數(shù)學(xué)建模最佳組隊方案

1、數(shù)學(xué)建模論文加權(quán)向量組合安排最佳組隊方案摘要：在一年一度的數(shù)學(xué)建模競賽活動中，都會有很多院校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽，比賽規(guī)則就是3個人組成一個隊，但是每個學(xué)校都會有同樣的問題，那就是在挑選出來的參賽團隊中如何安排組隊才能使隊伍實力最強，以及整個團隊實力最強，即追求一種整體實力最大化，這是參賽之前每個院校必須做好的工作，組隊原則是隊員各方面能力能互補。根據(jù)某院校20名參賽預(yù)選隊員，學(xué)校決定從20名隊員中選出18名隊員參加數(shù)學(xué)建模競賽。根據(jù)對20名隊員各項（7項）衡量指標(biāo)判定學(xué)生的綜合素質(zhì)，我們通過定義7項指標(biāo)的權(quán)重得到一個正互反陣， 采用層次分析法，進行分析，并且檢驗是否通過一致性檢驗，即 則

2、通過一致性檢驗，那么就可以知道每一個學(xué)生的綜合成績，通過篩選把最差的兩個學(xué)生排除，就得到安排人數(shù)及名單，經(jīng)檢驗在問題一中各項指標(biāo)分層分析都通過一致性檢驗，運用MATLAB進行計算輸出結(jié)果。在問題二中采用一隨機三個人進行組合，進行隨機組隊，然后采用對每一個隊組成的 的一個矩陣這樣的矩陣通過MATLAB計算有816個，那么就有816種組合方式，在矩陣中每一行表示學(xué)生的姓名，列表示學(xué)生的各項指標(biāo)，為了讓三個對員能夠形成互補，我們采用調(diào)用函數(shù) 方法進行搜索每一列最大值，構(gòu)成一個新的數(shù)組，代表該隊的各項能力水平，這樣依次取出就得到816個隊的各項指標(biāo)的成績，再與問題一里面的權(quán)重向量 相乘，就得到一個 的

3、一個總體綜合實力的矩陣，再通過排序篩選出最大的一個值，找到與之對應(yīng)的組合隊員，那么就可以確定該隊實力最強。問題三采用隨機排序然后每隔3個數(shù)歸為一個整體代表每一個，一共有六個，通過增加其隨機次數(shù)來確定它的穩(wěn)定值。關(guān)鍵詞：層次分析，隨機數(shù)循環(huán)，加權(quán)向量，MATLAB，一致性檢驗一問題重述：問題一：對于問題一的得要求要在20個隊員中選出最好的18個人參加比賽，通過篩選把最后的兩個同學(xué)進行排就可以確定參賽隊員名單。問題二：對于問題二，根據(jù)題目要求通過對全局組合進行篩選，這里運用問題一里面的數(shù)據(jù)，通過層次分析出來的權(quán)向量，以及篩選出來的18個隊員名單進行排列組合的所有可能性做一個全局計算，得到每種可能組

4、隊的一個總體評價分數(shù)指標(biāo)，然后篩選出最大的一個分數(shù)，就可以知道該隊的人員組合安排。問題三：對于問題三，根據(jù)題目要求篩選出來的18名隊員組成的六個隊需要進行一個科學(xué)合理的搭配使得總體水平效果最好，要解決的問題是具體安排每一個隊由哪些人員組成，需要解決的是隊員組成的隊伍里面隊員能夠進行相互各方面的缺陷，這樣才能使總體效果最好。二模型假設(shè)：1. 假設(shè)競賽水平的發(fā)揮只取決于表中所給的各項條件；2. 參賽隊員都能正常發(fā)揮自己的水平；3.假設(shè)7個指標(biāo)的影響度是逐漸降低的4.假設(shè)隨機組組隊，每個隊員在該組都能彌補其他兩人的不足5.假設(shè)每隊的綜合能力只是取決于他們的7項指標(biāo)三符號說明：一致性指標(biāo)；：一致性比率

