專項突破：數學運算完全攻略

1、一、容斥原理 容斥原理關鍵就兩個公式： 1. 兩個集合的容斥關系公式：A+B=AB+AB 2. 三個集合的容斥關系公式：A+B+C=ABC+AB+BC+CA-ABC 請看例題： 【例題1】某大學某班學生總數是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數是( A.22 B.18 C.28 D.26 【解析】設A=第一次考試中及格的人數(26人,B=第二次考試中及格的人數(24人,顯然,A+B=26+24=50； AB=32-4=28，則根據AB=A+B-AB=50-28=22。答案為A。 【例題2】電視臺向100人調查前

2、一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？ 【解析】設A=看過2頻道的人(62，B=看過8頻道的人(34，顯然，A+B=62+34=96； AB=兩個頻道都看過的人(11，則根據公式AB= A+B-AB=96-11=85，所以，兩個頻道都沒看過的人數為100-85=15人。 二、作對或做錯題問題 【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯了多少道題？ A.12 B.4 C.2 D.5 【解析】 方法一 假設某人在做題時前面24道題都做對了,這時他應該得到96分,后面還有6道題

3、,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據規(guī)則,只要作對2道題,做錯4道題即可,據此我們可知做錯的題為4道,作對的題為26道. 方法二 作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負差距就變成了6分.30道題全做對可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯的題,所以可知選擇B三、植樹問題 核心要點提示：總路線長間距(棵距長棵數。只要知道三個要素中的任意兩個要素，就可以求出第三個?！纠}1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回

4、走，當他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數時就開始往回走？A.第32棵    B.第32棵    C.第32棵    D.第32棵解析：李大爺從第一棵數走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個棵距用了7分鐘，所以走沒個棵距用0.5分鐘。當他回到第5棵樹時，共用了30分鐘，計共走了30÷0.5=60個棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個棵距，第33可回到第5棵共28個棵距，32+28=60個棵距?！纠}2】為了把2008年北京奧運會辦成綠色奧運，全國各地都在加強環(huán)保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場

5、館的兩條路的(不相交兩旁栽上樹，現(xiàn)運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：( ）A.8500棵  B.12500棵  C.12596棵  D.13000棵解析：設兩條路共有樹苗棵，根據栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據路程相等列出方程：(+2754-4×4=(-396-4×5(因為2條路共栽4排，所以要減4解得=13000，即選擇D。四、和差倍問題 核心要點提示：和、差、倍問題是已知大小兩個數的和或差與它們的倍數關系，求大小兩個數的值。

6、(和+差÷2=較大數；(和差÷2=較小數；較大數差=較小數?！纠}】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？解析：設乙班的圖書本數為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當于乙班圖書本數的4倍。乙班160÷（3+1=40(本，甲班40×3=120(本。六行程問題【例1】(2006年北京市社招第21題2某單位圍墻外面的公路圍成了邊長為300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角沿逆時針同時出發(fā)，如果甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，那么經過( 甲才能看到乙A.16分40秒 B.16分 C.15分 D.14分40秒【答案】A?！?/p>

7、解析】這道題是一道較難的行程問題，其難點在于“甲看到乙”這個條件。有一種錯誤的理解就是“甲看到乙”則是甲與乙在同一邊上的時候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小于300米時候甲就能看到乙了，其實不然?？紤]一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個正方形的某個角旁邊，但是不在同一條邊上，這個時候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時候甲還是不能看到乙。由此看出這道題的難度甲看到乙的時候兩人之間的距離是無法確定的。有兩種方法來“避開”這個難點解法一：借助一張圖來求解雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進過程完全可以等效的視為兩人沿著直線行走，甲、乙的初始狀態(tài)如圖所示。圖中的每一個“格檔”長為300米，如此

8、可以將題目化為這樣的問題“經過多長時間，甲、乙能走入同一格檔？”觀察題目選項，發(fā)現(xiàn)有15分鐘、16分鐘兩個整數時間，比較方便計算。因此代入15分鐘值試探一下經過15分鐘甲、乙的位置關系。經過15分鐘之后，甲、乙分別前進了90×151350米(4×300150米70×151050米(3×300150米也就是說，甲向前行進了4個半格檔，乙向前行進了3個半格檔，此時兩人所在的地點如圖所示。甲、乙兩人恰好分別在兩個相鄰的格檔的中點處。這時甲、乙兩人相距300米，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認為甲、乙距離差為300米時，甲就能看到乙的話就

