[總結(jié)四] 各章范例精選 - 臺(tái)州學(xué)院

1、總結(jié)四： 各章范例精選第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)題例1. 有一橢圓規(guī)尺以其端點(diǎn)A與B沿直線槽OX及OY滑動(dòng)，如圖所示，而端點(diǎn)B以勻速C運(yùn)動(dòng)。求規(guī)尺上一點(diǎn)M的速度與加速度的大小。已知AM = a，BM = b。 說(shuō)明：此題是根據(jù)已知運(yùn)動(dòng)情況寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后求速度和加速度。屬質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題。例2. 有一劃平面曲線軌跡的點(diǎn)，其速度在Y軸上的投影于任何時(shí)刻 均 為常數(shù)C。試證在此情況下，加速度的量值可用下式表示： a= 。式中v為點(diǎn)的速度，為軌跡的曲率半徑。 說(shuō)明：此題要在透徹分析的基礎(chǔ)上，然后聯(lián)合運(yùn)用速度、加速度在直角坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系中的表達(dá)式來(lái)求解。這是學(xué)生應(yīng)該掌握的基本解題方法。除此之外也

2、可以用幾何作 圖的方法來(lái)求解，但這種方法并不可取，因?yàn)樗荒芎芎梅从辰忸}的基本物理思想。例3. 一質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，其速度矢量與加速度矢量之間的夾角保持不變，試證其速度可表示為：v = v0ectg(-o)式中為速度矢量與x軸之間的夾角。且當(dāng)=0時(shí)v=v0 。 說(shuō)明：此題在前兩題的基礎(chǔ)上增加了一定的難度，不僅要從已知推想到所求的結(jié)果，而且還要從兩頭同時(shí)推想，才能較快找到兩者之間的關(guān)系。第二章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)例1. 如下圖所示兩固定端A、B中間有三個(gè)彈簧。它們的彈性系數(shù)分別為k1、k2、k3，原長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1、L2、L3，也就是說(shuō)A、B兩端之間長(zhǎng)度為L(zhǎng)1+L2+L3，中間夾著的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m

3、1和m2。假如m1和m2都沿著AB直線振動(dòng)，請(qǐng)建立m1和m2的運(yùn)動(dòng)微分方程。說(shuō)明：解決質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵之一，是如何建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。本題旨在如何分析建立運(yùn)動(dòng)微分方程。例2. 有一平面曲線形細(xì)管，以勻速繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)，角速度是已知的。要求管內(nèi)的小球在任何位置都是相對(duì)靜止的。求此管的曲線方程。球與管之間無(wú)摩擦。說(shuō)明：本題是已知運(yùn)動(dòng)情況，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道的基本動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。例3. 滑輪上系一不可伸長(zhǎng)的繩，繩上懸一彈簧，彈簧的另一端掛一重為p的物體。當(dāng)滑輪以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體以等速度v0下降，若將滑輪突然停住，試求彈簧的最大伸長(zhǎng)及最大張力。假定彈簧受力p時(shí)的靜伸長(zhǎng)為cT。 說(shuō)明：此題從建立質(zhì)點(diǎn)

4、的運(yùn)動(dòng)微分方程，解出r = r(t),再找到最后答案。這是學(xué)生必須掌握的基本方法。例4. 在光滑水平面上的兩個(gè)小球質(zhì)量分別為m1、m2，由一個(gè)輕彈簧 連系著，設(shè)小球只沿著彈簧軸線方向振動(dòng)，當(dāng)m1固定時(shí)m2每 秒振動(dòng)n次，求證當(dāng)m2固定時(shí)，m1將每秒振動(dòng)n m2/m1次。 如果m1、m2都是自由的則振動(dòng)頻率為n 。 說(shuō)明：本題求證的第小題比較簡(jiǎn)單，第小題有一定的難度。需仔細(xì)分析，并注意說(shuō)明坐標(biāo)系原點(diǎn)不能取在m1和m2上，關(guān)鍵是求出兩球之間的距離隨時(shí)間的變化規(guī)律。例5.一炮彈以初速v0，與地面成的角射出。如考慮地球引力 與炮彈到地心距離的平方成反比。并考慮地面為一球面。試 求炮彈離地面的最大高度，

