“正視”幾何體

1、視圖與側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，則其體積是（)A .4、. 2B.8 24.3 D.-3363圖的作用例1如圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其正等于2，于是棱錐的高為這個(gè)四棱錐的體積為11 2Sh 2233“正視”幾何體410014湖南省長(zhǎng)沙市26中 彭向陽(yáng)三視圖是從三個(gè)不同位置（正前方、正左方和正上方）觀察幾何體而得到的圖形，它 是正投影下的平面圖形，形象地說(shuō)就是用一束平行光線從這三個(gè)方向照射幾何體而得到的影 子.但問(wèn)題的關(guān)鍵是什么方向是正前方，這個(gè)沒有明確規(guī)定，所以導(dǎo)致許多同學(xué)在解決由幾何體的三視圖來(lái)確定幾何體的形狀問(wèn)題時(shí)，不能正確畫出幾何體的直觀圖，更不能準(zhǔn)確由三視圖

2、中的數(shù)據(jù)得到幾何體中相關(guān)的棱長(zhǎng)和元素間的位置關(guān)系，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤由三視圖來(lái)求解幾何體的相關(guān)問(wèn)題，首先必須由三視圖確定幾何體的直觀圖，同時(shí)由三視圖給定的數(shù)據(jù)得到幾何體中相關(guān)棱的長(zhǎng)度才能解決只要通過(guò)三視圖確定了幾何體的“正視”方向，那么“側(cè)視”和“俯視”就比較容易理解了如果確定幾何體的“正視”方向，一般要結(jié)合三個(gè)視圖，特別是俯視圖來(lái)分析， 逐步調(diào)整，絕對(duì)不能孤立地看待這三個(gè)視解析 很容易由三視圖知這個(gè)幾何體是四棱錐， 但許多同學(xué)由“正視圖與側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為 2的正三角 形”得到底面是邊長(zhǎng)為 2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，.222 2.2，所以4.23選擇A.這里的問(wèn)題是正視圖和側(cè)視圖不是側(cè)面，而是底

3、邊是正方形的邊，腰是側(cè)面三角形底邊上的高構(gòu)成的三角形，所以由已知“正視圖與側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形”知棱錐的底面是邊長(zhǎng)為 2的正方形，側(cè)面的高是2,所以棱錐的高為.3，所以這個(gè)四棱錐的體積為直觀圖V43選擇D.例2已知正三棱錐V ABC 的正視圖和俯視圖如圖所示，畫出該 三棱錐的側(cè)視圖和直觀圖解析由于幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單 的三棱錐，所以它的直觀圖容易畫 出，如圖所示，但關(guān)鍵是正視圖是從AB 6,S04.S ABC1門618 ,于是底面面積6-62S SABS SBC423215,2側(cè)視圖是按BC方向觀察所得，由側(cè)視圖知什么方向去看的，從而找到兩個(gè)視圖中給 出的兩個(gè)數(shù)據(jù)在幾何體中的實(shí)際含義 抓 住

4、俯視圖中的BC是豎直的，所以正前方 的方向應(yīng)該是沿著棱 BC的方向，從而正 視圖是沿著BC方向觀察得到的等腰三角形，其中B,C重合，C點(diǎn)在B點(diǎn)的后面，看不到；正視圖中的線段 AB長(zhǎng)度不是幾何體中的棱 AB的長(zhǎng)度，而是點(diǎn)A到BC的距離；正視圖中邊 AB上的高就是幾何體中三棱錐的高V0的長(zhǎng)度，從而正視圖 VAB不是等腰三角形，由V向AB作垂線，這個(gè)垂足就是幾何體中的點(diǎn)0，同時(shí)AO 20B ;于是正視圖中的 VA 4就是幾何體中的側(cè)棱 VA 4.正視圖的觀察角度確定了， 那么側(cè)視圖就是將視線從正視方向旋轉(zhuǎn)90方向得到，即沿著幾何體中的 A0方向去觀察，得到如圖所示的 VCB，其中線段BC就是幾何體中