9、會出錯?？紤]由于甲行走的比乙快，因此當甲再行走150米，來到拐彎處的時候，乙行走的路程還不到150米。此時甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過150/901分40秒之后，甲恰好拐過彎看到乙。所以甲從出發(fā)到看到乙，總共需要16分40秒，甲就能看到乙。這種解法不是常規(guī)解法，數學基礎較為薄弱的考生可能很難想到。解法二：考慮實際情況由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實際情況下，甲能夠看到乙恰好是當甲經過了正方形的一個頂點之后就能看到乙了。也就是說甲從一個頂點出發(fā)，在到某個頂點時，甲就能看到乙了。題目要求的是甲運動的時間，根據上面的分析可知，經過這段時間之后，甲正好走了整數個正方形的邊長，轉化成數學運算式

10、就是90×t300×n其中，t是甲運動的時間，n是一個整數。帶入題目四個選項，經過檢驗可知，只有A選項16分40秒過后，甲運動的距離為90×（16×6040/601500300×5符合“甲正好走了整數個正方形的邊長”這個要求，它是正確答案。七抽屜問題三個例子： （1）3個蘋果放到2個抽屜里，那么一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。 （2）5塊手帕分給4個小朋友，那么一定有1個小朋友至少拿了2塊手帕。 （3）6只鴿子飛進5個鴿籠，那么一定有1個鴿籠至少飛進2只鴿子。 我們用列表法來證明例題（1）： 放  法 抽  屜  

11、   種     種     種     種 第1個抽屜     3個     2個     1個     0個 第2個抽屜     0個     1個     2個     3個 從上表可以看出，將3個蘋果放在2個抽屜里，共有4種不同的放法。 第、兩種放法使得在第1個抽屜里，至少有2個蘋果；第、兩種放法使得在第2個抽屜里，至少有2個蘋果。 即：可以肯定地說，3個蘋果

12、放到2個抽屜里，一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。 由上可以得出： 題  號     物  體     數  量     抽屜數     結  果 （1）     蘋  果     3個     放入2個抽屜     有一個抽屜至少有2個蘋果 （2）     手  帕     5塊     分給4個人   &#

13、160; 有一人至少拿了2塊手帕 （3）     鴿  子     6只     飛進5個籠子     有一個籠子至少飛進2只鴿 上面三個例子的共同特點是：物體個數比抽屜個數多一個，那么有一個抽屜至少有2個這樣的物體。從而得出： 抽屜原理1：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。 再看下面的兩個例子： （4）把30個蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數都小于等于5？ （5）把30個以上的蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽

14、屜中的蘋果數都小于等于5？ 解答:（4）存在這樣的放法。即：每個抽屜中都放5個蘋果；（5）不存在這樣的放法。即：無論怎么放，都會找到一個抽屜，它里面至少有6個蘋果。 從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律： 抽屜原理2：把多于m×n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m1個或多于ml個的物體。 可以看出，“原理1”和“原理2”的區(qū)別是：“原理1”物體多，抽屜少，數量比較接近；“原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數量相差較大，物體個數比抽屜個數的幾倍還多幾。 以上兩個原理，就是我們解決抽屜問題的重要依據。抽屜問題可以簡單歸結為一句話：有多少個蘋果，多少個抽屜，蘋果和抽屜之間的關系

15、。解此類問題的重點就是要找準“抽屜”，只有“抽屜”找準了，“蘋果”才好放。 我們先從簡單的問題入手： （1）span3只鴿子飛進了2個鳥巢，則總有1個鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案：2只） span（2）把3span本書放進2個書架，則總有1個書架上至少放著幾本書？（答案：2本） （3）把3封信投進2個郵筒，則總有1個郵筒投進了不止幾封信？（答案：1封） （4）1000只鴿子飛進50個巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個含鴿子最多的巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案：1000÷5020，所以答案為20只） （5）從8個抽屜中拿出17個蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個拿蘋果最多的抽屜，

16、從它里面至少拿出了幾個蘋果？（答案：17÷821，213，所以答案為3） （6）從幾個抽屜中（填最大數）拿出25個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，從它當中至少拿了7個蘋果？（答案：25÷6，可見除數為4，余數為1，抽屜數為4，所以答案為4個） 抽屜問題又稱為鳥巢問題、書架問題或郵筒問題。如上面（1）、（2）、（3）題，講的就是這些原理。上面（4）、（5）、（6）題的規(guī)律是：物體數比抽屜數的幾倍還多幾的情況，可用“蘋果數”除以“抽屜數”，若余數不為零，則“答案”為商加1；若余數為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數”和“答案”來求“抽屜數”。 抽屜問題的用處很廣

