5函數(shù)的奇偶性和周期性

1、高考第一輪復(fù)習(xí)臺(tái)山市李譚更開(kāi)紀(jì)念中學(xué)數(shù)學(xué)組楊義清2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象特征：圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于奇函數(shù)的圖象關(guān)于_對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于_對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)原點(diǎn)原點(diǎn)y軸軸奇偶性奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)定義定義如果對(duì)于函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有都有_，那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)都有都有_，那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).1奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義f(x)f(x)f(x)f(x)(2)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩

2、個(gè)區(qū)間上有兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性的單調(diào)性(3)奇函數(shù)圖象與原點(diǎn)的關(guān)系：奇函數(shù)圖象與原點(diǎn)的關(guān)系：如果奇函數(shù)如果奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有意義，則在原點(diǎn)有意義，則f(0)_ .(4)設(shè)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是的定義域分別是D1，D2，那么在它們，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，的公共定義域上：奇奇奇，奇奇奇偶，奇偶，偶偶偶，偶偶偶，偶偶偶偶，偶偶，奇奇偶奇偶奇相同相同相反相反03周期性周期性若若f(x)對(duì)于定義域中任意對(duì)于定義域中任意x均有均有_ (T為不等于為不等于0的常數(shù)的常數(shù))，則，則f(x)為

3、周期函數(shù)為周期函數(shù)若若T是函數(shù)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期，則的一個(gè)周期，則nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的周期的周期f(xT)f(x) 【解析【解析】A選項(xiàng)中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)選項(xiàng)中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)B、C、D選項(xiàng)中的函數(shù)均為奇函數(shù)，但選項(xiàng)中的函數(shù)均為奇函數(shù)，但B、C選項(xiàng)中選項(xiàng)中的函數(shù)不為增函數(shù)的函數(shù)不為增函數(shù) 【答案】D【解析【解析】D(x)的值域是的值域是0，1，選項(xiàng)，選項(xiàng)A正確當(dāng)正確當(dāng)x是是有理數(shù)時(shí)，有理數(shù)時(shí)，x也是有理數(shù)，且也是有理數(shù)，且D(x)1，D(x)1，故，故D(x)D(x)，當(dāng)，當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，是無(wú)理數(shù)時(shí)，x也是無(wú)也是無(wú)理數(shù)，且理數(shù)，且D(x)0，D(x)0，即

4、，即D(x)D(x)，故故D(x)是偶函數(shù)，選項(xiàng)是偶函數(shù)，選項(xiàng)B正確當(dāng)正確當(dāng)x是有理數(shù)，是有理數(shù)，D(xa)1D(x)；當(dāng)；當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，是無(wú)理數(shù)時(shí)，D(xb)D(x)0，故，故D(x)是周期函數(shù)，選項(xiàng)是周期函數(shù)，選項(xiàng)C不正確顯然不正確顯然D(x)不不是單調(diào)函數(shù)，選項(xiàng)是單調(diào)函數(shù)，選項(xiàng)D正確正確 【答案【答案】C5已知定義在已知定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x)，滿足，滿足f(x4)f(x)，則則f(8)的值為的值為()A1 B0 C1 D2【解析【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以是以4為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)，f(8)f(0)又函數(shù)又函數(shù)f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)

5、，上的奇函數(shù)，f(8)f(0)0.【答案【答案】B2、根據(jù)奇偶性求函數(shù)的解析式、根據(jù)奇偶性求函數(shù)的解析式 已知定義在已知定義在R上的奇函數(shù)滿足上的奇函數(shù)滿足 ：當(dāng)：當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， f(x)x22x， 則當(dāng)則當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， f(x) 。解：當(dāng)解：當(dāng)x0, f(-x)(-x)22(-x)= x2-2x， 又又f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， f(x)f(x)，f(-x) x2-2x= f(x) ， f(x)-x22x【答案【答案】-x22x3、根據(jù)奇偶性、單調(diào)性解不等式、根據(jù)奇偶性、單調(diào)性解不等式(求取值范圍求取值范圍)1、已知定義在、已知定義在R上的奇函數(shù)滿足上的奇函數(shù)滿足f(x)x22x(x0)，

6、若若f(3a2)f(2a)，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_ 解：當(dāng)解：當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，f(x)x22x(x1)21，函數(shù)函數(shù)f(x)在在0，)上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，又函數(shù)又函數(shù)f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)，且上的奇函數(shù)，且f(0)0.函數(shù)函數(shù)f(x)在在R上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，由由f(3a2)f(2a)，得得3a22a，解得，解得3a1. 【答案【答案】（3，1)A 易漏掉對(duì)易漏掉對(duì)變量取值變量取值的限制！的限制！【解析【解析】(1)設(shè)設(shè)x0，則，則x0，f(x)(x)2xx2x，f(x)ax2bx.又又f(x)f(x)，a1，b1，ab0.4、根據(jù)奇偶性求值、根據(jù)奇偶性

7、求值求f(-1)是解本題的關(guān)鍵！3周期性周期性若若f(x)對(duì)于定義域中任意對(duì)于定義域中任意x均有均有_ (T為不等于為不等于0的常數(shù)的常數(shù))，則，則f(x)為周期函數(shù)為周期函數(shù)若若T是函數(shù)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期，則的一個(gè)周期，則nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的周期的周期f(xT)f(x)4、根據(jù)周期性求值、根據(jù)周期性求值求周期是關(guān)鍵！求周期是關(guān)鍵！求一個(gè)周期的和！f(1)f(2)f(2 010)12 0106335.而 f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(1)f(2)f(3)f(4)12102，f(1)f(2)f(2 014)3352337.(2013福州模擬福州模擬)設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有，恒有f(x2)f(x)當(dāng)當(dāng)x0，2時(shí)，時(shí)，f(x)2xx2. (1)求證：求證：f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)； (2)計(jì)算計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 013) 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】證明證明f(x4)f(x)，進(jìn)而運(yùn)用周期，進(jìn)而運(yùn)用周期性與奇偶性求解性與奇偶性求解解：解：(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為是周期為4的周期函數(shù)的周期函數(shù)(2)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)f(1