常微分方程小結(jié)

1、常微分方程小結(jié)姓名：邱俊銘 學(xué)號(hào)：2010104506姓名：李林 學(xué)號(hào)：2010104404姓名：曾治云 學(xué)號(hào): 2010104509初等積分法：變量分離形式一、一階微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函數(shù)h(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，g(y)在區(qū)間(c,d)上連續(xù)且不等于0.經(jīng)過(guò)分離變量得: dy/g(y)=h(x)dx 兩端積分得： G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常數(shù)且G(y)= Ùdy/g(y)，H(x)= Ùh(x)âx，所以G(y)=1/g(y)不為0，故G存在逆函數(shù)，從而得到：y= (H(x)+c).例 1. dy /dx=2xy解：

2、當(dāng)y ¹0時(shí)，分離變量后得：dy/ y =2xdx ,兩邊積分得：ln|y|=x2+c1 ，此外y=0也是方程的解，從而方程的解為y=Ce(x2),g(y)=0,則y=是方程的解，其中C為任意的常數(shù)。初值問(wèn)題的解，即y取任意一個(gè)數(shù)得到的結(jié)果，代入通解中，求出具體y值。例2.y(1+x2)dy=x(1+y2)dx,y(0)=1; 解：這是變量分離的方程，分離變量后得：y/(1+y2)dy=x/(1+x2),兩邊積分得其通解為：1+y2=C(1+x2),其中C為任意常數(shù)，代入初值條件得：C=2.。故所給的初值問(wèn)題的解為y=.二、常數(shù)變易法一階非線性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).

3、（1）當(dāng)f(x)=0時(shí)，方程為齊次線性方程，解法和上述的一樣，通解為y=C ,C為任意的常數(shù)?，F(xiàn)在求齊次線性方程的通解，常數(shù)C換成x的函數(shù)c(x),得到：y= c(x) ，對(duì)x求導(dǎo)，然后代入（1）中化簡(jiǎn)，兩端積分，得：y=C + .例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x，這里a(x)=2x,f(x).從而可求出原方程的通解為：Y=exp(2 Ùxâx)(c+ Ùxexp(-2Ùxâx)âx)=-1/2+ce(x2),即-1/2+ce(x2)，其中c為任意的常數(shù)。三、Bernoulli方程, 非線性方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐浑A線性

4、方程dy/dx=a(x)y+f(x)ya (2)當(dāng)a=0和1時(shí)是上述討論過(guò)的線性方程，當(dāng)a ¹0和1時(shí)（2）方程是非線性方程，令z=y(1-a),兩邊除ya，令,由，由：dz/dx=(1-a)y(-a)dy/dx,得dz/dx=(1-a)a(x)z+(1-a)f(x).把z=y(1-a)代入可得通解為：y(1-a)= +C,其中C為任意的常數(shù)，顯然y=0也為方程的解。例4. dy/dx=6y/x-xy2.解：當(dāng)y ¹0時(shí)，令z=,原方程變?yōu)閐z/dx=-6/xz+x,這是一個(gè)一階線性微分方程，其通解為：z=1/x6(C+1/8x8),從而原方程的通解為x6/y-x8/8=C

5、,其中C為任意的常數(shù)，此外，顯然y=0也是方程的解。恰當(dāng)方程形式一、當(dāng)dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。（3）則是恰當(dāng)方程。判斷一個(gè)方程是否是恰當(dāng)方程的充要條件是：dM/dy=dN /dx。則其通解為,或，其中C是任意的常數(shù)而且（,）為區(qū)域G內(nèi)任意取定的一點(diǎn)。例5. dy/dx=-（6x+y+2）/（x+8y-3）; 解：將原方程改寫為（6x+y+2）dx+（x+8y-3）dy=0.這里M(x,y)= 6x+y+2，N(x,y)= x+8y-3，由于：dM/dy=1=dN /dx，所以這是一個(gè)恰當(dāng)方程，取=0，=0，可計(jì)算出：U（x,

