定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

1、§6.7 定積分的應(yīng)用-1 教學(xué)目的：熟練運(yùn)用定積分知識(shí)，在已知經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)條件下計(jì)算其相應(yīng)原函數(shù)或函數(shù)值重點(diǎn)：1.弄清常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的實(shí)際問題的意義，正確列出相關(guān)定積分表達(dá)式2.利用積分概念與性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算難點(diǎn)：收益流的現(xiàn)值和將來值教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)過程：五、由邊際函數(shù)求原函數(shù) 經(jīng)濟(jì)函數(shù) .例1 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為,固定成本,求生產(chǎn)個(gè)產(chǎn)品的總成本函數(shù)解:提問：平均成本如何求？練習(xí)1： 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為,當(dāng)產(chǎn)量由200增加到300時(shí),需增加成本多少？ 解: 需增加成本為例2 已知邊際收益為,設(shè),求收益函數(shù)解:練習(xí)2： 某工廠生產(chǎn)某商品在時(shí)刻的總產(chǎn)量變化率為(單位/

2、小時(shí))求由到這兩小時(shí)的總產(chǎn)量解: 兩小時(shí)的總產(chǎn)量為練習(xí)3：某工廠生產(chǎn)某商品在時(shí)刻的總產(chǎn)量變化率為(單位/小時(shí))求由到這兩小時(shí)的總產(chǎn)量解: 兩小時(shí)的總產(chǎn)量為（單位）練習(xí)4.已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率是時(shí)間(單位:年)的函數(shù) ,求第一個(gè)五年和第二個(gè)五年的總產(chǎn)量各為多少?解, .例3. 已知某產(chǎn)品生產(chǎn)個(gè)單位時(shí),總收益的變化率(邊際收益)為,(1)求生產(chǎn)了50個(gè)單位時(shí)的總收益;(2)如果已經(jīng)生產(chǎn)了100個(gè)單位,求再生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收益.解, .例4 設(shè)某種商品每天生產(chǎn)單位時(shí)固定成本為20元,邊際成本函數(shù)為(元/單位),求總成本函數(shù).若該商品規(guī)定的銷售單價(jià)為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤(rùn)函數(shù)，

3、并問每天生產(chǎn)多少單位時(shí)才能獲得最大利潤(rùn).解：總成本函數(shù).總利潤(rùn)函數(shù)由，又所以每天生產(chǎn) 單位時(shí)，總利潤(rùn)最大，且（元）.例（2013.10）設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為60000元，可變成本為20元/件，價(jià)格函數(shù)為,（是單價(jià)，單位：元，是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷量平衡，求：（1）該商品的邊際利潤(rùn)；（2）當(dāng)時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；（3）使得利潤(rùn)最大的定價(jià).解 由可知，由，（1） 邊際利潤(rùn)；（2） 令，經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格為時(shí)，價(jià)格每增長(zhǎng)1元時(shí)收益減少20000.（3） 令，得，又，故時(shí)利潤(rùn)最大.練習(xí)5：某產(chǎn)品的總成本(萬元)的變化率(邊際成本),總收益(萬元)的變化率(邊際收益)為生產(chǎn)量(百臺(tái)

4、)的函數(shù) ,(1)求生產(chǎn)量等于多少時(shí),總利潤(rùn)為最大.(2)從利潤(rùn)最大的生產(chǎn)量又生產(chǎn)了100臺(tái),總利潤(rùn)減少了多少解(1),由,得,，所以時(shí),總利潤(rùn)最大.(2),所以減少了5000元.練習(xí)6：(92.4.) 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為10,而當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本函數(shù)為,邊際收入函數(shù)為,試求(1)總利潤(rùn)函數(shù);(2)使總利潤(rùn)最大的產(chǎn)量.解 (1)總成本函數(shù)為: 總收入函數(shù)為:總利潤(rùn)函數(shù)為 令 即又 ,所以為極大值點(diǎn),也是獲得最大利潤(rùn)點(diǎn)故 時(shí)總利潤(rùn)最大.例5 在某地區(qū)當(dāng)消費(fèi)者個(gè)人收入為時(shí),消費(fèi)支出的變化率,當(dāng)個(gè)人收入由900增加到1600時(shí),消費(fèi)支出增加多少？ 解:消費(fèi)支出增加 練習(xí)7：已知生產(chǎn)某產(chǎn)品單位

