小波變換 雙尺差分方程的求解

1、小波變換實驗三雙尺度差分方程的驗證(1)、使用數(shù)值方法求解雙尺度差分方程1、 實驗目的對于雙尺度差分方程：驗證：迭代后得到的 與 的選取無關,與 和迭代次數(shù)的選取有關。通過本實驗，可以進一步了解雙尺度差分方程來構造一個多分辨率分析以得到相應的正交小波基的迭代原理和實現(xiàn)；可以在驗證的過程當中，充分了解通過雙尺度差分方程系數(shù)來構造尺度函數(shù)以及小波函數(shù)的原理和方法。2、 實驗原理、實驗編程思路1、 迭代理論推導。根據(jù)書本的理論知識，可以知道若事先已知 的解存在，且supp，則可通過解線性方程組，用求得的無限小離散區(qū)間上的值去逼近 。由于在區(qū)間0，N之外， 的值為0，令t=1，2，N-1，得到線性方程

2、組 （1），其中：又由于 可解得。再由雙尺度差分方程 ，求得的值。重復上述過程，可求的的值。當時，可用離散值逼近連續(xù)的 。2、 簡化計算過程和存儲變量復雜度的編程原理和思路：同樣在1的支撐區(qū)間內，cn僅對有限個n不為零，并設0<=n<=N時，cn!=0。滿足上述條件下，方程的解具有緊支集。由1中的方程（1）可知，在歸一化條件下，（1）式有唯一解。在編寫迭代函數(shù)iter.m的時候，應該已知的變量有：支撐區(qū)間長度N，雙尺度差分方程系數(shù)C，迭代次數(shù)m，初始條件 ，所求尺度函數(shù)自變量t。在解得上述方程之后，為了求得雙尺度差分方程在任意點的值，不防定義向量 （2）顯然可以有： （3） （4）

3、 （5）定義，則有： （6）再定義NXN的矩陣T0，T1，W0，W1，W2，W3分別為： （7） （8） （9）由雙尺度差分方程，可以得到：對任意，t可有四進制展開式： ，其中dj=0，1，2，3。定義平移算子： 。由差分方程可得到： （10）若t在四進制下有t=0.d1 d2 d3dm，則對（10）式反復遞推可以得到： (11)根據(jù)以上推導過程，在求解雙尺度差分方程時，可以采用如下的快速算法：（1） 、根據(jù)（9）式構造Wk，k=0，1，2，3；（2） 、對任意的，存在某個整數(shù)k，使；（3） 、令t=S-k，有，對于t進行四進制展開，并選取適當?shù)膍(迭代次數(shù)，越大精度越高)，使得 接近t；（4

4、） 、計算（5） 、以的第k+1個分量作為的估計。上算法具有兩大優(yōu)點：首先可得到任意分點上的任意精度的的近似值；其次在編程過程中，數(shù)組大小固定在N×N 階， 避免了以前那種結點數(shù)目按指數(shù)型增長情形,，從而大大節(jié)省了運算過程當中占用的存儲空間，節(jié)省了運算時間。3、 實驗程序和結果程序中的iter.m就是對于尺度函數(shù)的數(shù)值解法的求解函數(shù)。試驗中取 ，支撐長度n=4，迭代次數(shù)m=6就可以實現(xiàn)對于0，3之間的任意t值對應的 值的求解，主測試程序如下：C=(1+sqrt(3)/4,(3+sqrt(3)/4,(3-sqrt(3)/4,(1-sqrt(3)/4;fai=iter(4,C,6,0,1

5、.23);得到的輸出結果為：fai = 0.3963。對0,3之間的所有 近似求解可以得到如下的尺度函數(shù)圖：（2）、使用時域方法求解雙尺度差分方程一、實驗目的對于雙尺度差分方程：驗證：迭代后得到的 與 的選取無關,與 和迭代次數(shù)的選取有關。通過本實驗，可以進一步了解雙尺度差分方程來構造一個多分辨率分析以得到相應的正交小波基的迭代原理和實現(xiàn)；可以在驗證的過程當中，充分了解通過雙尺度差分方程系數(shù)來構造尺度函數(shù)以及小波函數(shù)的原理和方法。二、實驗原理、實驗編程思路任取具有緊支集的非零函數(shù) ，定義算子T如下：則：當m->無窮大時，若收斂到，則有：上式是以hn為系數(shù)的雙尺度差分方程，所求的即為該差分

6、方程的解。對于支撐區(qū)間，當hn的支撐長度為N，設，則：所以可以看出雙尺度差分方程在得到尺度函數(shù)的時候，其支撐長度完全由雙尺度差分方程的系數(shù)hn決定，而和初始函數(shù) 的選取無關。編程思想：取初始值 為矩形波（對應一個離散值），則一次迭代后 有4個離散值，構造一個4×N的零矩陣（N為 的值的個數(shù)），其第一行行向量為 對應的離散值乘以h（1）和零組成，第二行向量為第一行右移兩個值乘以h（2）組成，依次類推，構成一個4×N維矩陣，將此矩陣的行向量相加即得 ，完成第一次循環(huán)；重復上述過程，此時矩陣的行向量依次右移個值，完成第二次循環(huán)；依次類推，完成i次循環(huán)，可得到 ，當i足夠大時可得到

7、逼近的尺度函數(shù)，進一步可得到小波母函數(shù)。三、實驗程序和結果試驗中選?。横槍Σ煌碾p尺度差分方程系數(shù)hn，分別選定不同的初始函數(shù)fai0、迭代次數(shù)m，分析比較最后得到的尺度函數(shù)與上述三個參數(shù)之間的關系：（1） 、控制系數(shù)h1和迭代次數(shù)m1不變，分別取fai0=0,1,2,1;fai1=1,1,1,1。很明顯可以看出，得到的尺度函數(shù)完全一樣，故可以得出結論：迭代后得到的 與 的選取無關，而且可以看出得到的波形與（1）中利用數(shù)值解法得到的波形基本一致，也互相驗證了兩種算法的正確性。（2） 、控制初始函數(shù)fai0和迭代次數(shù)m1不變，去系數(shù)h1，h2.可以看出尺度函數(shù)的形狀完全由方程系數(shù)h所決定，而且h1