5、；：隨機一致性指標(biāo)；：7個指標(biāo)的權(quán)重:每個隊員的綜合得分:每名隊員依據(jù)各個指標(biāo)所占權(quán)重所得分數(shù)：每個方案總分:一個方案下每個隊的競技水平：表示組隊的名稱四模型建立與求解：問題一：該問題是一個綜合排序問題。對于此類問題，可通過層次分析法知道不同評價指標(biāo)所占權(quán)重，然后根據(jù)權(quán)重進行整體評估與排序。 在本題中，依據(jù)層次分析法，目標(biāo)層為選擇隊員；準(zhǔn)則層為學(xué)科成績、智力水平、動手能力、寫作能力、外語能力、協(xié)作能力、其它特長；方案層為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T這20個待選隊員（如圖1）。假設(shè)7個評價指標(biāo)所占權(quán)重是依次遞減的，分別為1,2,3,4,5,6,7

6、。通過兩兩比較建立成對比較陣（如圖2），然后進行一致性檢驗，若檢驗通過，則計算出目標(biāo)層與準(zhǔn)則層之間權(quán)重。針對準(zhǔn)則層與方案層，若用層次分析法，需建立7個的矩陣，人為工作量過大；且心理學(xué)家認為，成對比較因素不宜超過9個，而此時的成對比較因素有20個，因此準(zhǔn)則層與方案層之間的權(quán)重計算不用層次分析法，而通過Excel直接依據(jù)各個指標(biāo)所占權(quán)重計算每個人的得分，再將每個人的7個指標(biāo)得分求和得出每個隊員的綜合得分，并對總得分降序排列排除最后兩名隊員。圖1：選拔優(yōu)秀隊員學(xué)科成績寫作能力動手能力智力水平其他能力協(xié)作能力外語水平ADTCB目標(biāo)層準(zhǔn)則層C：方案層計算每名隊員綜合得分的方法如下：（1）在matlab中

7、輸入正互反矩陣（圖2），調(diào)用編寫好的層次分析法計算權(quán)重方程xxjj0，得出、，判斷一致性；（2）得出7個指標(biāo)所占權(quán)重；（3）通過Excel計算每名隊員依據(jù)各個指標(biāo)所占權(quán)重所得分數(shù)；（4）每個隊員各個指標(biāo)的求和，得出每個隊員的綜合分數(shù)；（5）個隊員的綜合分數(shù)進行排序，選出前18位；輸入正互反矩陣（圖2）矩陣2：得出，當(dāng)正互反陣為7階時，對應(yīng)的得到結(jié)果：且，所以通過一致性檢驗，可用產(chǎn)生的權(quán)重 7個指標(biāo)權(quán)重分別為：隊員編號學(xué)科成績智力水平動手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長A8.698.287.99.56B8.28.88.16.57.79.12C88.68.58.59.29.68D8.68.98

8、.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29F9.29.28.27.9996G9.29.697.29.19.29H789.86.28.79.76I7.78.28.46.59.69.35J8.38.18.66.98.59.44K98.287.899.55L9.69.18.19.98.79.76M9.59.68.38.199.37N8.68.38.28.1995O9.18.78.88.48.89.45P9.38.48.68.88.69.56Q8.489.49.28.49.17R8.78.39.29.18.79.28S7.78.19.67.699.69T98.89.57.97.7

9、96對求和，得出每個隊員的綜合分數(shù)如下表：隊員ABCDEEGHIJKLMNOPQRST綜合分數(shù)8.483067.965858.428698.833748.553998.785229.044947.806767.923378.084068.423569.105369.06878.346258.750068.780818.534148.726268.301468.73683對每個隊員的綜合分數(shù)排序：隊員編號LMGDFPO綜合分數(shù)9.105369.06879.044948.833748.785228.780818.75006排名1234567隊員編號TREQACK綜合分數(shù)8.736838.72626

10、8.553998.534148.483068.428698.42356排名891011121314隊員編號NSJBIH綜合分數(shù)8.346258.301468.084067.965857.923377.80676排名151617181920由上表排序知，隊員H、I綜合得分較低，因此淘汰。所選擇的18名隊員名單分別為:A、B、C、D、E、F、G、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T。問題二：考慮到3名隊員之間能力的互補性，需選出3名隊員，他們每個人在7項評價指標(biāo)中最高分予以保留生成新的最高分。將新生成的7項最高分按第一問的權(quán)重相加，得出最高綜合分。這3名隊員的綜合最高分越高，則這只隊伍的能力

