微分中值定理及其應用12114

1、目錄摘要3ABSTACT41.引言52.微分中值定理及其推廣形式介紹62.1微分中值定理及其經(jīng)典證明62.1.1（羅爾定理）若函數(shù)滿足下列條件：62.1.2（拉格朗日中值定理的）72.1.3（柯西中值定理）72.2微分中值定理的推廣形式及其證明92.2.1：推廣192.2.2：推廣292.2.3 推廣392.2.4 推廣492.2.5（導數(shù)極限定理）102.2.6 ( 導函數(shù)的介值性 ):103微分中值定理的應用113.1一元函數(shù)微分中值定理113.1.1 一階函數(shù)與單調(diào)性的關系：113.1.2 可微極值點的必要條件:113.1.3 極值點的充分條件:113.1.4 利用單調(diào)性證明不等式:12

2、3.1.5 凸性的定義及判定：133.1.6 利用二階導數(shù)判斷曲線的凸向:133.1.7 曲線的拐點:143.1.8 函數(shù)的最值:153.2微分中值定理在n個函數(shù)情形下的應用推廣153.2.1：推廣153.2.2我們試著把三個函數(shù)推廣到四個函數(shù)163.2.3我們還可以把這個推論推廣到個函數(shù)的情形：174.結(jié)論18參考文獻19致 謝20摘要微分中值定理是高等數(shù)學微分學的核心內(nèi)容，在給出三個微分中值定理的基礎上，進一步探究每個中值定理的推廣延伸形式。在給出微分中值定理的經(jīng)典證明的基礎上，討論他們之間的聯(lián)系。將其推廣延伸形式的證明依次給出，并討論這些證明中所運用的思想，從而進一步證明運用微分中值定理

3、得出的分段函數(shù)的導函數(shù)的性質(zhì)、討論導數(shù)零點的存在性、研究函數(shù)性態(tài)、證明不等式和求極限。最后給出微分中值定理在多元函數(shù)中的推廣應用。關鍵詞：微分中值定理，推廣，應用，多元函數(shù)AbstactDifferential mean value theorem of higher mathematics is the core content of differential calculus, in the three differential mean value theorem are given on the basis of further study, each extending form t

4、he generalization of the mean value theorem.The differential mean value theorem proof based on the classic, discuss the connection between them.Its extension forms of evidence are presented, and discussed these proved in the use of thought, thereby further demonstrate that the application of the dif

5、ferential mean value theorem that piecewise function, discuss the properties of derivative function zero of derivative existence, of studying function, the proof of inequality and limit.Finally, the differential mean value theorem in multivariate function applicationKey words: differential mean valu

6、e theorem, promotion, application, multiple functions微分中值定理及其應用1.引言 人們對微分中值定理的研究，大約經(jīng)歷了200多年的時間，它從費嗎定理開始，經(jīng)歷了從特殊到一般、從直觀到抽象，從強條件到弱條件的發(fā)展階段。人們正是在這一發(fā)展階段中，逐漸認識到它們額內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)。微分中值定理就是濃縮型的普遍化，而這種普遍化如同美國數(shù)學家克拉默所說在對數(shù)學史上任一時期中人們對數(shù)學做出貢獻進行評價的，那些能把過去統(tǒng)一起來而同時又為未來拓廣開辟了道路的概念，應當算作最為深刻的概念。從廣義上講，微分中值定理就是這樣年過的概念。微分中值定理是微分學的基本定

7、理，在數(shù)學分析中占有重要地位，是研究函數(shù)在某個區(qū)間上的整體性性質(zhì)的強有力的工具。它包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，柯西中值定理是羅爾中值定理的推廣；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例。要更深入的研究中值定理，還必須了解他們的推廣形式以及通過中值定理來解決函數(shù)的一些問題。文獻1講了微分中值定理的表述及其經(jīng)典證明，并拓展出它的推廣形式；文獻2利用微分中值定理得到了分段函數(shù)在分段點可導性的一個判別方法，進而得到分段函數(shù)的兩個性質(zhì)，并給出了分段函數(shù)的導數(shù)性質(zhì)的應用舉例；文獻3表述了三個微分中值定理

