平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1、§2.3.1 平面向量基本定理§2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解向量數(shù)乘的意義，掌握向量的數(shù)乘與這個(gè)向量的模和方向之間的關(guān)系掌握實(shí)數(shù)與向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算理解兩個(gè)向量共線的條件，會(huì)根據(jù)條件判定兩個(gè)向量共線教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)表示教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理教學(xué)方法：講授、討論式教具準(zhǔn)備：用幾何畫板演示平面向量基本定理、向量的正交分解教學(xué)過程：（）新課引入：師：上節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了向量的數(shù)乘運(yùn)算，掌握了平面向量數(shù)乘的定義及運(yùn)算律以及兩向量共線的條件根據(jù)上述知識(shí)，給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量e1，e2，我們可以作出形如3e

2、1+2e2、e1-2e2的向量那么，平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如e1+e2的向量表示呢？為了解決上面的問題，我們今天學(xué)習(xí)平面向量基本定理及其應(yīng)用（）講授新課：平面向量基本定理師：如圖，設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作e1，e2，a過點(diǎn)C作直線OB的平行線，交直線OA于點(diǎn)M；過點(diǎn)C作直線OA的平行線，交直線OB于點(diǎn)N由向量線性運(yùn)算的性質(zhì)可知，存在實(shí)數(shù)、，使得e1，e2由于，所以ae1+e2也就是說，任一向量a都可以表示成e1+e2的形式另一方面，對(duì)于同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量e1、e2，如果有ae1+e2且ae1+e2，那么e1+e2e

3、1+e2， (-)e1+(-)e2由向量e1、e2不共線，得-0，=且=由上述過程可以發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)任一向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量e1、e2表示出來；當(dāng)e1、e2確定后，這種表示形式是唯一的（用幾何畫板演示）我們得到了如下的平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2.說明：不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；同一平面可以有不同的基底，關(guān)鍵是不共線的向量才可以作為基底；由此定理可將任一向量a對(duì)給定的基底e1、e2進(jìn)行分解，并且這種分解的形式唯一確定向量的夾角師：不共線的向量

4、有不同的方向，怎樣來區(qū)別它們的位置呢？生：我們可以用向量間的夾角來表示它們之間的位置關(guān)系師：這就需要我們來規(guī)定出兩個(gè)向量夾角的意義：已知兩個(gè)非零向量a、b，作a，b，則叫做向量a與b的夾角說明：在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的.當(dāng)時(shí)，a與b同向；當(dāng)時(shí)，a與b反向如果向量a與b的夾角是，我們稱a與b垂直，記ab例1見課本平面向量的正交分解師：如圖，在光滑斜面上的一個(gè)木塊受到了那些力的作用？這些力之間有什么關(guān)系？生：該木塊受到重力G的作用，產(chǎn)生兩個(gè)效果，一是木塊受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力F2也就是說，重力G的的效果等價(jià)于力F1和F2的合力的效果，即

5、G=F1+F2師：物理學(xué)中，G=F1+F2叫做把重力G分解由平面向量基本定理，對(duì)平面上的任意向量a均可以分解為不共線的兩個(gè)向量e1、e2，使ae1+e2在不共線的兩個(gè)向量中，垂直是一種重要情形把一個(gè)向量分解為兩個(gè)垂直的向量，叫做把向量正交分解如上，重力G沿互相垂直的兩個(gè)方向分解就是正交分解正交分解是向量分解中常見的一種情形平面向量的坐標(biāo)表示師：我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即點(diǎn)的坐標(biāo)）表示那么，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量如何表示呢？如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)

6、實(shí)數(shù)x、y，使得axiyj這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可以x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫作向量a的坐標(biāo)，記作a，其中x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y叫作a在y軸上的坐標(biāo)，式子a叫作向量的坐標(biāo)表示. 根據(jù)向量坐標(biāo)表示的意義，兩個(gè)單位向量i、j以及零向量的坐標(biāo)表示是怎樣的？生：i，j，0師：如圖，在直角坐標(biāo)平面中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作a，則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)表示有人說：直角坐標(biāo)平面內(nèi)向量a的坐標(biāo)就是它的終點(diǎn)坐標(biāo)這句話正確嗎？生：這種說法不正確只有當(dāng)向量a的始點(diǎn)是坐標(biāo)

7、原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才是它的終點(diǎn)坐標(biāo)師：這就是說，直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的集合只是與這平面內(nèi)從原點(diǎn)出發(fā)的向量的集合之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系例2見課本說明：本題也可以利用各向量間關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱關(guān)系求解.（）課后練習(xí)：課本習(xí)題2.3B組 （）課時(shí)小結(jié):同一平面內(nèi)任意向量都可以表示成為兩個(gè)不共線向量的線性組合，這樣，如果將平面內(nèi)向量的起點(diǎn)放在一起，那么，平面內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)都可以通過兩個(gè)不共線的向量得到表示，也就是平面內(nèi)的點(diǎn)可以由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)及兩個(gè)不共線的向量表示通過建立直角坐標(biāo)系，可以將平面內(nèi)任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)表示；反過來任一有序?qū)崝?shù)對(duì)就表示一個(gè)向量這就是說，一個(gè)平面向量就是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，從而給出了向量的另一種表示形式坐標(biāo)表示式向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，使得向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)，即一個(gè)向量平移到另一位置后，只要大小與方向不改變，則向量的坐標(biāo)不變（）課后作業(yè)：課本習(xí)題2.3B組 預(yù)習(xí)課本，思考下列問題：已知向量的坐標(biāo)怎樣進(jìn)行向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算？怎樣求一個(gè)用有向線段表示的向量的坐標(biāo)？向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