5、設(shè)地球的半徑為R，地面上的引 力為mg。說(shuō)明：此題難度較大。需采用極坐標(biāo)系建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，否則很難解。第三章 非慣性系力學(xué)例1. 有一圓盤(pán)以勻角速度繞通過(guò)垂直于盤(pán)心的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，沿圓盤(pán)半徑方向開(kāi)有一小槽，槽內(nèi)有一小球沿著小槽（相對(duì)圓盤(pán)）自盤(pán)心以勻速度v = c向外運(yùn)動(dòng)，求小球的絕對(duì)加速度。說(shuō)明：此題用兩種方法即分析法和圖示法求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。以比較兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。例2. 一升降機(jī)向上以加速度a上升, 求此升降機(jī)中的單擺的周期？ 說(shuō)明：此題為非慣性系動(dòng)力學(xué)的基本題。主要在于掌握解決非慣性系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本思路和基本步驟。例3. 質(zhì)量為m的小環(huán)，套在半徑為a的光滑圓圈上，并可沿著

6、圓圈滑動(dòng)，如圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度繞圈上某點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小環(huán)沿圓圈切向和法向的運(yùn)動(dòng)微分方程及任意瞬時(shí)的相對(duì)速度。（設(shè)初始條件為t=0時(shí)，=0 ,=0 ）說(shuō)明：此題可以通過(guò)選擇不同的動(dòng)系原點(diǎn)說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)所受的慣性力與動(dòng)系及動(dòng)系原點(diǎn)選擇有關(guān)。 第四章 質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)例1. 在光滑的水平面上，放有一個(gè)圓環(huán)，它的半徑為a，質(zhì)量為M，有一小蟲(chóng)質(zhì)量為m，在環(huán)上爬行。問(wèn)小蟲(chóng)和圓環(huán)中心的運(yùn)動(dòng)軌道是如何的？說(shuō)明：此題先根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，然后由質(zhì)心的定義式求出各部分的運(yùn)動(dòng)。這是求有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本思路。例2. 一條質(zhì)量比較小但具有彈性的繩子，其兩端系有物體P與P，質(zhì)量分別為m和m，放在一光滑

7、的水平面上。物體之間的距離等于繩子的固有長(zhǎng)度，物體P沿著長(zhǎng)度增加的方向受到打擊，給m一個(gè)沖量I，見(jiàn)下圖。求當(dāng)繩子恢復(fù)其固有長(zhǎng)度后兩個(gè)物體的速度，還問(wèn)P能否追上P？說(shuō)明：此題應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求解。例3. 如下圖所示，有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿傾角為的光滑楔子滑下楔子的質(zhì)量為M，楔子本身又可在光滑水平面上自由滑動(dòng)。求出m和M它們各自在水平方向上的加速度？說(shuō)明：此題有多種解法。聯(lián)合運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、質(zhì)心定義式、牛頓第二定律和約束關(guān)系求解；聯(lián)合運(yùn)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和約束關(guān)系求解運(yùn)用非慣性系動(dòng)力學(xué)方程解。例4. 有一鏈條是均勻的，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為。在光滑的斜面上下滑，上

8、端是盤(pán)著放在平臺(tái)上的，如下圖所示。試求鏈條沿斜面滑下的長(zhǎng)度為x時(shí)，x這段鏈條的速度為多少？說(shuō)明：此題應(yīng)該用可變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)求解，不能用機(jī)械能守恒定律來(lái)求解。 第五章 剛體力學(xué)例1. 如圖所示的機(jī)構(gòu)，BD是一剛性桿，它的B端接在一個(gè)可沿ox軸運(yùn)動(dòng)的滑塊上，它的另一端插入導(dǎo)管中，此導(dǎo)管可繞固定點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)。已知oA為h。求桿子的空間極跡和本體極跡？說(shuō)明：此題可采用圖示法和分析法來(lái)求解，并比較之。例2. 兩根桿子OA和AB長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，重量均為Q。兩桿光滑鉸接于A，桿OA的另一端又鉸接于固定點(diǎn)O，桿AB的B端則擱在地板上。當(dāng)OA與懸直線成角，AB與水平線成角時(shí)，此系統(tǒng)正好要開(kāi)始向左滑動(dòng)，如圖所