11、越強。對于每一項評價指標(biāo)，三人進行比較，將3人中的最高值予以保留，得到由三人成績共同組成的新的一組指標(biāo)。將新得出的一組指標(biāo)分別乘以第一組得出的權(quán)重，讓后對一組中的7項指標(biāo)求和，其積記為這一組的總分數(shù)。求出所有組合情況下每組的總分數(shù)，并選出所有總分數(shù)中的最大值。找出最大值所對應(yīng)的組合情況，即為最佳3人組隊。經(jīng)過程序運行計算，得出總分最大值為9.5178，此時為第622種組合情況，對應(yīng)的隊員名單為：G、S、L。程序請看在附錄-第二問問題三：要求18名隊員組成6個隊, 并且整體競賽技術(shù)水平最高, 同時給出每個隊的競賽技術(shù)水平。通過matlab隨機產(chǎn)生18個元素的一行18列矩陣，隨機分成六組作為一個分

12、組方案，編程類似問題二，最后通過總分t衡量，量化看一個方案的優(yōu)秀程度。經(jīng)過大數(shù)量的循環(huán)得到最優(yōu)方案（1）一次循環(huán)即為一個方案，隨機分出6個組，記為列出每個組的分數(shù)矩陣，例如隨機組合一個組如下（2）每個組各項的水平應(yīng)該由其三個隊員各項能力中最高的數(shù)組決定，所以用函數(shù)得出能代表每組各項水平，結(jié)果如下： （3）將每組通過用函數(shù)得到的行向量乘以每項能力的權(quán)重得到,即為衡量每組綜合能力的數(shù)值。例如 將向量六項元素求和得，用值來衡量該方案的優(yōu)秀程度解得結(jié)果如下：當(dāng)前最優(yōu)的六種組合組別第一組第二組第三組隊員21071291314183水平9.3949.3949.0659組別第四組第五組第六組隊員155114

13、1781616水平9.35359.29079.0896上面為篩選后的十八名隊員排序編號分別為，所以對應(yīng)上表得到組隊方案：第一隊 第二隊 第三隊 第四隊 第五隊 第六隊五模型的誤差分析在第一問中，本文采用了層次分析法。依題意較主觀的對7項評價指標(biāo)進行了重要度的評測。從不同的角度、不同側(cè)重點對7項評價指標(biāo)的重要度進行評測，其評測結(jié)果存在差異，這將導(dǎo)致7項評價指標(biāo)所占權(quán)重存在差異。在第三問中，由于全局搜索計算量過大，本文通過多次產(chǎn)生隨機組合的方法求18名隊員總體的最佳競賽水平。由于隨機生成的組合方法不同，18名隊員的分組情況會有差異，18名隊員整體競賽水平也會有差異，但誤差可控制在0.01之內(nèi)。六模

14、型評價本文針對第一問，采用了層次分析法，能夠較科學(xué)的得出7項評價指標(biāo)指標(biāo)所占權(quán)重。但又未完全采用層次分析法，避免了由于成對比較因素過多而造成值不準(zhǔn)確，保證了所求每個隊員綜合得分的準(zhǔn)確性與科學(xué)性。本文對18名隊員所有組合情況進行了全局搜索，對于最佳組合能力衡量較全面，所選的3名隊員能力具有互補性。而對于每種組合情況，具有科學(xué)的量化標(biāo)準(zhǔn)。本程序能夠精確的選出所需的3名隊員，并給出綜合得分。本文對于18個隊員組成6隊的人員分組，進行了隨機生成，大大減少了計算機的工作量，同時所得結(jié)論亦科學(xué)合理。 模型的不足受題目本身的影響，有些誤差無法避免，重要系數(shù)得到的正反矩陣是人為定義的誤差無法避免。七模型推廣此模型在對待評價對象進行全面而綜合的科學(xué)評價，多個選擇對象進行篩選，任務(wù)分配，組隊等問題中有著廣泛的應(yīng)用，