應(yīng)用平面向量基本定理解題題型歸納

1、平面向量基本定理常用題型歸納何樹衡 劉建一平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)使得=平面向量基本定理是正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它為“數(shù)”和“形”搭起了橋梁，在向量知識(shí)體系中處于核心地位.筆者對(duì)近十年高考有關(guān)平面向量基本定理題目作了系統(tǒng)研究，認(rèn)為大致分為以下題型：一、基本題型隨處可見1.1直接利用唯一性求解例1：在直角坐標(biāo)平面上，已知O是原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)x,y的值解：即x為3，y為3.1.2構(gòu)建三角形，利用正余弦定理求解例2：如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中夾角為120º，的夾角為30º，若,則= ，= .解：過C作

2、CDOB交OA的延長(zhǎng)線于D，在RtODC中，D30ºOCBA即=4，=2二、共線問題?？汲Ｐ?.1感受平面內(nèi)三點(diǎn)共線的結(jié)論在解題中簡(jiǎn)明快捷。BPAD常用結(jié)論：點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，求證：直線上任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t，使得關(guān)于基底OA,OB的分析式為反之，若則A，P，B三點(diǎn)共線（特別地令t=,稱為向量中點(diǎn)公式）CBPAN例3：在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為 解：，B,P,N三點(diǎn)共線， 又，m=2.2感受向量數(shù)形二重性在證明平面幾何中獨(dú)特魅力例4：在平行四邊形OACB中，BD=BC，OD與BA相交于E，求證：BE=BA證明：如圖，設(shè)E是線段BA

3、上的一點(diǎn)，且BE=BA，只需證E，E重合即可設(shè)，=CBDAEOO,E,D三點(diǎn)共線E,E重合，BE=BA三、區(qū)域問題漸成熱點(diǎn)由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理拓展可以研究區(qū)域問題，為解決線性規(guī)劃問題畫出可行域提供理論上依據(jù)和操作上的便利，也可以解決向量中類似于點(diǎn)所在位置問題.定理：設(shè)O,A,B為平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C滿足，記直線OA，OB，AB分別為lOA,lOB,lAB，平面被分成如圖7個(gè)部分()，得出結(jié)論表(1)，表(2)AOB表(1)充要條件動(dòng)點(diǎn)C所在區(qū)域(不含邊界)x,y滿足條件x>0，y>0且x+y<1x>0，y>0且x+y>1x>0，y<0且

4、x+y>1x>0，y>0且x+y>1或x<0,y>1X<0,0<y10<x1,y<0X<0,y<0表(2)充要條件動(dòng)點(diǎn)C在線上x,y所滿足條件相同特征不同特征C在線段AB上x+y=1x>0,y>0C在線段AB的延長(zhǎng)線上x<0,y>0C在線段BA的延長(zhǎng)線上x>0,y<0C在線段OA上y=00x1C在線段OA的延長(zhǎng)線上x>1C在線段AO的延長(zhǎng)線上x<0C在線段OB上x=00y1C在線段OB的延長(zhǎng)線上y>1C在線段BO的延長(zhǎng)線上上y<0在近十年高考題中，區(qū)域問題常以下面

5、兩種題型出現(xiàn).3.1動(dòng)點(diǎn)所在位置定，判斷系數(shù)滿足條件例5：如圖，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分，,(不包括邊界)，若，且點(diǎn)P落在第部分，則實(shí)數(shù)a,b滿足（ ）P2P1OAa>0,b>0Ba>0,b<0Ca<0,b>0Da<0,b<0答案：B例6：如圖OMAB，點(diǎn)P在射線OM，射線OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影部分內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則x的取值范圍是 ，當(dāng)x=時(shí)，y的取值范圍是 .BAMTPSBAOM答案：x<0O解：設(shè)OSAB，過S作OB平行線交AB延長(zhǎng)線于T，則的終點(diǎn)P只能在線段ST上（不包括端點(diǎn)）由區(qū)域V性質(zhì)

6、得x<0,0<y1,當(dāng)，此時(shí)y=,當(dāng)T在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由表(2)得C在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)x<0,y>0且x+y=1=+,+y=1y=即<y<3.2系數(shù)滿足條件定，判斷動(dòng)點(diǎn)所在位置yxBBA OA例7：平面上定點(diǎn)A、B滿足，則點(diǎn)()所表示的區(qū)域面積是（ ）A2B2C4D4答案：D解：令與x軸的非負(fù)半軸重合，在第一象限內(nèi)=AOB=2AOB=在第一象限，>0,>0+1P點(diǎn)形成圖形的面積為SAOB=sinAOB=×2×2×sin=,同理SAOB=SABAB=4鞏固練習(xí)及參考答案1.已知，若，求，2.已知ABC和點(diǎn)M滿足，若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則m=( )A2B3C4D5ANPMBC3.如右圖，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP:PM的值.4.已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點(diǎn)，向量，則Ox, Oy的概率是（ ）ABD參考答案：1.=3，=42. B3. 3：14. A參考文獻(xiàn)：1衛(wèi)福山.平