圓的概念及性質(zhì)（1）講義學(xué)生版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)知識點睛知識點睛一、圓的相關(guān)概念1. 圓的定義（1）描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點隨之旋轉(zhuǎn)OAOA所形成的圖形叫做圓，其中固定端點叫做圓心，叫做半徑OOA（2）集合性定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑（3）圓的表示方法：通常用符號表示圓，定義中以為圓心，為半徑的圓記作”“，讀作”O(jiān)OAO圓“O（4）同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；能夠重合的兩個圓叫做等圓注意：注意：同圓或等圓的半徑相等2. 弦和?。?）弦：連結(jié)圓上任

2、意兩點的線段叫做弦（2）直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍2（3）弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距（4）弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧以為端點的圓弧記作，讀作弧AB、AABAB（5）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓（7）優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧（8）弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形3. 圓心角和圓周角（1）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角將整個圓分為等份，每一份的弧對應(yīng)的圓心角，3601我們也稱這樣的弧為的弧圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等1（2

3、）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角二、圓的對稱性1. 旋轉(zhuǎn)對稱性（1）圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重合（2）圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系2. 軸對稱性（1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線是它的對稱軸（2）圓的軸對稱性垂徑定理三、圓的性質(zhì)定理1. 圓周角定理（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半24.124.1 圓的概念及性質(zhì)圓的概念及性質(zhì)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)EODCBA（2）推論：推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等

4、推論 2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑90推論 3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形2. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等FEBACDO（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等所對的兩圓心角相等所對的兩圓心角相等所對的兩條弦相等所對的兩條弦相等所對的兩條弧相等所對的兩條弧相等所對的兩條弦的弦心距相等所對的兩條弦的弦心距相等注意：前提條件是在同圓或等圓中；在由等弦推出

5、等弧時應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等3. 垂徑定理（1）定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）推論 1：平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?）推論 2：圓的兩條平行線所夾的弧相等注意：若“過圓心的直線”、 “垂直于弦”、 “平分弦（非直徑） ”、 “平分弦所對的優(yōu)弧”、 “平分弦所對的劣弧”中的任意兩個成立，則另外三個都成立注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計算時，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：，根據(jù)此公式，在

6、，三個量中知道任何兩個量就可以求出222( )2ardard第三個量精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)ra2dOCBA例題精講例題精講一、圓的相關(guān)概念及性質(zhì)【例 1】 判斷題：（1）直徑是弦( )（2）弦是直徑( )（3）半圓是弧( )（4）弧是半圓( )（5）長度相等的兩條弧是等弧( )（6）等弧的長度相等( )（7）兩個劣弧之和等于半圓( )（8）半徑相等的兩個圓是等圓( )（9）兩個半圓是等弧( )（10）圓的半徑是，則弦長的取值范圍是大于且不大于( )R02R【鞏固】如圖，在兩半徑不同的同心圓中，則（ ）60AOBA OB AAAABA BBAAABA BC的度數(shù)的度數(shù)AABA

7、A BD的長度的長度AABAA BBABAO【例 2】 如圖，點在半圓上，四邊形均為矩形，設(shè)，ADGM、OABOCDEOFHMNO、BCa，則下列格式中正確的是( )EFbNHcA B C DabcabccabbcaONMHGFEDCBA【鞏固】如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為，則該半圓的半徑為216cm_精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【例 3】 如圖，1O，2O，3O，4O為四個等圓的圓心，A，B，C，D 為切點，請你在圖中畫出一條直線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是 ；如圖，1O，2O，3O，4O，5O為五個等圓的圓心，A，B

8、，C，D，E 為切點，請你在圖中畫出一條直線，將這五個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點是 圖 1O4O3O2O1DCBAO5EABCDO1O2O3O4圖 2二、圓的性質(zhì)定理1. 圓周角定理【例 4】 如圖，則弧所對圓周角的度數(shù)是（ ）80AOBABACBA B C D 40455080OCBA【鞏固】如圖，是的外接圓，已知，則的大小為_OABC50ABOACBOCBA【例 5】 如下左圖，四個邊長為 的小正方形拼成一個大正方形，是小正方形頂點，的半徑1ABO、O為 ，是上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則等于_1POAPBPOBA【例 6】 如圖，量角器外沿上有兩點，它們的度

