例說三角形中線等分面積的應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上例說三角形中線等分面積的應用圖1如圖1，線段AD是ABC的中線，過點A作AEBC，垂足為E，則SABDBDAE，SADCDCAE，因為BDDC，所以SABDSADC。因此，三角形的中線把ABC分成兩個面積相等的三角形.利用這一性質，可以解決許多有關面積的問題。一、求圖形的面積圖2例1、如圖2，長方形ABCD的長為a，寬為b，E、F分別是BC和CD的中點，DE、BF交于點G，求四邊形ABGD的面積.分析：因為E、F分別是BC和CD的中點，則連接CG后，可知GF、GE分別是DGC、BGC的中線，而由S=S=，可得S=S，所以DGF、CFG、CEG、BEG的面積相等，問題得

2、解。解：連接CG，由E、F分別是BC和CD的中點，所以S=S=，從而得S=S，可得DGF、CFG、CEG、BEG的面積相等且等于=，因此S四邊形=ab4=。例2、在如圖3至圖5中，ABC的面積為a （1）如圖2, 延長ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連結DA若ACD的面積為S1，則S1=_（用含a的代數(shù)式表示）；DEABCF圖5（2）如圖3，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連結DE若DEC的面積為S2，則S2=_（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；ABCDE圖4圖3ABCD（3）在圖4的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連結FD，F(xiàn)E，得到DEF（如

3、圖6）若陰影部分的面積為S3，則S3=_（用含a的代數(shù)式表示）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連結所得端點，得到DEF（如圖6），此時，我們稱ABC向外擴展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的_倍應用：去年在面積為10m2的ABC空地上栽種了某種花卉今年準備擴大種植規(guī)模，把ABC向外進行兩次擴展，第一次由ABC擴展成DEF，第二次由DEF擴展成MGH（如圖5）求這兩次擴展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少m2？分析：從第1個圖可以發(fā)現(xiàn)AC就是ABD的中線，第2個圖通過連接DA，可得到ECD的中線DA，后面擴展的部分都可以通過這樣的方法得到三角形的中線，從而

4、求出擴展部分的面積，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。解：（1）由CD=BC，可知AC就是ABD的中線，中線AC將ABD的分成兩個三角形ABC、ACD，這兩個三角形等底等高，所以它們的面積相等；所以S1=a；圖6DEABCFHMG（2）若連接DA，則DA就是ECD的中線，中線AD將ECD分成CDA、EDA，它們的面積相等；所以S2=2a；（3）根據(jù)以上分析，可知BFD、CED、EAF面積都為2a；所以S2=6a；發(fā)現(xiàn)：由題意可知擴展一次后的DEF的面積是SDEF= S3+SABC=6a+a=7a；即擴展一次后的DEF的面積是原來ABC面積的7倍。應用：由以上分析可知擴展一次后S總1=7a，擴展二次后S總2=S總1=7

5、2a，擴展三次后S總3=S總2=73a，拓展區(qū)域的面積：（721）10=480（m2）說明：本題是從一個簡單的圖形入手，逐步向復雜的圖形演變，引導我們逐步進行探索，探索出有關復雜圖形的相關結論，這是我們研究數(shù)學問題的一種思想方法：從特殊到一般的思想。所以我們在平時的學習中，要注意領會數(shù)學思想和方法，使自己的思維不斷升華。二、巧分三角形例3、如圖7，已知ABC，請你用兩種不同的方法把它分成面積之比為1:2:3的三個三角形.圖7圖8圖9分析：可以把三角形先兩等份，再把其中一個再兩等份，所以聯(lián)想到作三角形的中線。解：方法1：取BC的中點E，然后在BE上取點D，使BDBE，則AD、AE把ABC分成面積之比為1:2:3的三個三角形（如圖8）.方法2：在BC邊上截取DCBC，連結AD，然后取AB的中點P，連結BP、CP，則PAC、PAB、PBC的面積之比為1:2: 3（如圖9）.想一想：方法2中，這三個三角形的面積之比為什么是1:2:3？二、巧算式子的值圖10例2 在數(shù)學活動中，小明為了求的值（結果用n表示），設計了如圖10所示的幾何圖形.請你利用這個幾何圖形求的值.分析：由數(shù)據(jù)的特征：后面的數(shù)為前面一個數(shù)的，聯(lián)想到將三角形的面積不斷的平分，所以可以構造如圖10的圖形進行求解。解：如圖10，設大三角形的面積為1，然后不斷的按順序作出各個三角形的中線，根據(jù)三角形