8、性質(zhì)之間的聯(lián)系，利用幾何意義進行解題應用、討論函數(shù)零點的存在性及個數(shù)估計、給出了證明函數(shù)恒為常數(shù)的幾種方法；文獻4利用微分中值定理證明了反函數(shù)指數(shù)導數(shù)求導法則，在指數(shù)導數(shù)意義下建立了著名的羅爾定理，拉格朗日中指定理和柯西中值定理；文獻5闡述了微分中值定理的證明是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，在羅爾中值定理的基礎上證明的，受到啟發(fā)，本文給出了構(gòu)造另類輔助函數(shù)，應用羅爾中值定理證明微分中值定理的新方法，并介紹了微分中值定理在解決數(shù)學問題中的應用；文獻6通過弱化微分中值定理的條件，得到一個減弱了的結(jié)果，即中值定理的不等式形式，它在許多方面有一般中值定理的功效，且使用起來還減弱了部分條件；文獻7闡述了羅爾定理逆命

9、題的不成立性、拉格朗日定理結(jié)論中的點非任意性并給出完備性的補充，分析討論了微分中值定理的應用；文獻8結(jié)合實例分析了微分中值定理證明中的原函數(shù)法、積分法、K值法等多種方法；文獻9同文獻8類似討論了副主函數(shù)的一系列方法并增添了利用函數(shù)增量構(gòu)造輔助函數(shù)的方法；文獻10利用了實函數(shù)的微分中值定理證明了向量函數(shù)對微分中值定理的不成立性，并給出了一種簡單的對微分中值定理成立的向量函數(shù)的形式；文獻11重點闡述了微分中值定理的應用，包括解方程的根、證明不等式、證明等式，還給出了函數(shù)在特定條件下問題思路分析；文獻12利用微分中值定理歸納出一些正題的技巧?；谏鲜鑫墨I我們將要探究對于多元函數(shù)而言的微分中值定理。2

10、.微分中值定理及其推廣形式介紹2.1微分中值定理及其經(jīng)典證明2.1.1（羅爾定理）若函數(shù)滿足下列條件： 在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)； 在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導； ;則在（a,b）內(nèi)至少存在一點c，使證明：因為在a,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)若M = m , 則 在a,b上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。(ii)若m M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內(nèi)某點c處取得，從而c是的極值點，由條件(ii) 在點c處可導，故由費馬定理推知=0.2.1.2（拉格朗日中值定理的）若函數(shù)滿足下列條件：在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)；在開區(qū)間（a,

11、b）內(nèi)可導；則至少存在一點c，使；證法一 根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”法可證：設，則，即.造函數(shù)滿足條件，于是滿足羅爾定理的全部條件.而有：，即，故證法二 設因在上連續(xù),在內(nèi)可導，所以在上連續(xù),在內(nèi)可導，且，故由羅爾定理知，至少存在一點，使得所以2.1.3（柯西中值定理）若函數(shù)、滿足下列條件：在閉區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)；在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導；且，有；則在（a,b）內(nèi)定存在一點c，使;證法一 由推論1和推論2 直接可得到柯西中值定理.證法二 (2)1預備定理:設函數(shù)在點處可導,若這導數(shù)則當取右方充分接近于的數(shù)值時,就有.而當取左方接近于的數(shù)值時,就有2達布定理:若函數(shù)在閉區(qū)間上可導,且，為介于及之間的任一實數(shù)，則

12、至少存在一點，使得證明柯西中值定理: 設由于在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導，可知在上連續(xù),在內(nèi)可導，且容易得出. 下證：一定有，使得，因若不然，假定在內(nèi)，則依達布定理,在內(nèi)不能異號，因此或，而由預備定理，在兩種情況下都有這與相矛盾，因此必有，使得，即 （1）如果，則由，推出，這與假設不同時為零相矛盾，因此.（1）式兩端同除以，則得：2.2微分中值定理的推廣形式及其證明2.2.1：推廣1且證：假設，根據(jù)羅爾定理，這與條件在內(nèi)，矛盾，故2.2.2：推廣2若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，其中為常數(shù)，則在內(nèi)存在一點，使證 由于，故 構(gòu)造函數(shù)滿足條件，于是滿足羅爾定理的全部條件，因而.又因推論