17、，如果能靈活運用，可以解決一些看上去相當復雜、覺得無從下手，實際上卻是相當有趣的數學問題。 例1：某班共有13個同學，那么至少有幾人是同月出生？（ ） A. 13 B. 12 C. 6 D. 2 解1：找準題中兩個量，一個是人數，一個是月份，把人數當作“蘋果”，把月份當作“抽屜”，那么問題就變成：13個蘋果放12個抽屜里，那么至少有一個抽屜里放兩個蘋果?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理1”】 例2：某班參加一次數學競賽，試卷滿分是30分。為保證有2人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33解2：毫無疑問，參賽總人數可作“蘋果”，這里需要找“抽屜”，

18、使找到的“抽屜”滿足：總人數放進去之后，保證有1個“抽屜”里，有2人。仔細分析題目，“抽屜”當然是得分，滿分是30分，則一個人可能的得分有31種情況（從0分到30分），所以“蘋果”數應該是31132?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理2”】 例3. 在某校數學樂園中，五年級學生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學生的出生日期，就可斷定在這400個學生中至少有兩個是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎？ 解3部分：課1歲，所以這400名學生出生的日期總數不會超過內天，把400名學生看作400個蘋果，366天看作是366個抽屜，（若兩名學生是同一天出生的，則讓他們進入同一個

19、抽屜，否則進入不同的抽屜）由“抽屜原則2”知“無論怎么放這400個蘋果，一定能找到一個抽屜，它里面至少有2（400÷36611，112）個蘋果”。即：一定能找到2個學生，他們是同年同月同日出生的。 例4：有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，（1）你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？ 解4：把3種顏色的筷子當作3個抽屜。則： （1）根據“抽屜原理1”，至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最特殊的情況想起，假定3種顏色的筷子各拿了3根，也就是在3個“抽屜”里各拿了3根筷子，不

20、管在哪個“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少應拿出3×3110（根）筷子，就能保證有4根筷子同色。 例5. 證明在任意的37人中，至少有4人的屬相相同。 解5：將37人看作37個蘋果，12個屬相看作是12“抽屜原理2”知，“無論怎么放一定能找到一個抽屜，它里面至少有4個蘋果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷1231，314）人屬相相同。 例一日，見二蟲斗草間，觀之：某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有1個同學能借到2本或2本以上的書？ 分析：從問題“有1個同學能借到2本或2本以上的書”我們想到，此話

21、對應于“有一個抽屜里面有2個或2個以上的蘋果”。所以我們應將40個同學看作40個抽屜，將書本看作蘋果，如某個同學借到了書，就相當于將這個蘋果放到了他的抽屜中。 解6：將40個同學看作40個抽屜，書看作是蘋果，由“抽屜原理1”知：要保證有一個抽屜中至少有2個蘋果，蘋果數應至少為141（個）。即：小書架上至少要有41本書。 . 例7：（國家公務員考試2004年B類第48題的珠子問題）： 有紅、黃、藍、白珠子各10粒，裝在一個袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色 相同，應至少摸出幾粒？（ ） A3 B4 C5 D6 解7：把珠子當成“蘋果”，一共有10個，則珠子的顏色可以當作“抽屜”，為保證 摸出的

22、珠子有2顆顏色一樣，我們假設每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，摸了4 個顏色不同的珠子之后，所有“抽屜”里都各有一個，這時候再任意摸1個，則一定有 一個“抽屜”有2顆，也就是有2顆珠子顏色一樣。答案選C· 例8：（國家公務員考試2007年第49題的撲克牌問題）： 從一副完整的撲克牌中，至少抽出（ ）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？ A21 B22 C23 D24 解8：完整的撲克牌有54張，看成54個“蘋果”，抽屜就是個（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有6張花色一樣，我們假設現(xiàn)在前4個“抽屜”里各放了5張，后兩個“抽屜”里各放了1張，這時候再任意抽取1張牌，那么

23、前4個“抽屜”里必然有1個“抽屜”里有6張花色一樣。答案選C。 “蘋果”子曰：“見賢思齊焉，見不賢而內自省也?！背閷稀?，再結合兩個原理進行相應分析?？梢钥闯鰜?，并不是每一個類似問題的“ ”都很明顯，有時候“抽屜”需要我們構造，這個“抽屜”可以是日期、撲克牌、考試分數、年齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會超出這個范圍。八“牛吃草”問題牛吃草問題經常給出不同頭數的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。 解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地里原有草的數量，進而解答題總所求

24、的問題。這類問題的基本數量關系是：1（牛的頭數×吃草較多的天數牛頭數×÷（吃的較多的天數吃的較少的天數）=草地每天新長草的量。2牛的頭數×吃草天數每天新長量×吃草天數=草地原有的草。下面來看幾道典型試題：例泰伯由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天一均勻的速度減少。經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？（ ）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C。解析：設每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天減少（20×516×6）÷（65）=4份草，原來牧場上有20×5+5&#