9、示。試求地板對(duì)桿AB的靜摩擦系數(shù)。說(shuō)明：這是一個(gè)復(fù)合剛體靜力學(xué)問(wèn)題。可采用可分可合的方法來(lái)求解。通過(guò)此例掌握求解剛體靜力學(xué)問(wèn)題的基本方法。例3. 有一條不可伸長(zhǎng)的輕繩一端固定在天花板上，另一端纏著一個(gè)半徑為r，重為P的滑輪。求滑輪中心C下降的加速度。說(shuō)明：這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的例題。通過(guò)此簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明解題的方法。此題可用三種方法求解，即可用：剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程求解；機(jī)械能守恒定律求解和剛體對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理求解。例4. 一輕繩的一端繞在A輪上，A輪可繞固定點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，摩擦力可忽略不計(jì)，繩子的另一端繞在另一輪子B的外面，已知這兩輪子都是形狀相同的圓柱，它們的半徑為r，質(zhì)量均為m。求B輪的質(zhì)心加

10、速度。說(shuō)明：此題為剛體動(dòng)力學(xué)的基本題。掌握解題的基本方法。例5.如圖所示的“復(fù)擺”已知其上端的兩個(gè)輪子的半徑等于r。它 們可在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)。還已知此 “復(fù)擺”的總質(zhì)量為M，質(zhì)心c到上 端兩輪的軸線oo的距離為L(zhǎng)，即ac =L，“復(fù)擺”繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為R。 并假設(shè)上端兩輪在導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)是純 滾動(dòng)的。求此擺偏離平衡位置作小振 動(dòng)的周期。說(shuō)明：此題有一定的難度。難在尋找約束關(guān)系。 第六章 分析力學(xué)例1. 如圖所示，有一質(zhì)量m，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的剛性桿子靠在墻上，在與地面接觸的B端上受一水平向左的外力F。桿子兩端的接觸都是光滑的。當(dāng)桿子與水平地面成角時(shí)，要使處于平衡狀態(tài)，問(wèn)作用在桿子B端上的力F有多大？說(shuō)

11、明：這是一道運(yùn)用虛功原理解靜力學(xué)問(wèn)題的基本題。旨在掌握解題的基本方法。例2. 如圖所示的框架，它是由四根重量和長(zhǎng)度都相同的桿子光滑鉸接而成的四邊形框架，中間B、D兩端又光滑鉸接一輕桿，A端是掛在天花板上的。已知框架上每一根桿子的重量為P，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。求平衡時(shí)此輕桿所受之力？ 說(shuō)明：通過(guò)此題的求解，明白應(yīng)用虛功原理解題時(shí)，所取的坐標(biāo)原點(diǎn)必須是靜止的。例3.一質(zhì)點(diǎn)受一有心力F1=- r 及一阻力 F2=-a2V作用下運(yùn)動(dòng)。 試求出其拉格朗日方程。說(shuō)明：此題求解的目的在于如何求廣義力和建立拉示方程的基本步驟。例4.質(zhì)量為m的小環(huán)，套在半徑為a的大圓圈上，并可沿著圓圈滑 動(dòng)，如果大圓圈在水平面內(nèi)以等角 速度繞圈上某點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)。求小圓 環(huán)在大圓圈切向運(yùn)動(dòng)微分方程。說(shuō)明：此題是非慣性系的力學(xué)問(wèn)題?，F(xiàn)在要求應(yīng)用拉氏方程求解，然后將