6、y）=3x2+xy+2x+4y2-3y故該方程的通解為3x2+xy+2x+4y2-3y=C，其中C為任意的常數(shù)。二、積分因子法：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，不是恰當(dāng)方程，但乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)姆橇愫瘮?shù)U=U（x,y）后，使得U（x,y）M(x,y)dx+ U（x,y）N(x,y)dy=0，(4),成為恰當(dāng)方程。函數(shù)U（x,y）是（3）的積分因子，存在g=W(x,y),使dW(x,y)= U（x,y）M(x,y)dx+ U（x,y）N(x,y)dy,W(x,y)是（4）的通解，也是（3）的通解。例6.2xylnydx+(x2+y2)dy=0. 解; M(x,y)= 2xylny, N(x,

7、y)= x2+y2,由于：E=dM/dy-dN /dx=2xlny,所以他不是恰當(dāng)方程。由于-E/M=-1/y與x無(wú)關(guān)，所以方程只與y的積分因子有關(guān)，U(y)n=1/y,因此方程;2xlnxdx+(x2/y+y)dy=0,為恰當(dāng)方程。取，=0, =1,可計(jì)算出;U（x,y）= = x2lny+1/3(1+y2)3/2-2/3.故該方程的通解為; x2lny+1/3(1+y2)3/2-2/3.=C,其中C為任意的常數(shù)。隱式方程一階隱式方程，其一般式為：F（x,y,dy/dx）=0., (5) 即令p=dy/dx,，變成：F（x,y, p）=0，然后用分離變量法來(lái)求解。例7.y=(dy/dx)2-

8、xdy/dx+x2/2; 解：令p=dy/dx,則原方程變?yōu)?y=p2-xp+x2/2,兩邊關(guān)于x 求導(dǎo)，得p=2pdp/dx-p-xdp/dx+x,即（2p-x）dp/dx=(2p-x),若2p-x¹0，則dp/dx=1，從而p=x+C,其中C為任意的常數(shù)，因而方程的通解為y=x2+Cx+C2;若2p-x=0,原方程的解為;y=x2/4.初等積分法的一些應(yīng)用一、 奇解一條曲線y=f(x)不屬于曲線族y=g(x,c),但在y=f(x)上每一點(diǎn)都有曲線族y=g(x,c)中的某條曲線與他相切，我們稱y=f(x)是y=g(x,c)的包絡(luò)，y=f(x)為奇解后特解。y=g(x,c)是方程的通

9、解。定理：設(shè)函數(shù)F（x,y, p）連續(xù)且對(duì)x,y,p連續(xù)可微，則方程F（x,y,dy/dx）=0的奇解y= f( x)應(yīng)滿足關(guān)系式：F（x,y, p）=0，（x,y, p）=0，其中p=dy/dx，或滿足從中消去p而得到的關(guān)系式：D( x,y)=0.例8.x(dy/dx)2-ydy/dx+1=0;解：令p=dy/dx，由方程知p¹0.因此可以解出：y=xp+1/p,兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：P=p+pdp/dx-1/p2dp/dx,即(x-1/p2)dp/dx=0.若x-1/p2¹0，則dp/dx=0.從而p=C,其中C為任意常數(shù)，因而原方程的通解為:y=Cx+1/C;若x-1/p2

10、=0，則容求原方程的通解為：y2=4x。積分曲線族y=Cx+1/C的C的判別曲線滿足方程：y-Cx+1/C=0,-x+1/C2=0.從中消去C得y2=4x，容證它是原方程的奇解。二、高階微分方程高階微分方程，其一般式為：F（x,y,dy/dx，º / ）=0。思路為：可通過(guò)變量變換的方法把高階降階為一階來(lái)求解。例9.4 ;解：令p= ,則原方程變?yōu)椋?p2=p,用pdx乘以兩邊得：2d(p)2=pdp,故4(p)2=p2+A1,其中A1為任意的常數(shù)。從而：2dp/dx=+- ?？紤]方程：2dp/dx=，分離變量法可得：P+=A2ex/2,A2為任意的常數(shù)。線性方程一、矩陣A(t)=（ (t)）是連續(xù)的（或可微的），如果其每一個(gè)元素 (t)(其中i,j=1,2, º n)都是實(shí)變量t的連續(xù)函數(shù)（或可微的），在可微的情況下，dA(t)/dt=(d (t).例10.設(shè)A=，試計(jì)算并比較其導(dǎo)數(shù)的行列式和其行列式的導(dǎo)數(shù)。解：由dA(t)/dt=(d (t).易知dA(t)/dt=，因此其導(dǎo)數(shù)的行列式為48-2t.另一方面，可求出;de