9、數(shù)分別是，則的度數(shù)為_AB、70 40、1精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)O1BA【鞏固】如圖，量角器外緣邊上有三點，它們所表示的讀數(shù)分別是，則APQ，1807030的大小為（ ）PAQABCD10203040【例 7】 如圖，是的外接圓，已知，則的度數(shù)是（ ）OABC60BCAOABCD15304560OCBA【鞏固】如圖，是的直徑，是O 的弦，連接，若，則的度ABOACDACAD，35CABADC數(shù)為 CBDOA【例 8】 如圖所示的半圓中，是直徑，且，則的值是_AD32ADAC，sinBDCAB【鞏固】如圖，是的直徑，設(shè)，則_ABOCDABCOD2sin2ABADODCBA精選

10、優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【例 9】 如圖，為的直徑，是的弦，的延長線交于點，若ABOCDOABCD、E，求的度數(shù)218ABDEE，AOCOEDCBA【鞏固】如圖所示是的直徑，交于，且，求的度數(shù)CDO87EODAEOBABOCAOEDCBA【例 10】如圖，在中，的度數(shù)為，是上一點，是上不同的兩點(不與OAOBmCAACBDE、AAB兩點重合)，則的度數(shù)為_AB、DEOEDCBA【鞏固】如圖，是的直徑，弦交于點，弦交于點，ABOPCOADPEOBF且若，則_OCDCOFEF，CE CPEOPFEDCBA【例 11】如圖所示，在中，則的半徑為（ ）ABC45C4AB O A.2 2B

11、.4C.2 3D.5OCBA【鞏固】如圖，的三個頂點都在上，則的半徑為_ABCO302cmCAB，Ocm精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)OCBA【鞏固】如圖是半圓的直徑，點在弧上，且平分，已知，求ABOCD、ABADCAB106ABAC，的長ADODCBA【例 12】如圖，是的內(nèi)接三角形，點是優(yōu)弧上一點(點不與重合)，ABCOACABCAB，設(shè)，OABC（1）當(dāng)時，求的度數(shù)；35（2）猜想與之間的關(guān)系，并給予證明OCBA【鞏固】如圖，與相交于、兩點，是的直徑，且把分成度數(shù)比為的兩條弧，OPBCBCPO1 2是上的動點(不是、重合)，連結(jié)、分別交于、兩點AABmCBCABACPDE（1

12、）當(dāng)是鈍角三角形時，判斷的形狀A(yù)BCPDE（2）當(dāng)是直角三角形時，判斷的形狀A(yù)BCPDE（3）當(dāng)是銳角三角形時，判斷的形狀這種情況加以證明ABCPDEmOPEDCBA【例 13】圓及相交于點及圓的圓心落在的圓周上，圓的弦交于點1S2SAB1SO2S1SAC2S精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（如圖） ，證明：線段與是互相垂直的DODBCABCDOS1S2【鞏固】兩圓相交于、，是大圓上一點，過、和、分別作直線交小圓于、，過、ABPOAPBPCDO作直徑求證：PPEPECDPGFEDCBA【例 14】如圖，已知是的直徑，點是上一點，連結(jié)，過點作直線ABOCOBCAC、C于點，點是上一點，

13、直線交于點，連結(jié)，與直線交于CDABDEABCEOFBFCD點求證：G2BCBG BFFOGEDCBA【鞏固】如圖，已知：在中，直徑，點是上任意一點，過作弦，點是O4AB EOAECDABF上一點，連接交于，連接ABCAFCEHACCFBDOD、 求證：；ACHAFC 猜想：與的數(shù)量關(guān)系，并說明你的猜想；AH AFAE AB 探究：當(dāng)點位于何處時，？并加以說明E:1:4AECBODSS精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)ABCDEFHO【例 15】如圖，是圓中的三條弦，點在上，且請你說明以下ABACADEADABACAE各式成立的理由：（1）；（2）2CADDBE 22ADABBD DC

14、EDCBA【鞏固】在中，點、分別是的外心、垂心點、分別在邊、ABC60ABCOHABCDEBC上，使得，已知求的面積ABBDBHBEBO1BO BDE圖 12HOFEDCBA2. 圓內(nèi)接四邊形【例 16】如圖，為的直徑，交于點，交于點， ABOAACOAEBCOADCDBD70C現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：； ； AAAEBE； 45AACAB22CE ABBD其中正確結(jié)論的序號是A BC D精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)OEDCBA【鞏固】已知：如圖，面積為的四邊形內(nèi)接于，對角線經(jīng)過圓心，若，2ABCDOAC45BAD則的長等于 2CD ABODCBA【例 17】已知是的直經(jīng)，是弦，若，

