平衡微分方程與切應力互等定理

1、第二章 應力狀態(tài)分析一. 內(nèi)容介紹彈性力學的研究對象為三維彈性體，因此分析從微分單元體入手，本章的任務就是從靜力學觀點出發(fā)，討論一點的應力狀態(tài)，建立平衡微分方程和面力邊界條件。    應力狀態(tài)是本章討論的首要問題。由于應力矢量與內(nèi)力和作用截面方位均有關。因此，一點各個截面的應力是不同的。確定一點不同截面的應力變化規(guī)律稱為應力狀態(tài)分析。首先是確定應力狀態(tài)的描述方法，這包括應力矢量定義，及其分解為主應力、切應力和應力分量；其次是任意截面的應力分量的確定轉(zhuǎn)軸公式；最后是一點的特殊應力確定，主應力和主平面、最大切應力和應力圓等。    應力狀

2、態(tài)分析表明應力分量為二階對稱張量。本課程分析中使用張量符號描述物理量和基本方程，如果你沒有學習過張量概念，請進入附錄一，或者查閱參考資料。    本章的另一個任務是討論彈性體內(nèi)一點微分單元體的平衡。彈性體內(nèi)部單元體的平衡條件為平衡微分方程和切應力互等定理；邊界單元體的平衡條件為面力邊界條件。二. 重點    1.應力狀態(tài)的定義：應力矢量；正應力與切應力；應力分量；     2.平衡微分方程與切應力互等定理；    3.面力邊界條件；    4.應

3、力分量的轉(zhuǎn)軸公式；       5.應力狀態(tài)特征方程和應力不變量三知識點體力、應力矢量、應力分量、平衡微分方程、面力邊界條件、主平面與主應力、主應力性質(zhì)、截面正應力與切應力、三向應力圓、八面體單元、偏應力張量不變量、面力、正應力與切應力、應力矢量與應力分量、切應力互等定理、應力分量轉(zhuǎn)軸公式、平面問題的轉(zhuǎn)軸公式、應力狀態(tài)特征方程、應力不變量、最大切應力、球應力張量和偏應力張量§2.1 體力和面力學習思路:       本節(jié)介紹彈性力學的基本概念體力和面力，體力Fb和面力Fs的概

4、念均不難理解。    應該注意的問題是，在彈性力學中，雖然體力和面力都是矢量，但是它們均為作用于一點的力，而且體力是指單位體積的力；面力為單位面積的作用力。    體力矢量用Fb表示，其沿三個坐標軸的分量用Fbi（i=1，2，3）或者Fbx、Fby和Fbz表示，稱為體力分量。    面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。    體力和面力分量的方向均規(guī)定與坐標軸方向一致為正，反之為負。    學習要點

5、：1. 體力；2. 面力。體力：作用于物體的外力可以分為兩種類型：體力和面力。    所謂體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。面力是分布在物體表面上的力，例如風力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。為了表明物體在xyz 坐標系內(nèi)任意一點P 所受體力的大小和方向，在P點的鄰域取一微小體積元素V,設V 的體力合力為F，則P點的體力定義為 令微小體積元素V 趨近于0，則可以定義一點P的體力為    一般來講，物體內(nèi)部各點處的體力是不相同的。    物體內(nèi)任

6、一點的體力用Fb表示，稱為體力矢量，其方向由該點的體力合力方向確定。    體力沿三個坐標軸的分量用Fbi( i = 1,2,3)或者Fbx,Fby,Fbz表示，稱為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標軸方向一致為正，反之為負。        應該注意的是：在彈性力學中，體力是指單位體積的力。面力：類似于體力，可以給出面力的定義。對于物體表面上的任一點P，在P 點的鄰域取一包含P點的微小面積元素S。設S 上作用的面力合力為 F，則P 點的面力定義為    面力矢量是單位面積上的

7、作用力，面力是彈性體表面坐標的函數(shù)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學問題求解的主要條件。        面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。    面力的方向規(guī)定以與坐標軸方向一致為正，反之為負。    彈性力學中的面力均定義為單位面積的面力。§2.2 應力和應力狀態(tài)學習思路:       物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部相互作用力稱

8、為內(nèi)力。為討論彈性體的強度，將單位面積的內(nèi)力，就是內(nèi)力集度定義為應力。    pn為過任意點M，法線方向為n的微分面上的應力矢量。應力矢量不僅隨點的位置改變而變化，而且即使在同一點，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。    一點所有截面的應力矢量的集合稱為一點的應力狀態(tài)。討論一點各個截面的應力變化趨勢稱為應力狀態(tài)分析。    凡是應力均必須說明是物體內(nèi)哪一點，并且通過該點哪一個微分面的應力。應力狀態(tài)對于研究物體的強度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個確定點的各個截面的應力矢量，就是應力狀態(tài)必然存

9、在一定的關系。不可能也不必要寫出一點所有截面的應力。為了準確、明了地描述一點的應力狀態(tài)，必須使用合理的應力參數(shù)。    為了探討各個截面應力的變化趨勢，確定可以描述應力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應力矢量分解。學習要點：    1. 應力矢量；    2. 應力矢量的分解；    3. 應力分量。應力矢量：物體在外界因素作用下，例如外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力稱為內(nèi)力。    內(nèi)力的計算可以采用

10、截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平衡關系計算截面內(nèi)力F。內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點M的內(nèi)力，在截面上選取一個包含M的微面積單元S， 則可認為微面積上的內(nèi)力主矢F的分布是均勻的。設S 的法線方向為n，則定義：     上式中pn為微面積S 上的平均應力。如果令S 逐漸減小，并且趨近于零，取極限可得 上述分析可見：pn是通過任意點M，法線方向為n的微分面上的應力矢量。    應力pn是矢量，方向由內(nèi)力主矢F確定，又受S方位變化的影響。    應力矢量不

