巧破圓錐曲線小題的幾個實用定理一文中定理的證明

1、 巧破圓錐曲線小題的幾個實用定理一文中定理的證明定理1：若點(diǎn)是“有心圓錐曲線”的弦的中點(diǎn)，其中不平行于對稱軸且不過曲線中心，則.（ 圓的垂徑定理的推廣）證明：在橢圓中，設(shè)則，兩式相減，得到，即所以所以，同理可推導(dǎo)雙曲線。定理2：若為“有心圓錐曲線”的直徑，點(diǎn)為曲線上異于的任一點(diǎn)，則.（圓周角定理的推廣）證明：如圖，取中點(diǎn),則由定理1，可知，同理可推導(dǎo)雙曲線。定理3：設(shè)上一點(diǎn)滿足，其中和是其焦點(diǎn)，則的面積為.證明：由橢圓定義可知，在中由余弦定理得,定理4：設(shè)上一點(diǎn)滿足，其中和是其焦點(diǎn)，則的面積為.證明：過程類比定理3證明.定理5：圓錐曲線（雙曲線需同支）中共線焦半徑分別為通徑為，則.證明：設(shè)是傾

2、斜角為且過橢圓的焦點(diǎn)的直線與橢圓交于()兩點(diǎn)，不妨設(shè)則直線的方程可表示為 或，當(dāng)直線滿足時，顯然，此時，=當(dāng)直線滿足時， 聯(lián)立，消元整理得由根與系數(shù)關(guān)系 將代入整理得同理可推得對于雙曲線，拋物線上述結(jié)論依然成立。定理6：（1）若極點(diǎn)在曲線上，則極線就是曲線在點(diǎn)處的切線；（2）若過極點(diǎn)可作曲線的兩條切線，為切點(diǎn)，則直線就是極線.證明：（1）設(shè)極點(diǎn)為,則極線根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則，方程兩邊對求導(dǎo)，得到，所以，所以，故圓錐曲線在點(diǎn)處的切線方程為，到點(diǎn)在曲線上，所以有，代入切線方程，化簡得切線方程為，極線就是曲線在點(diǎn)處的切線。(2) 設(shè)由(1)得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又切線過點(diǎn),所以,同理得,故過直線的

3、方程為,則直線就是極線.定理7：設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)弦，則過切點(diǎn)的切線的交點(diǎn)軌跡是它的準(zhǔn)線；反過來，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩切線，切點(diǎn)為，則為焦點(diǎn)弦.證明：設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的弦的兩個端點(diǎn)為，（），則點(diǎn)處的切線方程分別為和，設(shè)交點(diǎn)為，則有，這說明切點(diǎn)，都在直線上，因此直線的方程為，又因為直線經(jīng)過焦點(diǎn),代入直線的方程后得到,即兩切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上反之，設(shè)拋物線，點(diǎn)，準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程分別為和，因為經(jīng)過,所以有和，這說明切點(diǎn)，都在直線上，因此直線的方程為，故直線經(jīng)過焦點(diǎn),即為焦點(diǎn)弦.定理8：拋物線的二垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是它的準(zhǔn)線；反過來，由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩切線必互相垂直.證明:自一點(diǎn)向拋物線所引的切線方程為,即,與聯(lián)立,消,得到.令,得到,設(shè)此關(guān)于的方程的兩根，兩切線相互垂直，.即拋物線的二垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是它的準(zhǔn)線反之，設(shè)拋物線，準(zhǔn)線上任一點(diǎn)為,過此點(diǎn)的切線方程為,即,與聯(lián)立,消,