微積分基本定理1

1、1.6.1微積分基本定理教材分析本節(jié)內(nèi)容選自數(shù)學(xué)選修2-2第一章第六節(jié)，是在學(xué)習(xí)了定積分的概念知識后，對求解定積分值的再學(xué)習(xí)，可以看作是對前面學(xué)習(xí)過的內(nèi)容的應(yīng)用，要求用牛頓萊布尼茨公式求解定積分的值.此外，本節(jié)又是定積分應(yīng)用的起始課，對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著奠基的作用，本課題的重點通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分，難點是微積分基本定理的含義及其應(yīng)用通過探究公式的由來過程，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，要求學(xué)生有意識地運用特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，在解決新問題的過程中，又要自覺的運用化

2、歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的一般思路與方法.課時分配 本節(jié)內(nèi)容用2課時的時間完成，本節(jié)課為第一課時主要講解牛頓萊布尼茨公式的證明及運用公式解決簡單的求解定積分的問題.教學(xué)目標(biāo)重點: 微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分.難點：微積分基本定理的含義及其應(yīng)用知識點：牛頓-萊布尼茨公式.能力點：如何探尋牛頓-萊布尼茨公式的證明思路，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運用.教育點：經(jīng)歷由特殊到一般的研究數(shù)學(xué)問題的過程，體會探究的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.自主探究點：如何運用變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系推導(dǎo)出牛頓-萊布尼茨公式.考試點：通過變速運動的速度與位移間的關(guān)系探尋牛頓-萊布尼茨

3、公式、用公式求定積分問題.易錯易混點：當(dāng)定積分的被積函數(shù)較復(fù)雜在計算時學(xué)生容易在“符號”上出問題.拓展點：在求解復(fù)合函數(shù)在給定區(qū)間上的積分值時有哪些技巧可尋.教具準(zhǔn)備 多媒體課件課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分學(xué)中兩個最基本和最重要的概念導(dǎo)數(shù)和定積分，那么這兩個概念之間有沒有內(nèi)在的聯(lián)系呢？我們可以直接利用定積分的定義來計算的值，我們通過分割、近似代替、求和、取極限的“四步曲”來計算此定積分的值，但是過程卻比較麻煩.而對于有些定積分，例如，當(dāng)我們再用定義去求解時，會出現(xiàn)什么情況呢？那么該和式的極限值是多少呢？我們可以借助于定積分的幾何意義來看一下：由定積分的幾何意義結(jié)合圖

4、像可知該定積分的值不為零，那么該如何計算該定積分的值呢？有沒有比定義更簡潔、有效的方法求定積分呢？接下來我們就從導(dǎo)數(shù)與定積分的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)去探尋一種求解定積分的值的更簡潔有效的方法.【設(shè)計說明】在計算定積分的值時，讓學(xué)生自己先按照定義去求，讓學(xué)生回顧一下定積分的定義及前面所學(xué)過的“四步曲”.【設(shè)計意圖】通過以上應(yīng)用定義求解定積分的過程出現(xiàn)定義法失效的情況，激發(fā)學(xué)生去探尋其他的求解定積分的方法.二、探究新知探究：如下圖所示，一個做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是，并且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時刻的速度.設(shè)這個物體在時間段內(nèi)的位移為，你能分別用表示嗎？ 顯然，物體的位移是函數(shù)在處與處

5、的函數(shù)值之差，即.另一方面，我們還可以利用定積分，由求位移.用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間：每個小區(qū)間的長度均為：.當(dāng)很小時，在上的變化很小，可以認(rèn)為物體近似的以速度做勻速運動，物體所做的位移為：由幾何意義上看（如上右圖），設(shè)曲線上與對應(yīng)的點為P，PD是P點處的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線PD的斜率等于，于是：.結(jié)合上圖，可得物體總位移：.可以發(fā)現(xiàn)，越大，即越小，區(qū)間的分割就越細(xì)，與的近似程度就越好，并且當(dāng)時兩者之差趨向于0.由定積分的定義有：.結(jié)合有：.上式表明，如果做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是，那么在區(qū)間上的定積分就是物體的位移.一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么.這個結(jié)論叫做微

6、積分基本定理，又叫牛頓-萊布尼茨公式.為了方便，我們常常把記成，即.微積分基本定理表明，計算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù).通常，我們可以運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運算法則從反方向上求出.【設(shè)計意圖】給學(xué)生充分的感性材料,揭示公式的發(fā)現(xiàn)過程, 通過學(xué)生發(fā)現(xiàn)若干特例的共性, 培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括、提出數(shù)學(xué)問題的能力（一般性探究）避免直接將公式拋給學(xué)生三、理解新知分析公式的結(jié)構(gòu)特點，得到：求解定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)【設(shè)計意圖】為準(zhǔn)確地運用新知，作必要的鋪墊.四、運用新知例1計算下列定積分：（1）； （2）.解：（1）因為，所以.（2）因為，所以.【設(shè)計意圖】本例為課本上兩個例

7、題，屬于公式的簡單應(yīng)用，讓學(xué)生感受一下牛頓-萊布尼茨公式在求解定積分時的應(yīng)用.【變式練習(xí)】計算：（1），（2），（3），（4），（5），（6）.【設(shè)計意圖】給學(xué)生留有充分的練習(xí)時間，讓學(xué)生親自體會牛頓-萊布尼茨公式在求解定積分時的應(yīng)用.例2計算下列定積分：.由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.解：因為，所以，. 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0: ( l ）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸上方時（圖1.6-3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 - 3 （2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸下方時（圖 1 . 6 - 4 ) ，定積分的值

8、取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； 圖1 . 6 -4 圖1 . 6 -5 ( 3）當(dāng)位于軸上方的曲邊梯形面積等于位于軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1 . 6 - 5 ) ，且等于位于軸上方的曲邊梯形面積減去位于軸下方的曲邊梯形面積 【設(shè)計意圖】本例可以作為當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)時求解定積分的一種技巧，可讓學(xué)生從定積分的幾何意義的角度去求解定積分的值.【變式練習(xí)】計算：（1），（2），（3）.【設(shè)計意圖】考查學(xué)生用定積分的幾何意義求解定積分的值.例3汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等減速度剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車

9、開始到停車經(jīng)過了多少時間.當(dāng)時，汽車速度,剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時,速度,故從解得秒于是在這段時間內(nèi),汽車所走過的距離是=米,即在剎車后,汽車需走過米才能停住.【設(shè)計意圖】定積分的簡單實際應(yīng)用，也是對微積分基本定理的應(yīng)用.五、課堂小結(jié) 教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1知識：2思想：數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想教師總結(jié): 本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求

10、大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果【設(shè)計意圖】加強對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，做到“授人以漁”六、布置作業(yè) 1閱讀教材P5154；2.書面作業(yè) 必做題：P55 習(xí)題1.6 A組 1 B組1，2選做題：1、求函數(shù)在上的最大值與最小值.2、 計算.課外思考：求由拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形的面積的最小值.【設(shè)計意圖】設(shè)計作業(yè)1,2，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠運用牛頓-萊布尼茨公式，解決簡單的數(shù)學(xué)問題；課外思考的安排，是讓學(xué)生理解公式的應(yīng)用，從而讓學(xué)生深刻地體會到微積分基本定理的主線作用，培養(yǎng)學(xué)生用整體的觀點看問題，起到承上啟下的作用 七、教后反思 1.本教案的亮點是變式訓(xùn)練.在例1的教學(xué)中，讓學(xué)生大量的練習(xí)，鞏固公式例2則為利用定積分的幾何意義求解定積分的值，既注重了