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1、常微分方程期中考試試卷(5)計算題 .求下列方程的通解或通積分1. 2. 3. 4. 567證明題8. 在方程中,已知,在上連續(xù),且求證:對任意和,滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為9. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程 的所有解的存在區(qū)間必為10. 假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件,且,是定義在區(qū)間I上的兩個解求證:若<,則在區(qū)間I上必有 <成立答案:1。解 方程化為 令,則,代入上式,得 分量變量,積分,通解為 原方程通解為 2. 解 因為,所以原方程是全微分方程 取,原方程的通積分為 即 3解 當(dāng)時,分離變量得 等式兩端積分得 方程的通積分為 4解 齊次方程的通解為 令非齊次
2、方程的特解為 代入原方程,確定出 原方程的通解為 + 5解 積分因子為 原方程的通積分為 即 6解 由于,所以原方程是全微分方程 取,原方程的通積分為 即 7解 原方程是克來洛方程,通解為 8證明 由已知條件可知,該方程在整個 平面上滿足解的存在惟一及延展定理條件,又存在常數(shù)解 對平面內(nèi)任一點,若,則過該點的解是,顯然是在上有定義 若,則,記過該點的解為,那么一方面解可以向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展;另一方面在條形區(qū)域 內(nèi)不能上、下穿過解和,否則與解的惟一性矛盾因此解的存在區(qū)間必為9. 證明 由已知條件,該方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件 顯然 是方程的兩個常數(shù)解 任取初值,其中,記過該點的解為,由上面分析可知,一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展;另一方面又上方不能穿過,下方不能穿過,否則與惟一性矛盾故該解的存在區(qū)間必為10. 證明 僅證方向,(反之亦然)假設(shè)存在,使得>(=不可能出現(xiàn),否則與解惟一矛盾令=-,那么 =-< 0, =-> 0 由連續(xù)函數(shù)介值定理,
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