組合（5）——排列、組合數(shù)的綜合應(yīng)用（3）

1、北京英才苑網(wǎng)站 ·版權(quán)所有·盜版必究· 組合（5）排列、組合數(shù)的綜合應(yīng)用（3）一、課題：組合（5）排列、組合數(shù)的綜合應(yīng)用（3）二、教學(xué)目標(biāo)：1對(duì)排列組合的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的了解，從而進(jìn)一步掌握；2能運(yùn)用排列組合概念及兩個(gè)原理解決排列組合的綜合題；3提高合理選用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。三、教學(xué)重、難點(diǎn)：排列、組合綜合問(wèn)題。四、教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)、引入：1解決排列組合的綜合性問(wèn)題，一般方法是先選（組合）元素，再排列；2按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，始終是處理組合應(yīng)用題的基本方法和原理。（二）新課講解：例1 某考生打算從所重點(diǎn)大學(xué)中選所填在第一檔

2、次的個(gè)志愿欄內(nèi)，其中校定為第一志愿；再?gòu)乃话愦髮W(xué)中選所填在第二檔次的三個(gè)志愿欄內(nèi)，其中、兩校必選，且在前。問(wèn)：此考生共有多少種不同的填表方法？解：先填第一檔次的三個(gè)志愿欄：因校定為第一檔次的第一志愿，故第一檔次的二、三志愿有種填法；再填第二檔次的三個(gè)志愿欄：、兩校有種填法，剩余的一個(gè)志愿欄有種填法。由分步計(jì)數(shù)原理知，此考生不同的填表方法共有（種）。例2 如圖是由12個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格，一質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)到點(diǎn)的不同路徑之中，最短路徑有 條。解：總攬全局：把質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)A到點(diǎn)的最短路徑分為七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的區(qū)別在于哪三步向上，因此，本題的結(jié)論是：例3 圓周上有個(gè)不

3、同的點(diǎn)，過(guò)其中任意兩點(diǎn)作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是多少？解：要使交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，則只需所有的交點(diǎn)都不重合。顯然，并不是每?jī)蓷l弦都在圓內(nèi)有交點(diǎn)，但如果兩條弦相交，則交點(diǎn)就是以這兩條弦的四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，也就是說(shuō)，弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)與以圓上四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一一對(duì)應(yīng)的。因此只需求以圓上四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的個(gè)數(shù)，即個(gè)。 回顧：本題構(gòu)造了四邊形以求得滿足條件的交點(diǎn)，類似的，前面講過(guò)一個(gè)問(wèn)題：以一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)連成的異面直線共有 對(duì)。解：以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有58個(gè)，每個(gè)四面體的四條棱可以組成3對(duì)異面直線，因此以一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)連成的異面直線共有3×

4、58174對(duì)。另解：對(duì)。例4 有只不同的試驗(yàn)產(chǎn)品，其中有只次品，只正品，現(xiàn)每次取一只測(cè)試，直到只次品全測(cè)出為止，求最后一只次品正好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？解：本題的實(shí)質(zhì)是，前五次測(cè)試中有只正品，只次品，且第五次測(cè)試的是次品。思路一：設(shè)想有五個(gè)位置，先從只正品中任選只，放在前四個(gè)位置的任一個(gè)上，有種方法；再把只次品在剩下的四個(gè)位置上任意排列，有種排法。故不同的情形共有種。思路二：設(shè)想有五個(gè)位置，先從只次品中任選只，放在第五個(gè)位置上，有種方法；再?gòu)闹徽分腥芜x只，和剩下的只次品一起在前四個(gè)位置上任意排列，有種方法。故不同的情形共有種。例5 在一次象棋比賽中，進(jìn)行單循環(huán)比賽。其中有人

5、，他們各賽了場(chǎng)后，因故退出了比賽，這樣，這次比賽共進(jìn)行了場(chǎng)，問(wèn)：比賽開始時(shí)參賽者有多少人？解：需要考慮兩種情況：第一種，因故退出比賽的兩人之間沒(méi)有進(jìn)行比賽，則，此方程無(wú)正整數(shù)解；第二種，因故退出比賽的兩人之間進(jìn)行了比賽，則，解得，所以，比賽開始時(shí)參賽者有人。五、課堂小結(jié)1解決有關(guān)計(jì)數(shù)的應(yīng)用題時(shí)，要仔細(xì)分析事件的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，弄清問(wèn)題究竟是排列問(wèn) 題還是組合問(wèn)題，還是應(yīng)直接利用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理解決。一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn) 題往往是分類與分步交織在一起，要準(zhǔn)確分清，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是遺漏和重復(fù)計(jì)數(shù)；2解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的常用策略有：（1）特殊元素優(yōu)先安排；（2）排列組合混合題要先選（組35647612

6、2128AB6 合）后排；（3）相鄰問(wèn)題捆綁處理（先整體后局部）；（4）不相鄰問(wèn)題插空處理；（5）順 序一定問(wèn)題除法處理；（6）正難則反，合理轉(zhuǎn)化。六、作業(yè)： （一）選擇題1 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)傳遞信息，信息可以分開沿不同路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為 （ D ）2學(xué)校召開學(xué)生代表大會(huì)，高二年級(jí)的3個(gè)班共選6名代表，每班至少1名，代表的名額 分配方案種數(shù)是 （D）33名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士， 不同的分配方法共有 （

7、D）（二）填空題：（列式并算出結(jié)果）4公共汽車上有位乘客，汽車沿途停靠個(gè)站，那么這位乘客不同的下車方式共有種；如果其中任何兩人都不在同一站下車，那么這位乘客不同的下車方式共有種。5名男生和名女生排成一行，按下列要求各有多少種排法： （1）男生必須排在一起； （2）女生互不相鄰 ； （3）男女生相間； （4）女生按指定順序排列6有排成一行的個(gè)空位置，位女生去坐，要求任何兩個(gè)女生之間都要有空位，共有種不同的坐法。7賽艇運(yùn)動(dòng)員10人，3人會(huì)劃右舷，2人會(huì)劃左舷，其余5人兩舷都能劃，現(xiàn)要從中挑選6人上艇，平均分配在兩舷上劃槳，共有種選法。8位同學(xué)進(jìn)行網(wǎng)頁(yè)設(shè)計(jì)比賽，決出了第1至第5名的名次。、兩位同學(xué)去詢問(wèn)名次，主考官對(duì)說(shuō)：“很遺憾，你和都未拿到冠軍”；對(duì)說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的。”從這個(gè)回答分析，位同學(xué)的名次排列共可能有種不同的情況。9學(xué)校餐廳供應(yīng)客飯，每位學(xué)生可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種，現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位學(xué)生有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準(zhǔn)備