11、僅隨點的位置改變而變化，而且即使在同一點，也由于截面的法線方向n的方向改變而變化。這種性質(zhì)稱為應力狀態(tài)。因此凡是應力均必須說明是物體內(nèi)哪一點，并且通過該點哪一個微分面的應力。    一點所有截面的應力矢量的集合稱為一點的應力狀態(tài)。應力狀態(tài)對于研究物體的強度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個確定點的各個截面的應力矢量，就是應力狀態(tài)必然存在一定的關系。不可能也不必要寫出一點所有截面的應力。為了準確、明了地描述一點的應力狀態(tài)，必須使用合理的應力參數(shù)。正應力與切應力：討論一點各個截面的應力變化趨勢稱為應力狀態(tài)分析。為了探討各個截面應力的變化趨勢，確定可以描述應力狀態(tài)的

12、參數(shù)，通常將應力矢量分解。     應力矢量的一種分解方法是將應力矢量pn在給定的坐標系下沿三個坐標軸方向分解，如用px, py, pz表示其分量，則 pn=px i + py j+ pz k 這種形式的分解并沒有工程實際應用的價值。它的主要用途在于作為工具用于推導彈性力學基本方程。    另一種分解方法，是將應力矢量 pn沿微分面S的法線和切線方向分解。與微分面S 法線 n方向的投影稱為正應力，用s n表示；平行于微分面S 的投影稱為切應力或剪應力，切應力作用于截面內(nèi)，用t n 表示。     彈性體的

13、強度與正應力和切應力息息相關，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應力分解形式。    由于微分面法線 n 的方向只有一個，因此說明截面方位就確定了正應力 s n 的方向。但是平行于微分面的方向有無窮多，因此切應力t n不僅需要確定截面方位，還必須指明方向。應力分量：為了表達彈性體內(nèi)部任意一點M 的應力狀態(tài)，利用三個與坐標軸方向一致的微分面，通過M點截取一個平行六面體單元。將六面體單元各個截面上的應力矢量分別向3個坐標軸投影，可以得到應力分量sij。    應力分量的第一腳標 i 表示該應力所在微分面的方向，即微分面外法線的方向；

14、0;   第二腳標 j 表示應力的方向。如果應力分量與 j 坐標軸方向一致為正，反之為負。    如果兩個腳標相同， ij，則應力分量方向與作用平面法線方向一致，這是正應力，可以并寫為一個腳標，例如s x。    如果兩腳標不同，ij，則應力分量方向與作用平面法線方向不同，這是切應力，例如txy。    六面體單元的3對截面共有九個應力分量sij。     應該注意：應力分量是應力矢量在坐標軸上的投影，因此是標量，而不是矢量。 

15、0;   在已知的坐標系中應力狀態(tài)通常用應力張量表示。使用應力張量可以完整地描述一點的應力狀態(tài)。§2.3 應力矢量與應力分量學習思路:       應力矢量不僅隨點的位置改變而變化，而且也由于截面的法線方向n的方向改變而變化，研究這一變化規(guī)律稱為應力狀態(tài)分析。如果應力分量能夠描述一點的應力狀態(tài)，那么應力分量與其它應力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。    本節(jié)分析應力矢量與應力分量之間的關系，為深入討論應力狀態(tài)作準備。    利用三個坐標平面和一個任意斜截面構(gòu)造微分四

16、面體單元，通過四面體單元探討坐標平面的應力分量和斜截面上的應力矢量的關系。    根據(jù)平衡關系，推導任意斜截面的應力矢量、法線方向余弦和各個應力分量之間的關系。    分析表明：一點的應力分量確定后，任意斜截面的應力矢量是確定的。學習要點：    1. 微分四面體單元；    2. 應力矢量與應力分量。一點的九個應力分量如果能夠完全確定一點的應力狀態(tài)，則其必須能夠表達通過該點的任意斜截面上的應力矢量。 為了說明這一問題，在O點用三個坐標面和一任意斜截面截取一個微分四面體單元。

17、斜截面的法線方向矢量為n，它的三個方向余弦分別為l，m和n。 設斜截面上的應力為pn，i，j 和 k 分別為三個坐標軸方向的單位矢量，pn在坐標軸上的投影分別為px, py, pz。則應力矢量可以表示為 pn = pxi+ py j+ pz k同樣，把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標軸分解，有Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k設S為ABC的面積，則 OBC=lS,    OCA=mS,    OAB=nSABC的法線方向的單位矢量可表示為 n = l i+ l j + m k微分四面體在應力矢量和體積力作用下應滿足平衡

18、條件，設h為O點至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得將公式代入上式，則     對于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關，因此與1相比為小量，趨近于零，因此同理     如果采用張量記號，則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點的9個應力分量和通過同一點的各個微分面上的應力之間的關系。這一關系式表明，只要有了應力分量，就能夠確定一點任意截面的應力矢量，或者正應力和切應力。因此應力分量可以確定一點的應力狀態(tài)。§2.4 平衡微分方程學習思路:       物體在外力作用下產(chǎn)生變形

19、，最后達到平衡位置。平衡不僅是指整個物體，而且彈性體的任何部分也是平衡的。    本節(jié)通過微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點的平衡。    應該注意：在討論微分單元體平衡時，考慮到坐標的微小變化將導致應力分量的相應改變。即坐標有增量時，應力分量也有對應的增量。這個增量作為高階小量，如果不涉及微分單元體平衡時是可以不考慮的。    微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點的平衡，確定了應力分量與體力之間的關系。又稱為納維（Navier）方程。    平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應力分量與體力之間的微分關系，是彈性力學的第一個基本方程。    切應力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學習要點：