余數問題(教師版)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上余數問題知識精講一、帶余除法的定義及性質一般地，如果a是整數，b是整數（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr,0rb；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數，現在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數的角色，經過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數。二、三大余數定理：1.余數的加法定理a與b的和除以c的余數，等

2、于a，b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數等于4，即兩個余數的和3+1.當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數等于3+4=7除以5的余數，即2。2.余數的乘法定理a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23×16除以5的余數等于3×1=3。當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之積再除以c的余數。例如：2

3、3，19除以5的余數分別是3和4，所以23×19除以5的余數等于3×4除以5的余數，即2.3.同余定理若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：ab(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數a，b除以同一個數m得到的余數相同，則a，b的差一定能被m整除。用式子表示為：如果有ab(modm)，那么一定有abmk，k是整數，即m|(ab)經典例題【例1】用某自然數去除，得到商是46，余數是，求和【解析】 因為是的倍還多,得到，得，所以，【例2】甲、乙兩數的和是，

4、甲數除以乙數商余，求甲、乙兩數【解析】 (法1)因為甲乙，所以甲乙乙乙乙；【解析】 則乙，甲乙【解析】 (法2)將余數先去掉變成整除性問題，利用倍數關系來做：從中減掉以后，就應當是乙數的倍，所以得到乙數，甲數【例3】一個兩位數除310，余數是37，求這樣的兩位數?！窘馕觥?本題為余數問題的基礎題型，需要學生明白一個重要知識點，就是把余數問題-即“不整除問題”轉化為整除問題。方法為用被除數減去余數，即得到一個除數的倍數；或者是用被除數加上一個“除數與余數的差”，也可以得到一個除數的倍數。本題中310-37=273，說明273是所求余數的倍數，而273=3×7×13，所求的兩位

5、數約數還要滿足比37大，符合條件的有39，91.【例4】有兩個自然數相除，商是，余數是，已知被除數、除數、商與余數之和為，則被除數是多少？【解析】 被除數除數商余數被除數除數+17+13=2113，所以被除數除數=2083，由于被除數是除數的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除數=2083-115=1968?！纠?】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠問：第二組有多少人?【解析】 由，知，一組

6、是10或11人同理可知，知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人【例6】一個兩位數除以13的商是6，除以11所得的余數是6，求這個兩位數【解析】因為一個兩位數除以13的商是6，所以這個兩位數一定大于，并且小于；又因為這個兩位數除以11余6，而78除以11余1，這個兩位數為【例7】有一個大于1的整數，除所得的余數相同，求這個數.【解析】 這個題沒有告訴我們，這三個數除以這個數的余數分別是多少，但是由于所得的余數相同，根據同余定理，我們可以得到：這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數，的約數有，所以這個數可能為?！纠?】

7、與的和除以7的余數是_【解析】 找規(guī)律用7除2，的余數分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的個數是3的倍數時，用7除的余數為1；2的個數是3的倍數多1時，用7除的余數為2；2的個數是3的倍數多2時，用7除的余數為4因為，所以除以7余4又兩個數的積除以7的余數，與兩個數分別除以7所得余數的積相同而2003除以7余1，所以除以7余1故與的和除以7的余數是【例9】求的余數【解析】 因為，根據同余定理(三)，的余數等于的余數，而，所以的余數為5【例10】求的最后兩位數【解析】 即考慮除以100的余數由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因為除以4余1，

8、則除以4余1；即能被4和25整除，而4與25互質，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余數即等于除以100的余數，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余數等于除以100的余數，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后兩位數為63【例11】除以7的余數是多少？【解析】 除以7的余數為1，所以，其除以7的余數為：；2008除以7的余數為6，則除以7的余數等于除以7的余數，為1；所以除以7的余數為：課后作業(yè)【作業(yè)1】5122除以一個兩位數得到的余數是66，求這個兩位數?！敬鸢浮?9【作業(yè)2】明明在一次計算除法時，把被除數171錯寫成117，結果商少

9、3而余數恰恰相同，這題中的除數是多少？【答案】18【作業(yè)3】兩數相除，商4余8，被除數、除數、商數、余數四數之和等于415，則被除數是_【解析】 因為被除數減去8后是除數的4倍，所以根據和倍問題可知，除數為，所以，被除數為?！咀鳂I(yè)4】除以一個兩位數，余數是求出符合條件的所有的兩位數【解析】 ，那么符合條件的所有的兩位數有，因為“余數小于除數”,所以舍去，答案只有。【作業(yè)5】求除以17的余數【解析】 先求出乘積再求余數，計算量較大可先分別計算出各因數除以17的余數，再求余數之積除以17的余數除以17的余數分別為2，7和11，【作業(yè)6】一個大于1的數去除290，235，200時，得余數分別為，則這

10、個自然數是多少？【解析】 根據題意可知，這個自然數去除290，233，195時，得到相同的余數（都為）既然余數相同，我們可以利用余數定理，可知其中任意兩數的差除以這個數肯定余0那么這個自然數是的約數，又是的約數，因此就是57和38的公約數,因為57和38的公約數只有19和1，而這個數大于1，所以這個自然數是19【作業(yè)7】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠問：第二組有多少人?【解析】 由，知，一組是10或11人同理可知，知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人【作業(yè)8】某個大于1的自然數分別除442，297，210，得到相同的余數，則該自然數為。【分析】首先要清楚一個事實：兩個數被同一個數除余數相同，則這兩個數相減（大減?。┠鼙贿@個數整除。知道了這個事實后我們就很容易做這個題了。因為該自然數能整除，也能整除，同樣能整除。所以可知這個自然數必定是145，232，87的公約數。而這三個數大于1的公約數只有29。所以可知這個自然數為29?！咀鳂I(yè)9】兩位自然數與除以7都余1，并且，求【解析