ncnn 證明cn收斂.實際上, 我們還有.定義5 數列xn中依次取出下標為n1 n2 nk 1時，an收斂；當p 1時，an為正無窮大.3 Cauchy收斂準則收斂準則 數列xn收斂的充要條件是：0,:|.nmNn mNxx N N 基本列(Cauchy列) 滿足上述必要性條件的數列！ 等價形式：0,:|.npnNnNpxx NNNN 否定形式：數列xn發(fā)散當且僅當0000000,:|.nmNn mNxxN N 問題：數列xn為基本列 與pN有 等價嗎？lim| 0npnnxx.例22 設1111,23nxn 證明xn發(fā)散.注 此例中，對pN有l(wèi)im|