5、時(shí)的邊際收入為( 元/單位)，求生產(chǎn)40單位時(shí)的總收入及平均收入，并求再增加生產(chǎn)10個(gè)單位時(shí)所增加的總收入解:因?yàn)?，所以生產(chǎn)40單位時(shí)的總收入為（元）生產(chǎn)40單位時(shí)的平均收入為（元）為在生產(chǎn)40單位后再增加生產(chǎn)10個(gè)單位時(shí)所增加的總收入（元）（生產(chǎn)50個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)總收益最大）練習(xí)8:已知生產(chǎn)某商品單位時(shí)，邊際收益函數(shù)為（元/單位），試求生產(chǎn)單位時(shí)總收益以及平均單位收益，并求生產(chǎn)這種產(chǎn)品2000單位時(shí)的總收益和平均單位收益.解：總收益 .平均單位收益；當(dāng)生產(chǎn)2000單位時(shí)，總收益 （元）；平均單位收益 （元）.例6 假設(shè)某產(chǎn)品的邊際收入為( 萬元/萬臺(tái))，邊際成本為(萬元/萬臺(tái))，其中產(chǎn)量以萬

6、臺(tái)為單位，（1）求產(chǎn)量由4萬臺(tái)增加到5萬臺(tái)時(shí)利潤(rùn)的變化量；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少利潤(rùn)最大？（3）已知固定成本為1萬元，求總成本函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)解：（1）邊際利潤(rùn)為（萬元）（）由得唯一駐點(diǎn)（萬元），即當(dāng)產(chǎn)量為萬元時(shí)利潤(rùn)最大（）由已知 三、收益流的現(xiàn)值和將來值 1.由第二章第五節(jié) 連續(xù)復(fù)利(時(shí)時(shí)刻刻在計(jì)息 )知識(shí)知道若以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息，將一筆元的人民幣從現(xiàn)在起存銀行，t年后的價(jià)值（將來值）為若t年后得到元的人民幣，則現(xiàn)在需要存入銀行的金額（現(xiàn)值）為 2.收益流(1)收益流隨時(shí)間連續(xù)變化的收益(2)收益流量收益流對(duì)時(shí)間的變化率(3) 兩者的關(guān)系 若收益以元為單位,時(shí)間以年為單位,收益流量單位為:元/年.

7、若為常數(shù),則稱該收益流具有常數(shù)流量(收益率).3.現(xiàn)值和將來值(1)將來值將收益流存入銀行并加上利息之后的存款值(2)現(xiàn)值收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項(xiàng),若把它存入可獲息的銀行,將來從收益流中獲得的總收益,與包括利息在內(nèi)的銀行存款值,有相同的價(jià)值.總收益減去利息的所得.4.計(jì)算公式若不考慮利息,則從時(shí)刻開始,以為收益率的收益流到時(shí)刻的總收益為 .若考慮利息,為簡(jiǎn)單起見,假設(shè)以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息,對(duì)于一筆收益率為(元/年)的收益流,計(jì)算現(xiàn)值和將來值假設(shè)連續(xù)復(fù)利率為,收益流的收益流量為(元/年),時(shí)間段為從到年,那么(1) 收益流的總現(xiàn)值為: 證明：取中的任一小區(qū)間,在期間的收益近似為,此收益可以近似看作

8、單筆在t點(diǎn)的收益，其現(xiàn)值近似為,所以收益流的總現(xiàn)值為: (2)收益流的將來值為: 證明：取中的任一小區(qū)間,在期間的收益為,其將來值近似為,所以收益流的總將來值為:例7 假設(shè)以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息, (1)求收益流量為100元/年的收益在20年期間的現(xiàn)值和將來值；(2)將來值和現(xiàn)值的關(guān)系如何?解釋這一關(guān)系解：(1)收益在20年期間的現(xiàn)值 (元),將來值 (元);(2). 說明:將單獨(dú)的一筆款項(xiàng)存入銀行,并以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息,那么這筆款項(xiàng)20年后的將來值為,這個(gè)將來值正好等于收益流在20年期間的將來值.結(jié)論 將來值和現(xiàn)值的關(guān)系 將來值現(xiàn)值.例8 設(shè)有一項(xiàng)計(jì)劃現(xiàn)在()需要投入1000萬元,在10年中每年收益為200萬元.若連續(xù)復(fù)利率為,求收益資本價(jià)值.(設(shè)購(gòu)置的設(shè)備10年后完全失去價(jià)值).解：由于資本的價(jià)值收益流的現(xiàn)值投入資金的現(xiàn)值,那么 （200萬元為每年的收益流量）(萬元).例9某企業(yè)一項(xiàng)為期10年的投資需購(gòu)置成本80萬元,每年的收益流量為