數(shù)列的概念與簡單的表示法一對一輔導(dǎo)講義

1、教學(xué)目標(biāo)1、理解數(shù)列的概念，了解通項公式的意義和分類2、能由通項公式求出數(shù)列的各項。反之能求出數(shù)列的前幾項3、培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力及探索規(guī)律的能力重點、難點1、數(shù)列的概念；2、通項公式的意義和分類?？键c及考試要求1、 數(shù)列的概念2、 數(shù)列的各項3、 數(shù)列的前幾項教 學(xué) 內(nèi) 容第一課時 數(shù)列的概念與簡單的表示法知識點梳理課前檢測1、下列說法正確的是 （ ）A. 數(shù)列1，3，5，7可表示為 B. 數(shù)列1，0，與數(shù)列是相同的數(shù)列 C. 數(shù)列的第項是 D. 數(shù)列可以看做是一個定義域為正整數(shù)集的函數(shù)2、數(shù)列中，由給出的數(shù)之間的關(guān)系可知的值是（ ）A. 12 B. 15 C. 17 D. 183、已知數(shù)

2、列的通項公式為，則3 （ ）A. 不是數(shù)列中的項 B. 只是數(shù)列中的第2項 C. 只是數(shù)列中的第6項 D. 是數(shù)列中的第2項或第6項4、數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列各項中最小項是 （ ）A. 第4項 B. 第5項 C. 第6項 D. 第7項5、已知數(shù)列，則是它的 （ ）A. 第22項 B. 第23項 C. 第24項 D. 第28項知識梳理知識點一：數(shù)列的概念 數(shù)列的定義：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項：數(shù)列中的每

3、一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，第項，.其中數(shù)列的第1項也叫作首項。3. 數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第項知識點二：數(shù)列的分類1. 根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，是無窮數(shù)列2. 根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列知識點三：數(shù)列的通項公式與前項和1. 數(shù)

4、列的通項公式如果數(shù)列的第項與之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 如數(shù)列：的通項公式為（）；的通項公式為（）；的通項公式為（）；注意：（1）并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；（2）一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，； 它的通項公式可以是，也可以是.（3）數(shù)列通項公式的作用：求數(shù)列中任意一項；檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項. （4）數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示2. 數(shù)列的前項和數(shù)列的前項逐個相加之和：；當(dāng)時；當(dāng)時，.故.知識點四：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子

5、集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù),如果（）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列，；通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項關(guān)于數(shù)列的一些問題常通過函數(shù)的相關(guān)知識方法解決，如：單調(diào)性，最值等.知識點五：數(shù)列的表示方法數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法（解析式法、圖象法、列表法）有聯(lián)系1. 通項公式法（解析式法）：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。2. 圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方

6、法是以項數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點。所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢3. 列表法相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，用表示第項，依次寫出成為，簡記為4. 遞推公式法遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，的遞推

7、公式為：.第二課時 數(shù)列的概念與簡單的表示法典型例題典型例題題型一：根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式例1寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，使其前四項分別是:(1) 0, ,；(2) 1, ,；(3) 9, 99,999, 9999,；(4) 6, 1, 6,1,.解析：（1）將數(shù)列改寫為， 故.（2）此數(shù)列奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，可用來表示；其絕對值中分子為奇數(shù)數(shù)列，分母是自然數(shù)的平方數(shù)列，故.（3）將數(shù)列改寫為, , , ， 故.（4）將數(shù)列每一項減去6與1的平均值得新數(shù)列, -, -,， 故或總結(jié)升華：寫通項時注意以下常用思路：若數(shù)列中的項均為分?jǐn)?shù)，則先觀察分母的規(guī)律再觀察分子的規(guī)律，如

8、(1)；特別注意有時分?jǐn)?shù)是約分后的結(jié)果，要根據(jù)觀察還原分?jǐn)?shù)；注意(1)n在系數(shù)中的作用是讓數(shù)列中的項正、負(fù)交替出現(xiàn)，如(2)；(-1)n作指數(shù)，讓數(shù)列中隔項出現(xiàn)倒數(shù)； （4）可視為周期數(shù)列，故想到找一個周期為2的函數(shù)為背景。歸納猜想的關(guān)鍵是從特殊中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危挂?guī)律明朗化.變1.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； （2）1，；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； （4），；變2.某數(shù)列an的前四項為0，0，則以下各式：an1(1)n an an其中可作為an的通項公式的是（ ）A B

9、C D題型二：已知數(shù)列的前項和，求通項公式例2.已知下列數(shù)列的前項和，分別求它們的通項公式.； .【解題思路】利用，這是求數(shù)列通項的一個重要公式.【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，.當(dāng)時，.當(dāng)時，當(dāng)時，.當(dāng)時，.例3已知數(shù)列的前項和公式，求通項.（1）， (2) .思路點撥: 先由時，求出；再由當(dāng)時，求出，并驗證是否符合所求出的.解析：（1）當(dāng)時， 當(dāng)時， （2）當(dāng)時， 當(dāng)時， ()為所求.總結(jié)升華：已知求出依據(jù)的是的定義：，分段求解，然后檢驗結(jié)果能否統(tǒng)一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數(shù)的形式.變3.已知數(shù)列的前項和，求通項.變4.已知數(shù)列的前項積，求通項變5.已知數(shù)列的前n項和Sn滿足log2(S

10、n+1)=n+1,求an的通項公式題型三：已知數(shù)列的遞推式，求通項公式例4.數(shù)列中，求，并歸納出.【解題思路】已知的遞推公式求前幾項，可逐步計算.【解析】，由，可以歸納出.變6.已知數(shù)列滿足：，寫出前5項，并猜想 變7.數(shù)列中，求，并歸納出.題型四：已知數(shù)列通項公式，求項數(shù)及最大（最?。╉椑?.數(shù)列中，.是數(shù)列中的第幾項？為何值時，有最小值？并求最小值.【解題思路】數(shù)列的通項與之間構(gòu)成二次函數(shù)，可結(jié)合二次函數(shù)知識去探求.【解析】由，解得，是數(shù)列中的第項.，或時，.【變式】數(shù)列中，求取最小值時的值.【解析】，時，取最小值.【反思?xì)w納】利用二次函數(shù)知識解決數(shù)列問題時，必須注意其定義域為正整數(shù).題型

11、五：已知數(shù)列通項公式，判斷數(shù)列單調(diào)性及有界性 例6已知數(shù)列中,判斷數(shù)列的單調(diào)性，并給以證明.思路點撥:選擇數(shù)列中任意相鄰兩項作差比較即可.解析：，（）數(shù)列是遞增數(shù)列.總結(jié)升華：數(shù)列也是函數(shù)，可以用證明函數(shù)的單調(diào)性的方法來證明.變8.數(shù)列中：,（）（1）寫出它的前五項，并歸納出通項公式；（2）判斷它的單調(diào)性.第三課時 數(shù)列的概念與簡單的表示法課堂檢測課堂檢測一、選擇題1已知數(shù)列中，ann，則等于()A3 B9 C12 D202下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A1， B1，2，3，4，C1， D1，3下列說法不正確的是()A根據(jù)通項公式可以求出數(shù)列的任何一項B任何數(shù)列都有通項公式C一個數(shù)列可能有幾個不同形式的通項公式D有些數(shù)列可能不存在最大項4數(shù)列，的第10項是()A. B. C. D.5已知非零數(shù)列的遞推公式為·1(n1)，則()A3 B2 C4 D16已知數(shù)列滿足>0，且1，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列 C常數(shù)列 D擺動數(shù)列二、填空題7已知數(shù)列的通項公式192n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為_