25、215;4=120份草，故可供11頭牛吃120÷（11+4）=8天。例2有一片牧場，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永遠吃不完，至多可以放牧幾頭牛？（ ）子貢問曰：“有一言而可以終身行之者乎？”【答案】C。解析：設每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天生長出（21×824×6）÷（86）=12份，如果放牧12頭牛正好可吃完每天長出的草，故至多可以放牧12頭牛。例3有一個水池，池底有一個打開的出水口。用5臺抽水機20小時可將水抽完，用8臺抽水機15小時可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時間將水漏完？（ ）A.25 B.30 C.

26、40 D.45【答案】D。解析：出水口每小時漏水為（8×155×20）÷（2015）=4份水，原來有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小時漏完。練習：1一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每頭牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（ ）A.10 B.8 C.6 D.42兩個孩子逆著自動扶梯的方向行走。20水何澹澹，山島竦峙。27級，女孩走了24級，按此速度男孩2分鐘到達另一端，而女孩需要3分鐘才能到達。則該扶梯靜止時共有多少級可以看見？（

27、）A.54 B.48 C.42 D.36322頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，84天可以吃盡。請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天吃盡？（ ）A.50 B.46 C.38 D.35十四. 尾數計算問題1 尾數計算法 知識要點提示：尾數這是數學運算題解答的一個重要方法，即當四個答案全不相同時，我們可以采用尾數計算法，最后選擇出正確答案。首先應該掌握如下知識要點：24526133065  和的尾數5是由一個加數的尾數2加上另一個加數的尾數3得到的。24526131839  差的尾數9是由被減數的尾數2減去減數的尾數3得到。2452&#

28、215;6131503076  積的尾數6是由一個乘數的尾2乘以另一個乘數的尾數3得到。2452÷6134  商的尾數4乘以除數的尾數3得到被除數的尾數2，除法的尾數有點特殊，請學員在考試運用中要注意。例1  99+1919+9999的個位數字是（    ）。A1    B2    C3    D7                      （2004年中央A、B類真

29、題）解析：答案的尾數各不相同，所以可以采用尾數法。99927，所以答案為D。例2  請計算（1.1）2 +（1.2）2 +（1.3）2 +（1.4）2 值是： A5.04  B5.49  C6.06  D6.30型                （2002年中央A類真題）解析：（1.1）2 的尾數為1，（1.2）2 的尾數為4，（1.3）2 的尾數為9，（1.4）2 的尾數為6，所以最后和的尾數為細雨魚兒出，微風燕子斜。（杜甫水檻遣心）396的和的尾數即0，所以選擇D答案。例

30、3  3×999+8×99+4×9+8+7的值是：A3840    B3855    C3866    D3877            （2002年中央B類真題）解析：運用尾數法。尾數和為7+2687=30，所以正確答案為A。2 自然數N次方的尾數變化情況知識要點提示：我們首先觀察2n 的變化情況 21的尾數是222的尾數是4 23的尾數是8 24的尾數是6 25的尾數又是2 我們發(fā)現(xiàn)2的尾數變化是以4為周期變化的即21 、25、29

31、24n+1的尾數都是相同的。3n是以“4”為周期進行變化的，分別為3，9，7，1，  3，9，7，1  7n是以“4”為周期進行變化的，分別為9，3，1，7，  9，3，1，7  8n是以“4”為周期進行變化的，分別為8，4，2，6，  8，4，2，6  4n是以“2”為周期進行變化的，分別為4，6，  4，6，219n是以“2”為周期進行變化的，分別為91，  9，1，5n、6n尾數不變。例1  的末位數字是：A1    B3    C7   

32、 D9                      （2005年中央甲類真題）解析：9n“2”為周期進行變化的，分別為9，1，  9，1，即當奇數方時尾數為“9”，當偶數方時尾數為“1”，1998為偶數，所以原式的尾數為“1”，所以答案為A。例2 19881989+1989 的個位數是                          （2000年中

33、央真題）A9    B7    C5    D3解析：由以上知識點我們可知19881989 的尾數是由 81989 的尾數確定的，1989÷4497余1，所以81989 的尾數和81 的尾數是相同的，即19881989 的尾數為8。我們再來看19891988 的尾數是由91988 的尾數確定的，1988÷4497余0，這里注意當余數為0時，尾數應和94、98 、912 94n 尾數一致，所以91988 的尾數與94 的尾數是相同的，即為1。綜上我們可以得到19881989  + 19891988  尾數是8+19，所以應