5、棱 BC的長(zhǎng)度，線段VA垂直于BC ,長(zhǎng)度等于幾何體中的高 V0,側(cè)視圖中 代0和BC邊上的中點(diǎn)重合，側(cè)視圖中的線段VCVB，但不等于幾何體中的 VC,VB，比幾何體中的VC,VB小.俯視圖中的 ABC就是幾何體中的底面ABC，邊長(zhǎng)為2、3，俯視圖中點(diǎn)V后面看不到的是幾何體中的點(diǎn) 0.于是得到正三棱錐 V ABC是底面邊長(zhǎng)為2、3，側(cè)棱長(zhǎng)為4的幾何體，容易求得它的表面積和體積等相關(guān)冋題例3 一個(gè)棱錐的三視圖如下圖，則該棱錐的全面積為（）A. 48 12、2B. 48 24、2解析這是2009年海南、寧夏的高考試題， 首先必須清楚三視圖的排列位置，正視圖、側(cè)視圖分別放在左右兩邊，俯視圖畫在正視圖

6、的下 邊根據(jù)俯視圖，這個(gè)三棱錐底面是等腰 Rt ABC，其中 ABC 90 , AB BC 6, 頂點(diǎn)S在底面上的射影 O是底面直角三角形斜 邊AC上的中點(diǎn)，如圖所示.由俯視圖知正視圖是按 BA方向觀察所得，由正視圖得BC 6,S04.Ssac 二 6邁 4 12 ,2故該棱錐的全面積為18 30 12J2 48 12 J2 選擇A.例4 設(shè)某幾何體的三視圖如圖 （尺寸的長(zhǎng)度單位為 m ），則該幾何體的體積為解析按照三視圖的排列順序初步判斷這 個(gè)幾何體是三棱錐，從俯視圖知底面ABC中AC 4.正視圖是垂直于 AC直線觀察得到 的，由正視圖得 MB AC，且M為AC的中 占八、-* 1->

7、2 m側(cè)視圖是沿著圖知BM 3 ,SN AC 于 N ,于是得到三AC方向觀察得到，由側(cè)視 面SAC 面ABC ,作SN 2.棱錐S ABC的底面是AC 4 , AC邊上的高為3的等腰三角形，面SAC 面 ABC ,于是體積VSN AC于 N , SN 2. 1 14 3 2 4.3 2故填例5（1）（2） 解析4.如圖是試判斷該幾何體是什么幾何體； 畫出其側(cè)視圖，并求出該平面圖形（側(cè)視圖）的面積 .由該幾何體的正視圖和俯視圖可知這個(gè)幾何體是一個(gè)正六棱sMA個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖錐.從正視圖知，正視圖是視線垂直于正六邊形的一邊觀察得到的， 側(cè)棱長(zhǎng)為2a.由俯視圖知底面正六邊形的邊長(zhǎng)為 a .

8、從而該幾何體的側(cè)視圖，如圖所示，其中AB AC£?AD2a從而BC ,且BC的長(zhǎng)是俯視圖正六邊形對(duì)邊間的距離，容易求得BC , 3a , AD是正棱錐的高，AD - 2a $ a2 . 3a，所以該平面圖形（側(cè)正視圖視圖）的面積為S 1，3a 3a -a2.2 2由三視圖得到空間幾何體的直觀圖，要求有比較強(qiáng)的空間想象 能力，一定要注意規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等 .特別注意由三 視圖得到直觀圖中的相關(guān)線面關(guān)系和相關(guān)數(shù)據(jù)例6某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是（）B. 62BC俯視圖A側(cè)視圖C. 10俯視圖3*1側(cè)視圖就必須知道這四個(gè)面是什么三角形，所以問(wèn)題還是即還原幾何體而這如果還原準(zhǔn)確就是許多同學(xué)解析 這是2011年高考北京理科試題，要求出四個(gè)面的面積的最大值，就必須求出四 個(gè)面的面積，而要求出這四個(gè)面的面積， 歸結(jié)為由三視圖畫出這個(gè)四面體的直觀圖， 的軟肋ABC，再對(duì)照直觀先根據(jù)三視圖畫出個(gè)直觀草圖P圖和三個(gè)視圖來(lái)調(diào)整和確定直觀圖中相關(guān)線段的關(guān)系和長(zhǎng) 度正視圖應(yīng)該看到的是直觀圖中的 PAB，有PAAB 4,PA AB ;俯視圖看到的是直角三角形，應(yīng)該是 右看,ABC，有AB BC ;側(cè)視圖是沿著 AB方向從左往,側(cè)視圖是個(gè)直角三角形， 所以PA AC，且BC 3. 這樣就得到四個(gè)面的形狀和