數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十一章反 常 積 分

1、第十一章 反 常 積 分 教學(xué)目的：1.深刻理解反常積分的概念及其斂散性的含義；2.熟練掌握無(wú)窮積分和瑕積分的性質(zhì)與斂散性的判別。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是反常積分的含義與性質(zhì)；難點(diǎn)是反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。 教學(xué)時(shí)數(shù)：8學(xué)時(shí) § 1 反常積分概念 （2學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的：深刻理解反常積分的概念。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：反常積分的含義與性質(zhì) 一 問(wèn)題的提出: 例（P264）.二 兩類反常積分的定義 定義1. 設(shè)函數(shù) 定義在無(wú)窮區(qū)間 上，且在任何有限區(qū)間   上可積，如果存在極限 （1） 則稱此極限J為函數(shù) 在 上的無(wú)窮限反常積分（簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分），記作 ,并稱 收斂.如果極限（1）不存

2、在，為方便起見，亦稱   發(fā)散. 定義2. 設(shè)函數(shù) 定義在 上，在點(diǎn) 的任一右鄰域內(nèi)無(wú)界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間  上有界且可積，如果存在極          則稱此極限為無(wú)界函數(shù) 在 上的反常積分，記作   并稱反常積分 收斂，如果極限不存在，這時(shí)也說(shuō)反常積分  發(fā)散.   例1 討論積分 , , 的斂散性 . 計(jì)算積分 . 例 2 討論以下積分的斂散性 : ; . 例3 討論積分 的斂散性 . 例4 判斷積分 的斂散性 . 例5 討論瑕積分 的斂散性 ,并討論積分 的

3、斂散性 . 三 瑕積分與無(wú)窮積分的關(guān)系: 設(shè)函數(shù) 連續(xù) , 為瑕點(diǎn). 有 , 把瑕積分化成了無(wú)窮積分;設(shè) , 有 ，把無(wú)窮積分化成了瑕積分.可見 , 瑕積分與無(wú)窮積分可以互化. 因此 ,它們有平行的理論和結(jié)果 .§2. 無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判定（2學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的：深刻理解反常積分?jǐn)可⑿缘暮x。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。 一 無(wú)窮積分的性質(zhì) 在區(qū)間 上可積 , Const , 則函數(shù) 在區(qū)間 上可積, 且      . 和 在區(qū)間 上可積 , 在區(qū)間 上可積 , 且   . 無(wú)窮積分收斂的Cauchy準(zhǔn)則: Th 積分 收

4、斂 . 絕對(duì)收斂與條件收斂: 定義概念.   絕對(duì)收斂 收斂, ( 證 )但反之不確.絕對(duì)型積分與非絕對(duì)型積分 .   二 比較判別法 非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分判斂法: 對(duì)非負(fù)函數(shù),有 . 非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分?jǐn)可⑿杂浄? 比較判斂法: 設(shè)在區(qū)間 上函數(shù) 和 非負(fù)且，又對(duì)任何 > , 和 在區(qū)間 上可 積 . 則 < , < ； , . 例6 判斷積分 的斂散性. 推論1 （比較原則的極限形式） : 設(shè)在區(qū)間 上函數(shù), . 則 > < < , 與 共斂散 : > , < 時(shí), < ； > , 時(shí), . ( 證 ) 推論2 （C

5、auchy判斂法）: ( 以 為比較對(duì)象, 即取   .以下 > 0 )設(shè)對(duì)任何 > , , 且 , < ；若 且 , . Cauchy判斂法的極限形式 : 設(shè) 是在任何有限區(qū)間  可積的正值函數(shù). 且 . 則 > < ； > . ( 證 ) 例7 討論以下無(wú)窮積分的斂散性 : > >   三 狄利克雷判別法與阿貝爾判別法: 1.Abel判斂法: 若 在區(qū)間 上可積 , 單調(diào)有界 , 則積分 收斂. 2.Dirichlet判斂法: 設(shè) 在區(qū)間 上有界 ， 在 上單調(diào)，且當(dāng) 時(shí)， .則積分 收斂. 例8 討論

6、無(wú)窮積分 與 的斂散性. 例9 證明下列無(wú)窮積分收斂 , 且為條件收斂 : , , . 例10 ( 乘積不可積的例 ) 設(shè) , 。由例6的結(jié)果, 積分 收斂 . 但積分 卻發(fā)散.§3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別（2學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的：熟練掌握無(wú)窮積分和瑕積分的性質(zhì)與斂散性的判別。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：無(wú)窮積分和瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。 類似于無(wú)窮積分的柯西收斂準(zhǔn)則以及其后的三個(gè)性質(zhì)，瑕積分同樣可由函數(shù)極限 的原意寫出相應(yīng)的命題. Th ( 比較原則 ) P277 Th11.6.   系1 ( Cauchy判別法 ) P277 推論2.   系2 ( Cauchy判別法的極限形式 ) P277 推論3.   例11 判別下列瑕積分的斂散性 : ( 注意被積函數(shù)非正 ). .  例12 討論非正常積分 的斂散性. 注記. CR積分與R積分的差異: 1. R , 在 上 ; 但在區(qū)間 上可積 , 在區(qū)間 上有界 . 例如函數(shù) 2. R , | | R ,但反之不正確. R積分是絕對(duì)型積分. | |在區(qū)間 上可積