導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用單調(diào)性極值最值

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值） 藍(lán)園高級中學(xué) 數(shù)學(xué)組 陳秋彬考綱要求1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；理解極大值、極小值的概念；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值。3. 會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)在定區(qū)間上的最大值、最小值。命題規(guī)律從進(jìn)幾年的高考試題來看，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值是導(dǎo)數(shù)的基本問題，每年必考，分值較大，需要考生重點練習(xí)、熟練應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用占據(jù)著非常重要的地位，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等；還包括將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容

2、和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、函數(shù)、解析幾何等知識有機(jī)地結(jié)合在一起，設(shè)計綜合試題。隨著導(dǎo)數(shù)作為考試內(nèi)容的考查力度逐年增大，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的必不可少的工具。導(dǎo)數(shù)一般考法比較簡單，就是討論單調(diào)區(qū)間求最值。但也有的省市考得較難，與不等式結(jié)合，放在最后一題的位置，往往需要我們理解其幾何意義，才能找到方向?？键c解讀考點1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 1. 在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞間.2. 判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟： 因為 ，所以 . 當(dāng)，即 時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即 時，函數(shù)單調(diào)遞減. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)

3、減區(qū)間為 .3. 一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些.考點2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1. (1)如果函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小,那么點叫做的極小值點，叫做函數(shù)的極小值；(2)如果函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大，那么點叫做的極大值點，叫做函數(shù)的極大值.(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.2. (1)求函數(shù)的極值的方法(充分條件)： 解方程.當(dāng)時： 如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值； 如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小

4、值. (2)必要條件:函數(shù)在一點取得極值的必要條件是函數(shù)在這一點的導(dǎo)數(shù)值0?？键c3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)1.一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值. 2.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟： 求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù)的各極值與斷點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.考點突破考點1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)典例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1).；(2).；解題思路 在對函數(shù)求導(dǎo)以前，先求出函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于零和小于零解出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間。解題過程 (1).函數(shù)的定義域為R，令，得或函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0）和

5、；令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0，1）(2).函數(shù)定義域為令，得函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）(3).函數(shù)定義域為令，得或函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和易錯點撥 為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號，以避免不該出現(xiàn)的失誤學(xué)生易犯的錯誤是將兩個以上各自獨立單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例(1) 中，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯誤結(jié)果這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用變式1 函數(shù)的單調(diào)

6、遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 。點撥 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)解出即可，注意答案的填寫。答案 和；和變式2 函數(shù)在區(qū)間上是（ ） A增函數(shù)，且 B減函數(shù)，且 C增函數(shù)，且 D減函數(shù)，且點撥 關(guān)鍵理解符合函數(shù)的單調(diào)性和對定義域的考慮，注意對數(shù)的性質(zhì)。答案 C考點2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)典例 已知函數(shù),其中 ，當(dāng)滿足什么條件時,取得極值?解題思路 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令轉(zhuǎn)變?yōu)楹瑓?shù)的一元二次方程問題，通過討論方程是否有跟，層層深入解決問題。解題過程 由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即,此時方程的根為,所以 當(dāng)時,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大

7、值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值. 綜上,當(dāng)滿足時, 取得極值. 易錯點撥 對含參數(shù)方程或不等式的討論容易出錯，可借助函數(shù)圖象。變式1 已知函數(shù)在點處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù) 的圖象經(jīng)過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.點撥 理解極值的意義和本質(zhì)，借助導(dǎo)函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的性質(zhì)。答案 變式2 （2012陜西理7）設(shè)函數(shù)，則（ ）（A） 為的極大值點 （B）為的極小值點（C） 為的極大值點 （D）為的極小值點 點撥求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，進(jìn)而判斷極大值和極小值。 答案 D考點3 函數(shù)的最大、最小值與導(dǎo)數(shù)典例1已知在時有極大值6，在時有極小值，求的值；并求在區(qū)間3，3上的最大值和最小值.解題思路 先通過極值的意義求出的值，然后對函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.解題過程，令得或.當(dāng)或時, 在和上為增函數(shù),在上為減函數(shù), 在處有極大值, 在處有極小值.極大值為, 而, 在上的最大值為7.若對于任意都有成立, 得的范圍 .易錯點撥 區(qū)別極值和最值，容易混淆，計算易出錯。變式 已知函數(shù)在與x=1時都取得極值。（1）求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2