平面向量單元測(cè)驗(yàn)3

1、第9章 平面向量2011年單元測(cè)驗(yàn)3一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿(mǎn)分36分）1在矩形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若，則=（）ABCD2化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）AB2CD3對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式：；=；+=4|2其中正確的個(gè)數(shù)為（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)4在 ABCD中，設(shè)=，則下列等式中不正確的是（）ABCD5已知向量與反向，下列等式中成立的是（）A=|B|=|C|+|=|D|+|=|6已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5

2、）7下列各組向量中：，其中能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（）ABCD8與向量=（12，5）平行的單位向量為（）ABC或D或9若|=，|=4，|=5，則與的數(shù)量積為（）A10B10C10D1010若將向量圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則的坐標(biāo)為（）ABCD11設(shè)kR，下列向量中，與向量=（1，1）一定不平行的向量是（）ABCD12【待處理】已知|a|=10，|b|=12，且（3a）（b）=36，則a與b的夾角是（）A60°B120°C135°D150°二、填空題（共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分）13已知向量滿(mǎn)足，則的夾角為_(kāi)14在四邊形ABC

3、D中，若，且|=|，則四邊形ABCD的形狀是_15已知，若與平行，則=_16已知為單位向量，|=4，與的夾角為，則在方向上的投影為_(kāi)三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分0分）17已知非零向量滿(mǎn)足，求證：18在A(yíng)BC中，=（2，3），=（1，k），且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值19設(shè)是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值20已知，與夾角為600，則當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值是？（1）（2）21如圖，ABCD為正方形，P是對(duì)角線(xiàn)DB上一點(diǎn)，PECF為矩形，求證：PA=EF；PAEF22如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)，求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2第9章 平面向

4、量2011年單元測(cè)驗(yàn)3參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿(mǎn)分36分）1在矩形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若，則=（）ABCD考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義。分析：在矩形ABCD中，=，=，=，由向量加法公式可得答案解答：解：矩形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，= （+）= （+）=（3+5），故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查相等的向量，以及向兩加法的平行四邊形法則的應(yīng)用2化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）AB2CD考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義。專(zhuān)題：計(jì)算題；向量法。分析：利用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，可以利用類(lèi)似數(shù)的合并同類(lèi)項(xiàng)的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算解答：解：原式等于=故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查

5、向量數(shù)乘的運(yùn)算，考查向量數(shù)乘的運(yùn)算律，關(guān)鍵要將向量的數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行“合并同類(lèi)項(xiàng)“體現(xiàn)了類(lèi)比思想3對(duì)于菱形ABCD，給出下列各式：；=；+=4|2其中正確的個(gè)數(shù)為（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)：相等向量與相反向量。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：由菱形圖象可知這兩個(gè)向量不相等錯(cuò)誤，與兩個(gè)向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長(zhǎng)相等，得到正確，把第三個(gè)結(jié)果中的向量減法變?yōu)榧臃?，等式兩邊都是二倍邊長(zhǎng)的模，正確，有菱形的定義知正確解答：解：由菱形圖象可知錯(cuò)誤，這兩個(gè)向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長(zhǎng)相等，得到正確，把第三個(gè)結(jié)果中的向量減法變?yōu)榧臃?，等式兩邊都是二倍邊長(zhǎng)的模，正確，有菱形的定義知正

6、確故選C點(diǎn)評(píng)：大小和方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征和幾何特征，借助于向量可以實(shí)現(xiàn)某些代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化4在 ABCD中，設(shè)=，則下列等式中不正確的是（）ABCD考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾何意義。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：由題意知本題是一個(gè)向量加減的運(yùn)算，根據(jù)平行四邊形法則和三角形法則知，以同一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)的兩條邊和對(duì)角線(xiàn)所成的向量，對(duì)角線(xiàn)所在的向量等于兩條邊所在的向量之和，另一條對(duì)角所在的向量等于兩條對(duì)角線(xiàn)所在的向量之差，注意方向解答：解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，即，得到，故選B點(diǎn)評(píng)：用一組為基底向量來(lái)表示一個(gè)向量，是以后解題過(guò)程中常見(jiàn)到的，向量的加

7、減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的向量加減的問(wèn)題，是一個(gè)基礎(chǔ)題5已知向量與反向，下列等式中成立的是（）A=|B|=|C|+|=|D|+|=|考點(diǎn)：平行向量與共線(xiàn)向量。分析：由于向量方向相反，那么向量和的模的等于向量模的差的絕對(duì)值，向量差的模等于向量模的和，可以找出正確的答案解答：解：由已知：向量與反向，故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查平行向量和共線(xiàn)向量的及相應(yīng)模的運(yùn)算6已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）考點(diǎn)：平面向量共線(xiàn)（平

