數(shù)學建模差分方程混沌現(xiàn)象的起源

1、 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型 混沌混沌-差分形式的阻滯增長差分形式的阻滯增長 模模 型型 差分方程模型差分方程模型 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問問 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降價格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲價格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩數(shù)量與價格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數(shù)量

2、；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關(guān)系消費者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點gfKKxy0

3、y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yy

4、xxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度生產(chǎn)者對價格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經(jīng)濟穩(wěn)定經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟實力控

5、制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyh

6、x48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣 分岔與混沌分岔與混沌內(nèi)容目錄 哲學與研究 分形幾何的產(chǎn)生 混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)哲學與研究 哲學是人類認識世界的最高層次的思考。 尋找世界的本原問題； 人類在世界中的位置，即人類作為認識的主體在研究中的重要性。 了解哲學是從總體上、大局上把握世界；把握研

7、究的方向，不至于走入死胡同。付里葉變換 Fourier是法國大革命時期的數(shù)學家，他在頻譜分析領(lǐng)域做有卓越的貢獻。 在當時，拿破侖時代，科學界流行一種哲學：世界是有“基元”組成的，任何一種物質(zhì)只是基元的加權(quán)的代數(shù)和?；鞘裁?？ 運動是物質(zhì)的一種存在形態(tài)，也應(yīng)該具有一種相同的特性，即運動應(yīng)由基元組成。付里葉變換（續(xù)） Fourier通過研究“振動弦”的運動得出一個規(guī)律：即振動弦的運動可以分解為多個“正弦”信號的和。 又通過對很多現(xiàn)象的研究，F(xiàn)ourier得出一個結(jié)論：任何一個信號可以分解為多個“簡諧周期函數(shù)”的加權(quán)和，而sin(x)、cos(x)是最簡單的“簡諧周期函數(shù)”。付里葉變換（續(xù)） 由此

8、，付里葉得出如下的結(jié)論：)cos()sin(2)(0nwtibnwtaatfnnn任意時間周期信號基元權(quán)值常量付里葉變換（續(xù)） 從當時的角度（哲學觀點）來看，是任何一個信號可以表示為“正弦”信號的加權(quán)和，符合哲學觀點，推導正確。 當Fourier將論文提交給法國研究院，由Lagrange等三名數(shù)學家組成的委員會沒有允許該論文的發(fā)表，原因是該數(shù)學推導不嚴格， Lagrange提出對于處處不可導的信號（函數(shù)）該理論不成立。結(jié) 論 在世界是由基元組成這一哲學思想下，產(chǎn)生了一系列的十分有效的技術(shù)，可見哲學對研究的意義。 相反，如果沒有一種哲學思想，我們的研究如何歸納總結(jié)出一種一般的規(guī)律？總結(jié)出的規(guī)律正

9、確與否？ 馬恩格思。數(shù)學分析八講兩個重要的現(xiàn)象研究對象 歐幾里得幾何學的研究對象是具有特征長度的幾何物體： 一維空間：線段，有長度，沒有寬度； 二維空間：平行四邊形，有周長、面積； 三維空間：球，表面積、體積； 自然界中很多的物體具有特征長度，諸如：人有高度、山有海拔高度等。研究對象 有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？英國的海岸線地圖研究對象（續(xù)） 當你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。 如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細小之處同樣也

10、是無數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。 如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。 研究對象（續(xù)） 得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的長短。 海岸線的長度是無限的！ 而顯然海岸線的面積為零； 而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。 海岸線什么有界？（長度、面積、體積顯然無界）。Koch 曲線Koch 曲線（續(xù)） Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學界成為一個魔鬼。 同樣的道理：長度無限、面積為零、而曲線還有“界”。 另外，有一個特點：當取其中的一部分展開，與整體有完全的自相似性，似乎是一個什么東西的無數(shù)次的自我復制。自然界

11、中的其他事物 取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性。 England的海岸線從視覺上也感覺有某種自相似性分形幾何學的產(chǎn)生分形幾何學的產(chǎn)生混沌的思想混沌 -由一定的非線性作用導致，在確定性系統(tǒng) 中出現(xiàn)極其複雜、貌似無規(guī)的運動?；煦绲漠a(chǎn)生 下面是著名的洛倫茲吸引子。洛倫茲(E.N.Lorenz)是當代世界知名的動力氣象學家、混沌理論的少有幾位創(chuàng)立者之一。他在1963年發(fā)表的關(guān)于混沌理論的開創(chuàng)性研究在被冷落了12年之久以后才得到廣泛承認，并很快引發(fā)對混沌研究的熱潮，由此誕生和發(fā)展起了一門新興學科混沌理論，成為現(xiàn)代新興學科的代表。洛倫茲吸引子方程如下： Lorenz動力方程式 dx / dt =

12、 -(x y) dy / dt = -xz + x y dz / dt = xy bz x, y, z : 速度、溫度、溫度梯度 ,b : 確定的控制參數(shù) 運動軌跡 確定性 繞A、B兩點 進入混沌進入混沌一維邏輯斯蒂映射一維邏輯斯蒂映射 映射(mapping)也叫迭代(iteration) xn+1=2xn，若x1=3 ,則x2=6，x3=12。 從控制系統(tǒng)的角度看，這也叫反饋(feedback)，把輸出當作輸入，不斷滾動。很容易想到，反饋的結(jié)果有若干種： 發(fā)散的、收斂的、周期的等等。 但是我們要問一下，一共有多少種可能的運動類型?是否存在既不收斂也不發(fā)散，也不周期循環(huán)的迭代過程?這就是有界非

13、周期運動，它與混沌有關(guān)這就是有界非周期運動，它與混沌有關(guān))1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數(shù)量時刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點kkyNrrx) 1( 1rb

14、記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平衡點brrx111*(1)的平衡點的平衡點 x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點1

15、)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點補充知識補充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點及穩(wěn)定性的平衡點及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點平衡點bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點為點為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果b