13、(1)中內(nèi)的條件,知:.所以 即 2.2.3 推廣3 函數(shù)在區(qū)間I上可導且為I上的常值函數(shù). 證明： 任取兩點 （設），在區(qū)間 上應用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得 推廣4 函數(shù)和在區(qū)間I上可導且2.2.5（導數(shù)極限定理）設函數(shù)在點的某鄰域U（）內(nèi)連續(xù)，在U°（）內(nèi)可導，且極限存在，則在點可導，且證明：分別按左右導數(shù)來證明上式成立（1） 任取，在上滿足拉格朗日中值定理條件，則存在，使得由于，因此當時隨之有，對上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得因為=存在，所以=，從而即注1°由推論3可知：在區(qū)間I上的導函數(shù)在I上的每一點，要么是連續(xù)點，要么是第二類間斷點，不可能出現(xiàn)第

14、一類間斷點。注2°導數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導數(shù)。2.2.6 ( 導函數(shù)的介值性 ):若函數(shù)在閉區(qū)間上可導, 且 ( 證 ) .3微分中值定理的應用3.1一元函數(shù)微分中值定理3.1.1 一階函數(shù)與單調(diào)性的關系：(1) 設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導. 則在內(nèi)(或) 在內(nèi) ( 或 ).證 ) ) 證.(2) 設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導. 則在內(nèi)( 或) > 對 有 ( 或; > 在內(nèi)任子區(qū)間上3.1.2 可微極值點的必要條件: Fermat定理：函數(shù)的駐點和(連續(xù)但)不可導點統(tǒng)稱為可疑點, 可疑點的求法.3.1.3 極值點的充分條件: 對每個可疑點, 用以下充分條件進一步鑒別是否為極值

15、點.(充分條件) 設函數(shù)在點連續(xù), 在鄰域和內(nèi)可導. 則 > 在內(nèi) 在內(nèi)時, 為的一個極小值點; > 在內(nèi) 在內(nèi)時, 為的一個極大值點;> 若在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號, 則不是極值點. (充分條件) 設點為函數(shù)的駐點且存在.則 > 當時, 為的一個極大值點; > 當時, 為的一個極小值點.證法一 當時, 在點的某空心鄰域內(nèi)與異號,證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項.(充分條件 ) 設,而.則 > 為奇數(shù)時, 不是極值點; > 為偶數(shù)時, 是極值點. 且對應極小; 對應極大.3.1.4 利用單調(diào)性證明不等式: 原理1: 若, 則對,

16、有不等式. 證明: 對任意實數(shù)和, 成立不等式 證 取在內(nèi).于是, 由 , 就有 , 即 .不等式原理: 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導,且; 又 則 時, (不等式原理的其他形式.)3.1.5 凸性的定義及判定：（1）凸性的定義：由直觀引入. 強調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 若對, 恒有 , 或. 則稱曲線在區(qū)間上是凹(或凸)的. 若在上式中, 當時, 有嚴格不等號成立, 則稱曲線在區(qū)間上是嚴格凹(或嚴格凸)的. 凹和凸也分別稱為上凸和下凸.(2) 凸性的幾何意義: 倘有切線, 與切線的位置關系; 與弦的位置關系; 曲線的彎曲方向.3.1.6 利用二階導數(shù)判斷

17、曲線的凸向: 設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導數(shù), 則在內(nèi) 在內(nèi)嚴格上凸; 在內(nèi)嚴格下凸.該判別法也俗稱為“雨水法則”.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對 設, 把在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式, 有 .其中和在與之間. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即嚴格上凸. 若有 上式中, 即嚴格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有, 不妨設,并設 ,分別在區(qū)間和上應用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴格下凸?？深愖C的情況.凸區(qū)間的分離: 的正、負值區(qū)間分別對應函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間3.1.7 曲線的拐點:

18、拐點的定義、確定函數(shù)的上凸、下凸區(qū)間和拐點。 解 的定義域為 . 令, 解得 .在區(qū)間內(nèi)的符號依次為，. 拐點為: 倘若注意到本題中的是奇函數(shù), 可使解答更為簡捷.3.1.8 函數(shù)的最值: 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且僅有有限個可疑點. 則=; . 函數(shù)最值的幾個特例:> 單調(diào)函數(shù)的最值:> 如果函數(shù)在區(qū)間上可導且僅有一個駐點, 則當為極大值點時, 亦為最大值點; 當為極小值點時, 亦為最小值點.> 若函數(shù)在內(nèi)可導且僅有一個極大(或小)值點, 則該點亦為最大(或小)值點.> 對具有實際意義的函數(shù), 常用實際判斷原則確定最大(或小)值點.3.2微分中值定理在n個函數(shù)情形下的應用

19、推廣：推廣設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,則在內(nèi)至少存在一點,使得： 證 作輔助函數(shù) 則在上連續(xù),在內(nèi)可導，且，故由羅爾定理知，至少存在一點，使得，即當時，就可得到柯西中值定理；當，又可得到拉格朗日中值定理.故定理4可以看作是中值定理的一般形式.假如我們把羅爾中值定理也作為一般定理的特殊情形，定理4又可以這樣證明另證：因為在上連續(xù)，則在上必有最大最小值.因為，所以最大最小值至少有一個在內(nèi)的某一點處取得，因為在內(nèi)每一點可導，所以在處可導.因為是最大值（最小值也一樣），所以也是極大值.由于在處可導，由極限存在的必要條件知，即3.2.2我們試著把三個函數(shù)推廣到四個函數(shù)則有：設函數(shù)均在上連續(xù),在

20、內(nèi)二階可導,則 ，至少存在一點,使得：證:,設顯然，在上連續(xù),在內(nèi)二階可導，且由羅爾定理知，,使，再由羅爾定理知：，使即3.2.3我們還可以把這個推論推廣到個函數(shù)的情形：設函數(shù)均在上連續(xù),在內(nèi)階可導,則對 ，至少存在一點,使得證：對，設顯然，在上連續(xù),在內(nèi)階可導,且，由羅爾定理知, ,使得,再次運用羅爾定理, ,使得,即:4.結(jié)論本文系統(tǒng)的闡述了三大微分中值定理，在給出經(jīng)典證明的基礎上，總結(jié)其構(gòu)造輔助函數(shù)的思想，將其運用于其他定理證明當中，特別是函數(shù)的性態(tài)證明。本文還給出了微分中值定理的推廣延伸形式，并給出證明，然后加以運用，系統(tǒng)的闡述了微分中值定理之間的聯(lián)系與區(qū)別。另外本文著重講述了微分中值

21、定理的應用，包括函數(shù)多的極值點，零點問題、函數(shù)凸凹點拐點問題、等式與不等式的證明問題，以及微分中值定理在n個函數(shù)背景下的擴展應用。微分中值定理是微分學的核心，是溝通函數(shù)及其導數(shù)之間的橋梁，我們應該加深對微分中值定理的理解，這樣才能更好的應用微分中值定理。參考文獻1 李國成， 利用微分中值定理解題中輔助函數(shù)的構(gòu)造J，江西教育學院學報， 2009. 12， 22-25. 2張國林，張麗穎， 利用微分中值定理證明的方法分析 J，貴州大學學報（自然科學版）， 2010.03， 51-52.3黨艷霞，淺談微中值定理及其應用 J，廊坊師范學院學報， 2010.02， 28-30.4 項明寅，方輝平，微分中值定理的不定是形式及其應用J，新鄉(xiāng)學院學報， 2009.02， 15-17.5 王秀玲，微分中值定理的另類證明與應用J， 安慶師范學院學報， 2010.