必修四平面向量基本定理附答案

1、平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量.3.會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底思考如圖所示，e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，試用e1，e2表示向量，a.答案通過(guò)觀(guān)察，可得：2e13e2，e14e2，4e14e2，2e15e2，2e15e2，a2e1.知識(shí)點(diǎn)二兩向

2、量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，如圖，作a，b，則AOB (0°180°)，叫做向量a與b的夾角范圍：向量a與b的夾角的范圍是0°，180°當(dāng)0°時(shí)，a與b同向當(dāng)180°時(shí)，a與b反向(2)垂直：如果a與b的夾角是90°，則稱(chēng)a與b垂直，記作ab.思考在等邊三角形ABC中，試寫(xiě)出下面向量的夾角、；、；、；、.答案與的夾角為60°；與的夾角為120°；與的夾角為60°；與的夾角為180°.題型一對(duì)向量的基底認(rèn)識(shí)例1如果e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么下列說(shuō)法中不

3、正確的是_e1e2(、R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，使ae1e2的實(shí)數(shù)對(duì)(，)有無(wú)窮多個(gè)；若向量1e11e2與2e12e2共線(xiàn)，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若存在實(shí)數(shù)，使得e1e20，則0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正確的對(duì)于，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是惟一的對(duì)于，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即12120時(shí)，這樣的有無(wú)數(shù)個(gè)跟蹤訓(xùn)練1設(shè)e1、e2是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：e1與e1e2；e12e2與e22e1；e12e2與4e22e1；e1e2與e1e2.其中能作為平面內(nèi)所有向

4、量的一組基底的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的序號(hào))答案解析對(duì)于4e22e12e14e22(e12e2)，e12e2與4e22e1共線(xiàn)，不能作為基底題型二用基底表示向量例2如圖所示，已知ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的中點(diǎn)，若a，b，試以a、b為基底表示、.解四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、DC邊上的中點(diǎn)，2，2，b，a.babab，ba.跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，若a，b，用a、b表示、.解a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.題型三向量夾角問(wèn)題例3已知|a|b|2，且a與b的夾角為60°，設(shè)ab與a的夾角為，

5、ab與a的夾角是，求.解如圖，作a，b，且AOB60°，以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB，則ab，ab，a.因?yàn)閨a|b|2，所以O(shè)AB為正三角形，所以O(shè)AB60°ABC，即ab與a的夾角60°.因?yàn)閨a|b|，所以平行四邊形OACB為菱形，所以O(shè)CAB，所以COA90°60°30°，即ab與a的夾角30°，所以90°.跟蹤訓(xùn)練3若a0，b0，且|a|b|ab|，求a與ab的夾角解由向量運(yùn)算的幾何意義知ab，ab是以a、b為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)如圖，|a|b|ab|，BOA60°.又ab，且在菱形OAC

6、B中，對(duì)角線(xiàn)OC平分BOA，a與ab的夾角是30°.題型四平面向量基本定理的應(yīng)用例4如圖所示，在OAB中，a，b，點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)若OM與BN相交于點(diǎn)P，求.解()ab，因?yàn)榕c共線(xiàn)，故可設(shè)tab.又與共線(xiàn)，可設(shè)s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在A(yíng)BC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且，BN與CM相交于E，設(shè)a，b，試用基底a，b表示向量.解易得b，a，由N，E，B三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，滿(mǎn)足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)存在實(shí)數(shù)n滿(mǎn)足：n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)

7、b，由于a，b為基底，所以解得所以ab.向量夾角概念不清致誤例5已知2a，2b，a3b，求向量與的夾角錯(cuò)解由已知得，2a2b，(a3b)2bab，顯然2，可見(jiàn)與共線(xiàn)，故與的夾角為0°.錯(cuò)因分析兩個(gè)向量共線(xiàn)分為同向共線(xiàn)與反向共線(xiàn)兩種情況，當(dāng)兩個(gè)向量同向共線(xiàn)時(shí)，其夾角為0°，當(dāng)兩個(gè)向量反向共線(xiàn)時(shí)，其夾角為180°.上面的解答沒(méi)有注意到這個(gè)問(wèn)題，導(dǎo)致出錯(cuò)正解由已知得，2a2b，(a3b)2bab.顯然2，可見(jiàn)與共線(xiàn)，且是反向共線(xiàn)，故與的夾角為180°.1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e1

