平面幾何五大定理及其證明

1、平面幾何 定理及其證明一、 梅涅勞斯定理1梅涅勞斯定理及其證明G定理：一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，則有 證明：如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G因?yàn)镃G / AB，所以 （1）因?yàn)镃G / AB，所以 （2）由（1）÷（2）可得，即得2梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D、E，在邊AC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，若，那么，D、E、F三點(diǎn)共線證明：設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有因?yàn)?，所以有由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合即得D、E、F三點(diǎn)共線二、 塞瓦定

2、理 3塞瓦定理及其證明定理：在ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)與ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是ABC的頂點(diǎn)，則有 證明：運(yùn)用面積比可得根據(jù)等比定理有，所以同理可得，三式相乘得4塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，若，那么直線CD、AE、BF三線共點(diǎn)證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P，直線CP交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)塞瓦定理有 因?yàn)?，所以有由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合即得D、E、F三點(diǎn)共線三、 西姆松定理5西姆松定理及其證明定理：從ABC外接

3、圓上任意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點(diǎn)D/，連接PD/因?yàn)镻EAE，PFAF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得FAE =FEP因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以BAC =BCP，即FAE =BCP所以，F(xiàn)EP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC由于過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D與D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線EM四、 托勒密定理 6托勒密定理及其證明定理：凸

4、四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有 AB·CD + BC·AD = AC·BD證明：設(shè)點(diǎn)M是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得DAE =BAM因?yàn)锳DB =ACB，即ADE =ACB，所以ADEACB，即得，即 （1）由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABEACD即得 ，即 （2）由（1）+（2）得 所以AB·CD + BC·AD = AC·BD7托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形ABCD滿足AB×CD + BC×

5、AD = AC×BD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓證法1（同一法）：在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，則可得AB×CD = BE×AC （1）且 （2）則由及（2）可得于是有 AD×BC = DE×AC （3）由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )據(jù)條件可得 BD = BE + DE，則點(diǎn)E在線段BD上則由，得，這說明A、B、C、D四點(diǎn)共圓8托勒密定理的推廣及其證明 定理：如果凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有 AB×CD + BC×A

6、D > AC×BD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，則可得AB×CD = BE×AC （1）且 （2）則由及（2）可得于是 AD×BC = DE×AC （3）由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知AB×CD + BC×ADAC×BD所以BE + DEBD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE + DE > BD所以AB×CD + BC×AD > AC×BD五、 歐拉定理9歐拉定理及其證明定理：設(shè)ABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示則有G、O、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足證明（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點(diǎn)G/；連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC，如圖 因?yàn)?CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理CH / DA所以，AHCD為平行四邊形可得AH = C