15、求由ADOABAC、232ADABAC，四點構(gòu)成的四邊形的周長ABCD，圖 1ODCBA【鞏固】如圖，已知四邊形內(nèi)接于直徑為 3 的圓，對角線是直徑，對角線和的交點ABCDOACACBD，且，求四邊形的周長PABBD0.6PC ABCDOPBCDA【例 18】如圖，四邊形為正方形，過正方形的頂點和對角線的交點，分別交ABCDOAAP于點ABAD，F(xiàn)E，（1）求證：DEAF（2）若的半徑為，求的值OA3221AB AEED精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)EFOPDCBA【例 19】圓內(nèi)接四邊形，交于，于，交于求證：ABCDACBDACBDEEGCDGABFAFBFGEFABCD【鞏固】

16、圓內(nèi)接矩形，過作圓的切線，分別與、的延長線相交于、，求證：CEDFDABCECFAB33BFBCAEACOFEDCBA精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)3. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系【例 20】在同圓中，的度數(shù)小于，且，那么弦和弦的大小關(guān)系為（ ACD180AA2ABCDABCD）A B C D無法確定ABCDABCDABCD【鞏固】如圖所示在中，那么（ ）O2ABCD AAA.2ABCDAAB.2ABCD 與的大小關(guān)系不能確定AAC.2ABCDAD. ABA2CDDCBAO【例 21】已知是的弦，平分交于，弦交于，求證：ABAC、OADBACODDEABACP平分OPAPDO

17、EPDCBA【鞏固】如圖，過的直徑上兩點，分別作弦，若求證： OABMN，CDEF，CDEFACBF，；AABECADFAMBNOFDECMBNA精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【例 22】已知點、順次在上，于點，求證：ABCDOAAABBDBMACMAMDCCMCEABCDOMdABCDOMNcABCDOMNbaNMODCBA【鞏固】在中，是它的外接圓上包含點的弧的中點，上的點使得ABCACBCMCABACX，求證：MXACAXXCCBOXMCBA【例 23】如圖，是的內(nèi)接三角形，為中上一點，延長至點，ABCOACBCDOAABDAE使是關(guān)于的方程的兩根CECD、x22123412

18、904xmxmm1 求證：；若，求證：AEBDACBC2ADBDCDOEDCBA精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【鞏固】如圖，四邊形內(nèi)接于圓，且其對角線交于點，點在線段上，使得ABCDABADEFAC若，求的值BFCBAD 2BADDFC BEDE圖 4FEDCBA【例 24】已知：如圖，是中直角邊上的一點，以為直徑的圓交斜邊于點，DRt ABCBCBDABE連結(jié)交此圓于點，交于點求證：ECFBFACGGF CACF EAOEGDFCBA【鞏固】是半圓的直徑，點在圓上，過點、分別作過點的切線的垂線、，、為ABCABCADBEDE垂足，求證：24DEAD DEECDFOBA精選優(yōu)質(zhì)文檔

19、-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)課后作業(yè)課后作業(yè)1.如圖，是的直徑，點在上，則ABOCD、O110BOCADOC_AODODCBA2.如圖，已知是的圓周角，則圓心角是（ ）ACBOA50ACBAOBABCD405080100OCBA3.如圖，四邊形是的內(nèi)接正方形，點是劣弧上不同于點的任意一點，則ABCDOPACDC的度數(shù)是( )BPC A.45B.60C.75D.90精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)PODCBA4.如圖，為的直徑，過點的弦平行于半徑，若的度數(shù)是，則的度數(shù)CDODDEOAD50C是（ ）ABCD25403050OEDCA5.如圖，已知為O 的直徑，則_AB20E50DBCCBEOEDCBA6.如圖，是的直徑，點，都在上，若，求ABOACDEOACDEABOEDCBA7.如圖，是的直徑，點，都在上，若，求ABOACDEOACDEABOEDCBA8.如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是為A65了監(jiān)控整個展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這