8、行）的坐標(biāo)表示。專(zhuān)題：計(jì)算題；分類(lèi)討論。分析：利用平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交且被交點(diǎn)平方；通過(guò)對(duì)與哪一個(gè)點(diǎn)是對(duì)頂點(diǎn)分類(lèi)討論；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出解答：解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)為（x，y）當(dāng)?shù)谒膫€(gè)頂點(diǎn)與（1，0）對(duì)頂點(diǎn)則x1=4；y=5解得x=5，y=5當(dāng)?shù)谒膫€(gè)頂點(diǎn)與（3，0）為對(duì)頂點(diǎn)則x+3=0，y=5解得x=3，y=5當(dāng)?shù)谒膫€(gè)頂點(diǎn)與（1，5）為對(duì)頂點(diǎn)則x+1=2；y5=0解得x=1，y=5故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交且平分、考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式7下列各組向量中：，其中能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（）ABCD考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義。分析：根據(jù)平面內(nèi)向量基底的定義直接進(jìn)行判

9、斷判斷兩個(gè)向量是否共線(xiàn)，即可得出結(jié)果解答：解：由，可得1×72×5即不平行故，可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底由可得3×10=5×6即故，不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底由可得即不平行故，可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底答案為B點(diǎn)評(píng)：本題考查向量基底的定義，通過(guò)判斷是否共線(xiàn)判斷結(jié)果屬于基礎(chǔ)題8與向量=（12，5）平行的單位向量為（）ABC或D或考點(diǎn)：用向量證明平行。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：設(shè)出與向量=（12，5）平行的單位向量，求出的模，利用，求出解答：解：設(shè)與向量=（12，5）平行的單位向量，所以=，或故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線(xiàn)，

10、考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題9若|=，|=4，|=5，則與的數(shù)量積為（）A10B10C10D10考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：利用向量模的性質(zhì)：向量模的平方等于向量的平方；將已知條件中的三個(gè)等式平方求出兩個(gè)向量的數(shù)量積解答：解：故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查向量模的性質(zhì)：向量模的平方等于向量的平方，利用此性質(zhì)常解決與向量模有關(guān)的問(wèn)題10若將向量圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則的坐標(biāo)為（）ABCD考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：由已知條件知與模相等，夾角為；利用向量的模的坐標(biāo)公式及向量的數(shù)量積公式列出方程組，求出解答：解：設(shè)，據(jù)題意知x2+y2=5，解組成的方程組得，故

11、選B點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的坐標(biāo)公式、考查利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角11設(shè)kR，下列向量中，與向量=（1，1）一定不平行的向量是（）ABCD考點(diǎn)：平行向量與共線(xiàn)向量。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)條件中所給的向量的坐標(biāo)，代入兩個(gè)向量平行的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證，整理出充要條件是2k22，一定不等于零，一次得到這兩個(gè)向量一定不平行解答：解：=（k2+1）（k2+1）=2k222這兩個(gè)向量一定不平行，故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量平行的充要條件，這個(gè)充要條件有兩種表示形式，坐標(biāo)形式是最直接的一種形式，解題時(shí)只要進(jìn)行數(shù)字的運(yùn)算，是一個(gè)基礎(chǔ)題12【待處理】已知|a|=10，|b|=12，且（3a）（b）=36

12、，則a與b的夾角是（）A60°B120°C135°D150°考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角。分析：根據(jù)向量數(shù)乘和數(shù)量積的變化得到向量的數(shù)量積，把向量的模和數(shù)量積代入夾角公式，得到向量夾角的余弦值，根據(jù)向量夾角的范圍，得到向量的夾角解答：解：由（3）（）=36得=60cos，=又0°180°，=120°故選B點(diǎn)評(píng)：本題是向量數(shù)量積的運(yùn)算，條件中給出兩個(gè)向量的模和兩向量的數(shù)量積，代入數(shù)量積的公式運(yùn)算即可，只是題目所給的向量要應(yīng)用向量的性質(zhì)來(lái)運(yùn)算二、填空題（共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分）13已知向量滿(mǎn)足，則的夾角為考點(diǎn)：平面向