8、4e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e22如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則等于()Aab B.abC.ab D.ab3在直角三角形ABC中，BAC30°，則與的夾角等于()A30° B60°C120° D150°4設(shè)向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，試用m，n表示p，p_.5如圖所示，已知梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，設(shè)a，b，試用a、b為基底表示、.一、選擇題1下列關(guān)于基底的說(shuō)法正確的是()平面內(nèi)不共線(xiàn)的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基

9、底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線(xiàn)性分解形式也是唯一確定的A B C D2如圖所示，矩形ABCD中，5e1，3e2，則等于()A.(5e13e2) B.(5e13e2)C.(3e25e1) D.(5e23e1)3如圖，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)G，若a，b，用a、b表示等于()A.ab B.abC.ab D.ab4設(shè)向量e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，則實(shí)數(shù)y的值為()A3 B4 C D5若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且4rs，則3rs的值為()A. B. C. D.二、填空題6已知e1、e

10、2不共線(xiàn)，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)7如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)a，b，若2，則_(用a和b表示)8若|a|b|ab|r(r>0)，則a與b的夾角為_(kāi)9如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中、R，則_.10設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC，若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi)三、解答題11判斷下列命題的正誤，并說(shuō)明理由：(1)若ae1be2ce1de2(a、b、c、dR)，則ac，bd；(2)若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)

11、的任一向量可以用e1e2、e1e2表示出來(lái)12如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2.若(、R)，求的值13已知單位圓O上的兩點(diǎn)A、B及單位圓所在平面上的一點(diǎn)P，與不共線(xiàn)(1)在OAB中，點(diǎn)P在A(yíng)B上，且2，若rs，求rs的值；(2)P滿(mǎn)足m(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值當(dāng)堂檢測(cè)答案1答案B解析B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作為基底2答案B解析()ab.3答案D解析由向量夾角定義知，、的夾角為150°.4答案mn解析設(shè)pxmyn，

12、則3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得5解連接FD，DCAB，AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，DC綊FB.四邊形DCBF為平行四邊形依題意，b，ab，(ab)×bba.課時(shí)精練答案一、選擇題1答案C解析零向量與任意向量共線(xiàn)，故零向量不能作為基底中的向量，故錯(cuò)，正確2答案A解析()(5e13e2)3答案D解析易知，.設(shè)，則由平行四邊形法則可得()22，由于E，G、F三點(diǎn)共線(xiàn)，則221，即，從而，從而(ab)4答案B解析因?yàn)?xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因?yàn)閑1和e2是某一平面內(nèi)所有向

13、量的一組基底，所以解得故選B.5答案C解析4rs，()rs，r，s.3rs.二、填空題6答案(，4)(4，)解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線(xiàn)ae12e2，b2e1e2，由akb即得4.7答案ab解析設(shè)，則()().因?yàn)镈，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)，所以1，所以，所以ab.8答案60°解析作a，b，則ab，AOB為a與b的夾角，由|a|b|ab|知AOB為等邊三角形，則AOB60°.9答案解析設(shè)a，b，則ab，ab，又ab，()，即，.10答案解析易知().所以12.三、解答題11解(1)錯(cuò)，當(dāng)e1與e2共線(xiàn)時(shí)，結(jié)論不一定成立(2)正確，假設(shè)e1e2與e1e2共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)，使e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2.因?yàn)?與1不同時(shí)為0，所以e1與e2共線(xiàn)，這與e1與e2不共線(xiàn)矛盾所以e1e2與e1e2不共線(xiàn)，因而它