13、量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。分析：把兩向量差的模是7兩邊平方，代入所給的兩個(gè)向量的模得到數(shù)量積，根據(jù)兩向量夾角公式做出夾角的余弦，因?yàn)橄蛄繆A角的范圍限制，求出滿(mǎn)足條件的角解答：解：|=7，=cos=0，故答案為：點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的主要應(yīng)用：求模長(zhǎng)；求夾角；判垂直本題考查求夾角14在四邊形ABCD中，若，且|=|，則四邊形ABCD的形狀是矩形考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：利用平面向量加法的平行四邊形法則，根據(jù)四邊形ABCD中，若，我們易根據(jù)|=|

14、，結(jié)合矩形判定定理，判斷出四邊形ABCD的形狀解答：解：在四邊形ABCD中，若，向量和分別表示平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)，若|=|，則表示兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度相等，根據(jù)矩形的判定定理，我們可得四邊形ABCD是矩形故答案為：矩形點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，其中利用平行四邊形法則，及矩形判定定理分析四邊形ABCD的形狀是解答的關(guān)鍵15已知，若與平行，則=±1考點(diǎn)：平行向量與共線(xiàn)向量。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：利用向量的運(yùn)算法則求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量共線(xiàn)的充要條件列出方程，解方程得值解答：解：，=（3+2，21），=（3+2，2）（3+2）（2）=（21）（3+2

15、）解得=±1故答案為：±1點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則、向量平行的坐標(biāo)形式的充要條件16已知為單位向量，|=4，與的夾角為，則在方向上的投影為2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：由題意要求在方向上的投影，利用投影的定義可知應(yīng)該為：，而又知|=4，與的夾角為，代入即可解答：解：因?yàn)槔猛队暗亩x可知在方向上的投影為：，又知|=4，與的夾角為， 所以=4=2故答案為：2點(diǎn)評(píng)：此題考查了在方向上的投影的定義，還考查了學(xué)生的計(jì)算能力三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分0分）17已知非零向量滿(mǎn)足，求證：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。專(zhuān)題：證明題。分析：把已知的等

16、式兩邊平方，可得這兩個(gè)非零向量的數(shù)量積等于零，從而得到兩個(gè)非零向量垂直解答：證明：|=|=，又為非零向量，點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的條件18在A(yíng)BC中，=（2，3），=（1，k），且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的加法及其幾何意義。分析：因?yàn)檎l(shuí)是直角，尚未確定，故必須分類(lèi)討論解答：解：當(dāng)A=90°時(shí)，因?yàn)?×1+3k=0，k=當(dāng)B=90°時(shí)，=（12，k3）=（1，k3）=0，2×（1）+3×（k3）=0 k=當(dāng)C=90°時(shí)，=0，1+k（k3）=0，k23k1=0k的取值為

17、或或點(diǎn)評(píng)：在三角形中計(jì)算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向及兩向量的夾角，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是中檔題19設(shè)是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值考點(diǎn)：向量的共線(xiàn)定理。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：利用向量的運(yùn)算法則求出；將三點(diǎn)共線(xiàn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量共線(xiàn)；利用向量共線(xiàn)的充要條件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值解答：解：若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則共線(xiàn)，即由于不共線(xiàn)可得：故=2，k=8點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算法則、考查向量共線(xiàn)的充要條件、考查平面向量的基本定理20已知，與夾角為600，則當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值是？（1）（2）考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量共線(xiàn)（平行）的坐標(biāo)表示。專(zhuān)

18、題：計(jì)算題。分析：（1）先計(jì)算的值，當(dāng) 時(shí)，由 =，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則及向量相等的條件，解出實(shí)數(shù)k的值（2）當(dāng) 時(shí)，由 =0，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式解出實(shí)數(shù)k的值解答：解：由題意得 =3（1）當(dāng)，則3=5，且k=3k=（2）當(dāng)，則，k=點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量平行及垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用21如圖，ABCD為正方形，P是對(duì)角線(xiàn)DB上一點(diǎn)，PECF為矩形，求證：PA=EF；PAEF考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用。專(zhuān)題：證明題。分析：利用ADDC建立坐標(biāo)系，根據(jù)題意表示出正方形ABCD頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)DP=r并利用PECF為矩形，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模求法證明PA=EF；利用求出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求出=0，即證出PAEF解答：解：以D為原點(diǎn)為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則A（0，1），C：（1，0）B：（1，1），PA=EF，由得，=+=0，點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用坐標(biāo)法證明幾何中的問(wèn)題，即利